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零点存在性定理11


练习

1、函数f (x)=x(x2-16)的零点为( D ) A. (0,0), (4,0) B. 0, 4 C. (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D. – 4 , 0, 4

探究三:函数在某一区间上零点的存在性结论

探究 1: (1)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 的图象: 1 在区间(-2,1)上有零点____; f (?2) ? ______, ○ . f (1) ? _____, f (?2) · f (1) _____0(<或>) 2 在区间(2,4)上有零点______; ○ . f (2) · f (4) ____0(<或>)

探究2:

观察上面的函数的图象,并回答以下问题: ①在区间(a,b)上f(a).f(b)_____0(<或>).在区间(a,b)上______(有/无)零点; ② 在区间(b,c)上f(b).f(c) _____ 0(<或>).在区间(b,c)上______(有/无)零点; ③ 在区间(c,d)上f(c).f(d) _____ 0(<或>).在区间(c,d)上______(有/无)零点;

零点存在性定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函 数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b), 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 【注意】 (1)图像是连续不断的曲线

(2) f (a) ? f (b) ? 0

辨析1:若函数y=f(x)在区间[a,b]上不连续,但f(a)·f(b)<0,则
(不一定) f(x)在区间(a,b)内一定没有零点么 ? a
c1 c2 b

x

a

b x

辨析2:若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,但f(a)·f(b)>0,则f(x)
(不一定) 在区间(a,b)内一定没有零点么?
a
c1 c2

b

x

a

b

x

辨析3:若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则f(x)
在区间(a,b)内一定只有一个零点么? (不一定,有几个零点不确定) b x b x

a

a

思考:增加什么条件时,函数在区间(a,b)上只有一个零点? (单调)
推论:在零点存在的条件下,如果函数在[a , b]上单调,函数 f(x)在区间(a , b)上可存在唯一零点。

辨析4:若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则一定能够得出f(x)
在[a,b]上连续,或者一定有f(a)·f(b)<0么? (不一定)
c1 c2 b c1 c2

a

x

a

b

x

结论:函数零点存在性定理不可逆的。

(五)知识应用,尝试练习
练习 1、已知函数f(x)的图像是连续不断的,且有如下对应值表:

X

1

2

3

4

5

6

f(x) 23

9

-7

11

-5

-12

问:那么函数在区间[1 , 6]上的零点至少有几个,哪些区 间上一定存在零点 答案:至少有3个零点,分别在区间(2, 3)(3,4)(4,5)上 2、函数f (x)= – x 3 – 3x + 5的零点所在的大致区间为( ) A. ( – 2 ,0) B. (1,2) C. (0,1) D. (0,0.5)

例 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数
解: 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 f ( x) -4 -1.3 1.1
y
10 f(x8)=lnx+2x- 6 6 4 2 x

9

3.4 5.6 7.8 10.0 12.1 14.2

由表和图可知f(2)<0,f(3)>0,从而
f(2)· f(3)<0, 又f(x)在区间[2,3]上连续 ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点.

问题: 如何说明零点的唯一性?

O 123456 由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数, -2 所以函数f(x)在区间(2,3)内仅有一个零点. -4

课堂检测
1.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:

那么函数f(x)一定存在零点的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞)

)

2.偶函数f(x)在[0,a](a>0)上是连续的单调函数,且f(0)· f(a)<0,则函 数f(x)在[-a,a]上根的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0



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