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19-导数应用(一)


高等院校非数学类本科数学课程

高 等 数 学 A(1)
—— 一元微积分学
第一讲 一元微积分的应用(一)

——函数的单调性、极值

脚本编写:彭亚新

教案制作:彭亚新

第六章 一元微积分的应用
本章学习要求:
? 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解 相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念,并能计算 平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法”,能熟练运用定积分表达和计算一 些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限。

? ?
? ? ?

?

第六章 一元微积分的应用
第一、二节 运用导数研究函数
一、导数的简单应用 二、函数的单调性 三、函数极值

四、函数的最大值、最小值
五、函数的凹凸性

一、导数的简单应用
1. 导数在几何中的简单应用
(1) 求曲线 y ? f ( x) 在某点处的切线方程和法线方程. (2) 求两条相交的曲线在交点处的交角.

2. 导数在物理学中的简单 应用
(1) 求物体运动的速度、加速度或变量的变化率 . (2) 求变量间的相关变化率 .

1. 导数在几何中的简单应用
(1) 求曲线 y ? f ( x) 在某点处的切线方程和法线方程.
设函数 f ( x) 可微, 则曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x0 , y0 ) 处 :

切线的斜率为 切线方程为
法线的斜率为 法线方程为

k ? f ?( x0 ) , y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ;
1 1 k1 ? ? ? ? , ( f ?( x0 ) ? 0 ) . k f ?( x0 ) y ? y0 ? 1 ( x ? x0 ) . f ?( x0 )

这部分不再举新例 请参看导数的几何意义部分. ,

(2) 求两条相交的曲线在交点处的交角.

两条相交曲线的夹角就是它们在交点处的切线间的交角. 求两条相交的曲线在交点处的交角实质上仍是一个求

导数的问题 .
设曲线 L1 : y ? f1 ( x) , L2 : y ? f 2 ( x) 相交于点 M ( x0 , y0 ) 处 .
M

y

L1 L2

相应的切线方程分别为 :
y ? k1 x ? b1 ? f1?( x0 ) x ? b1 , y ? k 2 x ? b2 ? f 2?( x0 ) x ? b1.
O

?1

?

?2
x

tan ? ? tan(? 2 ? ?1 )
k 2 ? k1 ? 1 ? k1k 2 f 2?( x0 ) ? f1?( x0 ) ? , 1 ? f1?( x0 ) f 2?( x0 )

y
M

L1 L2

?1
O

?

?2
x

f1?( x0 ) ? f 2?( x0 ) 故 ? ? arctan 1 ? f1?( x0 ) f 2?( x0 )

( 一般 : ? 取锐角) .

例1

1 求双曲线 y ? 与 抛物线 y ? x 的交角 ? . x



联立方程组求交点: 1 y? x
y? x

y

1 y? x
M

y? x

解此方程组, 得交点为 M ( 1, 1 ) . O 1 ? 1 ?? k1 ? ? ? x ?1 ? ? 2 x ?1 ? ?1 , x ? x? 1 1 k2 ? ( x )? x ?1 ? , x ?1 ? 2 x 2 1 (?1) ? 2 ? arctan3 . 故 ? ? arctan 1 1 ? (?1) ? 2

x

例2 解

抛物线 y ? x 2 上哪一点的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0

的交角为45o ?
抛物线 y ? x 2 上任意一点 ( x, y ) 处的切线的斜率为 k1 ? ( x 2 )? ? 2 x ,
f 2?( x0 ) ? f1?( x0 ) tan ? ? 1 ? f1?( x0 ) f 2?( x0 )
取锐角

直线 3x ? y ? 1 ? 0 的斜率为

k2 ? (3x ? 1)? ? 3 . 由题意及曲线间交角公式, 得
3 ? 2x ? 1, 1? 3? 2x

?1 1 ? 即 3 ? 2 x ? ?(1 ? 6 x) , 解之得所求点为 (?1, 1) 和 ? , ? . ? 4 16 ?

例3

适当选取参数 A 和 c , 用立方抛物线

y ? A( x ? a)( x ? b)( x ? c)
将两条射线
y ? k1 ( x ? a) (?? ? x ? a) , y ? k2 ( x ? b) (b ? x ? ??)
在区间[a, b] 上光滑地连接起来.



两条曲线“光滑连接”是指在连接点处, 两曲线有

共同的切线. 即在连接点处两曲线的切线的斜率相同. 也就是曲线所对应的函数在连接点处的导数相同.

对立方抛物线而言 在点 x ? a 和 x ? b 处, 有 ,
y? y?
x?a

? A(a ? b)( a ? c) , ? A(b ? a)(b ? c) .

x ?b

由直线方程以及光滑连接到含义, 有

A(a ? b)(a ? c) ? k1 , ????? (1)
(1) ? (2) 得

A(b ? a)(b ? c) ? k2 , ????? (2)

A [(a 2 ? ab ? ac ? bc ) ? (b 2 ? ba ? bc ? ac)] ? k1 ? k2 ,



k1 ? k2 A? . ????? (3) 2 ( a ? b)

将 (3) 代入 (1) 式中求 c 值 :
k1 ? k 2 (a ? b)(a ? c) ? k1 , 2 ( a ? b)
从而

c?

a k1 ? b k 2 . k1 ? k 2

k1 ? k2 a k1 ? b k2 故取 A ? , c? , 即可满足要求 . 2 ( a ? b) k1 ? k 2

2. 导数在物理学中的简单 应用
(1) 求物体运动的速度、加速度或变量的变化率 .
以初速度 v0 , 发射角? 发射炮弹, 其运动方程为

例4

x ? (v0 cos? ) t ,
y ? (v0 sin ? ) t ? 1 2 gt . 2

求 (1) 炮弹在时刻 t 的运动方向; (2) 炮弹在时刻 t 的速度大小.



(1) 炮弹在时刻 t 时的方向

y

就是炮弹的轨迹线在时刻 t 时的
对应点上的切线方向 ,而切线方向

vy

v

v0
O

?
vx
x
x ? (v0 cos? ) t ,
1 2 y ? (v0 sin ? ) t ? g t . 2

?

可以通过切线的斜率来反映 :
1 2 ((v0 sin ? ) t ? g t )? dy 2 ? dx ((v0 cos? ) t )?
? v0 sin ? ? g t . v0 cos?

记 ? 为时刻 t 时, 炮弹运动方向与x 轴正向间的夹角, 则

tan ? ?

d y v0 sin ? ? g t ? , dx v0 cos?

故在时刻 t 时, 炮弹的运动方向与x 轴正向间的夹角为
v0 sin ? ? g t ? ? arctan v0 cos ? ( ? 取锐角) .

(2) 炮弹在时刻 t 的速度可以分解为两个分速度 :
平行于 x 轴的水平速度 vx ; 平行于 y 轴的铅直速度 v y , 且
dx dy vx ? ? v0 cos ? , v y ? ? v0 sin ? ? g t . dt dt

由速度的合成可知, 炮弹在时刻 t 时的速度大小为
2 2 2 vt ? v x ? v y ? v0 ? 2v0 g t sin ? ? g 2t 2 .

(2) 求变量间的相关变化率 .
在实际问题中,往往是同时出现几个变量. 变量

之间有确定的关系,并且它们都是另外某一个变量的
函数( 例如,都是时间 t 的函数. ) 从它们对这另一个 变量的变化率之间的关系出发,由已知的一个或几个 变量的变化率求出一个变量的未知的变化率,就是所 谓的相关变化率问题.

例5 解

加热一金属圆板, 其半径以 0.01 cm/秒的速度均匀增加. 问当半径为200 cm 时, 圆板面积的增加率为多少?
设圆板的半径为x , 面积为 y, 则
y ? ? x2.

?????? (1) dx 显然, x, y 都是 t 的函数, 且 ? 0.01 cm/ 秒 . dt dy 现要求 x ? 200 cm 时, ?? dt 将 (1) 式两边关于t 求导, 得 dy dx ? 2? x , dt dt 故在 x ? 200 时, 圆板面积的增加率为 dy ? 2? ? 200 ? 0.01 ? 4? (cm/ 秒). dt

例6

向一个上顶的直径为8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速
注水. 若注水的速度为4 m3 /分, 求当水深 5 米时水表面上

升的速度?

解 设注水 t 分钟后, 水深为h 米. 此时, 水面的直径也是 h 米,
1 ? h? ? 3 容器内水的体积为 V ? ? ? ? ? ? h ? h . 3 ? 2? 12 ? 此外, V ? 4 t , 故有 h 3 ? 4 t . 对此式两边关于 t 求导, 得 12 d h 16 ? 2. dt ? h
2

故当水深 h ? 5 米时, 其表面上升的速度为
dh 16 16 ? ? ? 0.204 (m/ 分 ) . 2 d t ? ?5 25?

例7

设一贴靠在铅直的墙上,

y

长度为 5 米的梯子的下端以 3 m/秒 的速度离开墙脚滑动. 问何时梯子上下两端滑动的 速度大小相同?
O

dy dt
5m

y

dx dt

x

x

解 引入坐标系如图所示.
设在时刻 t 时, 梯子下端离墙脚 x (m), 上端离墙脚 y (m) . 显然, x, y 均为 t 的函数, 且有
dx ? 3 (m/秒) , dt x 2 ? y 2 ? 52 . ????? (1)

注意到速度的方向性, 我们的问题是
求 x, y 的值, 使
dy ? ?3 (m/ 秒) . ??? (2) dt
2 2 2

y

dy dt
5m

y
O

dx dt

对 x ? y ? 5 两边关于 t 求导, 得 dx dy 2x ? 2y ? 0, dt dt dy x dx 即有 ?? . dt y dt dx x 由 (2) 式及 ? 3 (m/秒) , 得 ? 3 ? ? ? 3 , 即 x ? y. dt y 5 2 2 2 而 x ? y ?5 , 故 x? y ? . 2 5 即当 x ? y ? 时, 梯子上下端滑动速度大小相同. 2

x

x

下面我们运用函数的导数(微分)来研究函数的有关 性质:单调性、凹凸性、极值等,并研究如何作出函数 的图形.

回忆一下几个重要的定理和公式:
拉格朗日中值定理的公式
泰勒公式

F (b) ? F (a) ? f ?(? )(b ? a) .

f ??( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? ( x ? x0 ) 2 2!

f ??( x0 ) f ???( x0 ) 2 ? ( x ? x0 ) ? ( x ? x0 ) 3 ? R3 ( x ) (o( x ? x0 ) 3 ) . 2! 3!

二、函数的单调性
由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:
若函数 f ( x) 在区间 I 内可导 , 则

f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0

f ( x) ? I f ( x) ? I

f ?( x) ? 0 的点可以作为函数 f ( x) 单调性的分界点.

观察下面的图形, 你能得出什么结论?

y

?
x

y

?
O

O

x

使得函数的导数 f ?( x) 不存在的点也可作为

函数单调性的分界点.

综上所述, 可知:
使得函数 f ( x) 的导数 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) 不存在的点

可以作为函数单调性的分界点.
提供了判断函数单调性的方法 在讨论函数的单调性时,一般先求出函 数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点 , 然后按这些点将所讨论的区间分成小区间 , 在每个小区间内函数只有一种单调性 , 利用 导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.

例1 解

8 讨论 y ? 2 x ? 的单调性. x

定义域 : (??, 0) ? (0, ? ?)
y? ? 2 ? 8 2 ? 2 ( x 2 ? 4) x2 x

令 y? ? 0 , 得 x1 ? 2 , x2 ? ?2 ,
x

(? ?, ? 2)

?2
0

(?2, 0)

0 (0, 2)

2
0

(2, ? ?)

y?
y

?

?

?

?

综上所述, 函数 y ? 2 x ?

8 x

在 (??, ? 2) , (2, ? ?) 内单调增加; 在 (?2, 0) , (0, 2) 内单调减少.

列表可使问题明朗化

例2 证

证明:方程 sin x ? x 在 (??, ? ?) 内有且仅有一个实根.

令 f ( x) ? sin x ? x

x ? (??, ? ?) ,

则 f ( x) ? C ((??, ? ?)) , f ?( x) ? cos x ? 1 ? 0 ,
且仅当 x ? 2k?


(k ? Z ) 时, f ?( x) ? 0 ,

f ?( x) 仅在孤立点处为零.
f ( x) ? sin x ? x ? ( ?? , ? ? )

从而

就是说 , 曲线 y ? f ( x) 与 x 轴最多有一个交点.



x ? ??

lim f ( x) ? lim (sin x ? x) ? ?? ,
x ? ??

x ? ??

lim f ( x) ? lim (sin x ? x) ? ?? ,
x ? ??

由连续性, 曲线 y ? f ( x) 与 x 轴至少有一个交点. 综上所述, 曲线 y ? f ( x) 与 x 轴有且仅有一个交点, 即方程 sin x ? x 在 (??, ? ?) 内有且仅有一个实根.

例3

设 f ( x) 满足条件:

( 1) f ( x) ? C ( [0, ? ?) ) , f (0) ? 0 ;
(2) f ( x) 在 (0, ? ?) 内可导 , 且 f ?( x) ? ( 0, ?? ) ,
f ( x) 证明: g ( x ) ? ? ( 0, ? ? ) . x

下一步你打算 怎么办?



f ?( x) ? x ? f ( x) 由于 g ?( x ) ? , 2 x

故关键在于证明 x ? (0, ? ?) .

x f ?( x) ? f ( x) ? 0

这个式子有点像……?

拉格朗日中值定理的公式形式.

?x ? (0,??) , 由已知条件可知 f (t )在 [0, x] 上满足

拉格朗日中值定理条件, 故有 f ( x) ? f (0) ? f ?(? )( x ? 0)
由 f (0) ? 0 , 得

f ( x) ? f ?(? ) x ,
又 f ?( x) ?( 0, ? ? ) ,
于是

(0 ? ? ? x) ,

从而, f ( x) ? f ?( x) x ,
f ?( x ) ? x ? f ( x ) ? 0, 2 x

g ?( x ) ?

故由 x 的任意性 , 得 g ( x) ? ( 0, ? ? ) .

例4 证

证明:n ? n n (n ? 3) 是单调减少的数列. x
令 f ( x) ? x , x ? [3, ? ?) ,
1 x

利用函数 处理数列

f ?( x) ? x ?

1 x

1 ? ln x x2

当x ? 3时 ,

f ?( x) ? 0 ,

故 f ( x) ?[ 3, ? ? ) ,

由此可得 : {xn } ? , (n ? 3) .

三、函 数 的 极 值
函数的极值是个局部性的概念.
在 U( x0 ) 内比较 f ( x) 与 f ( x0 ) 的大小.

我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式: 费马定理 — 可微函数取极值的必要条件

函数的单调性判别定理和方法
泰勒公式 — 可利用高阶导数

定理
可微函数 f ( x) 在点 x0 处取极值的必要条件是 f ?( x0 ) ? 0 .

实质上就是费马定理 .

费 马 Pierre de Fermat (1601-1665)

费马,法国数学家. 出身于一个商人 家庭. 他的祖父、父亲、叔父都从商. 他 的父亲是当地的第二执政官, 经办着一个 生意兴隆的皮革商店. 费马毕业于法国奥尔良大学,以律师 为职. 曾任图卢兹议会会员, 享有长袍贵 族特权. 精通 6 种语言. 业余爱好数学并 在数论、几何、概率论、微积分等领域内 作出了创造性的工作.

1637年费马研究丢番图的《算术》时, 写下了著名的 费马大定理: 不存在满足 x n ? y n ? z n (n ? 2) 的正整数 x, y, z .
费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡” .

使 f ?( x0 ) ? 0 的点称为函数 f ( x) 的驻点.

由费马定理可知, 驻点只是函数的极值可疑点.

函数在驻点处不一定取极值.
例如, y ? x
3

y

y ? x3

在点 x ? 0 处, y? ? 0 ,
但 此时 y
x ?0

x?0
O

x

不是极值 .

使得函数导数不存在的点也是极值可疑点.
例如, y ? | x | x ? (??, ? ?)
y

y ?| x |

在点 x ? 0 处不可导 ,

但 x ? 0 恰好是它的极小点.

O

x?0

x

驻点 : f ?( x) ? 0 的点.
极值可疑点
使 f ?( x) ? 0 不存在点.

如何判断极值可疑点是否确为极值点?

首先考察下列函数的图形:
y y y

O x0 ? ? x0 x0 ? ? x

O x0 ? ? x0 x0 ? ? x

O x0 ? ? x0 x0 ? ? x

极大点
y y

极小点
y

不是极值点

O x0 ? ? x0 x0 ? ? x

O x0 ? ? x0 x0 ? ? x

O x0 ? ? x0 x0 ? ? x

极大点

极小点

不是极值点

y

? ?

y

? ? ?

y

? ? ?

O x0 ? ? x0 x0 ? ? x

O x0 ? ? x0 x0 ? ? x

O x0 ? ? x0 x0 ? ? x

极大点

极小点

不是极值点

通过观察以上的图形你得到什么结论?

判别函数的极值点, 主要是判别极值可疑点左、右
两侧函数的单调性. 对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号.

定理

? 设 f ( x) ? C (U( x0 )) , 在 U( x0 ) 内可微 ,

点 x0 为 f ( x) 的极值可疑点, (1) 若 x ? x0 时 , f ?( x) ? 0 ; x ? x0 时 , f ?( x) ? 0 ,

(单调增加) (单调减少)

则 x0 为 f ( x) 的极大点, f ( x0 ) 为极大值 . (2) 若 x ? x0 时 , f ?( x) ? 0 ; x ? x0 时 , f ?( x) ? 0 ,

(单调减少) (单调增加)

则 x0 为 f ( x) 的极小点, f ( x0 ) 为极小值 .



? ?x ? U( x0 ) , 由已知条件可知 :

x ? x0 时 , 在 [ x0 , x] 上; x ? x0 时 , 在 [ x, x0 ] 上 ,

函数 f ( x) 满足拉格朗日中值定理条件 . 于是, x ? x0 时 , ??1 ? ( x0 , x) , 使

f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?(?1 )( x ? x0 )
x ? x0 时 , ?? 2 ? ( x, x0 ) , 使

f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?(? 2 )( x ? x0 )

由定理中 (1) 的条件, 得
x ? x0 时 , x ? x0 时 ,

y

f ( x) ? f ( x0 ) , f ( x) ? f ( x0 ) ,
O

x0

x

故 x0 为 f ( x) 的极大点, f ( x0 ) 为极大值 .

由定理中(2) 的条件, 得
x ? x0 时 , x ? x0 时 ,

y

f ( x) ? f ( x0 ) , f ( x) ? f ( x0 ) ,
O

x0

x

故 x0 为 f ( x) 的极小点, f ( x0 ) 为极小值 .

判别点 x0 是否为函数的极值点 就是在 U( x0 ) 内 ,

比较函数值 f ( x) 与 f ( x0 ) 的大小.

想想还有哪一个公式中也体现了
f ( x) 与 f ( x0 ) 的 比较关系?

回忆泰勒公式 :
设 f ( x) 在 U( x0 ) 内有直到 (n ? 1) 阶导数, 则
f ( x) ? ?
k ?0 n

f ( k ) ( x0 ) ( x ? x0 ) k ? Rn ( x) . k!



f ??( x0 ) f ( x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? ( x ? x0 ) 2 2! ? ? ? Rn ( x )

看这一部分

如果 x0 是驻点, 会?? .

f ??( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? ( x ? x0 ) 2 ? o (( x ? x0 ) 2 ) 2!

f ??( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? ( x ? x0 ) 2 ? o (( x ? x0 ) 2 ) 2!

对于驻点, 如果函数的二阶导数存在 , 则
可利用函数在点x0 处的二阶导数符号来判别点

x0 是否为极值点.

定理

设 f ( x) ? C (U( x0 )) , 在 x0 有二阶导数 ,

且 x0 为 f ( x) 的驻点 ( 即 f ?( x0 ) ? 0 ) , 则 (1) f ??( x0 ) ? 0 时 , x0 为 f ( x) 的极大点; ( 2 ) f ??( x0 ) ? 0 时 , x0 为 f ( x) 的极小点; ( 3 ) f ??( x0 ) ? 0 时 , 不能判定 x0 是否为 f ( x) 的极值点.

此时应另找其他方法.

什么方法?
高阶的泰勒展开式?

例5 解

求 f ( x) ? ( x 2 ? 1) 的极值 .

2 3

f ( x) 的定义域: ? (??, ? ?) , x
? 2 2 4x ?( x) ? ( x ? 1) 3 ? 2 x ? f 3 3 3 ( x ? 1)( x ? 1) 1

令 f ?( x) ? 0 , 得驻点 x ? 0 ,
又 x ? ?1 , x ? 1时 , f ?( x) 不存在 ,



极值可疑点为 x ? ?1 , x ? 0 , x ? 1.
列表讨论单调性, 判别极值:

f ?(?2) ? 0
x

f ?(?0.5) ? 0
?1

f ?(0.5) ? 0
0 0

f ?(2) ? 0
1

(??, ? 1)
?

(?1, 0)
?

(0, 1)
?

(1, ? ?)
?

y?
y

?
极 小

?
极 小

极 大

f (x) 的极小点为: x ? ?1 , x ? 1 ;

极小值为: f (?1) ? 0 , f (1) ? 0 .
f (x) 的极大点为: x ? 0 ;

极大值为: f (0) ? 1.

自己总结求 极值的步骤

例6 解

求 f ( x) ? x 3 ? 12 x 的极值 .

f ( x) 的定义域: ? (??, ? ?) , x
f ?( x) ? 3x 2 ? 12 ? 3( x ? 2)( x ? 2)

令 f ?( x) ? 0

驻点 x ? ?2 , x ? 2 ,



f ??( x) ? 6 x , f ??(?2) ? ?12 ? 0 , f ??(2) ? 12 ? 0 ,

故 x ? ?2 为极大点, 极大值 f (?2) ? 16 , x ? 2 为极小点, 极小值 f (2) ? ?16 ,

例7 解

求 f ( x) ? ( x 2 ? 1)3 ? 1 的极值 .

f ( x) 的定义域: ? (??, ? ?) , x
f ?( x) ? 6 x ( x 2 ? 1) 2

令 f ?( x) ? 0 , 得驻点 x ? ?1 , x ? 0 , x ? 1 ,
又 f ??( x) ? 6 ( x 2 ? 1) (5x 2 ? 1)

? f ??(0) ? 6 ? 0 ,
? x ? 0 是 f ( x) 的极小点, 极小值 f (0) ? 0 .



f ??(1) ? 0 , f ??(?1) ? 0 ,

怎么办?

首先看看函数的图形.
由图形可知:
x ? ?1 不是函数的极值点.

y

问题在于如何进行解析描述.

?1 O

1

x

我们再看一下泰勒公式:
f ??( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? ( x ? x0 ) 2 2! f ???( x0 ) ? ( x ? x0 ) 3 ? R3 ( x) 3!

x0 为驻点 , 且 f ??( x0 ) ? 0 , f ???( x0 ) ? 0 存在时 ,
f ???( x0 ) ( x ? x0 ) 3 ? R3 ( x) f ( x) ? f ( x0 ) ? 3!

显然 , f ( x) ? f ( x0 ) 在 x0 左右两边反号, 此时 函数在 x0 处不取极值 .

就是说:
设 f ( x) ? C (U( x0 )) , 在 x0 有三阶导数 ,

且 x0 为 f ( x) 的驻点 , f ??( x0 ) ? 0 , f ???( x0 ) ? 0 则 x0 不是函数的极值点.

? f ( x) ? 24 x (5x 2 ? 3)

? f ???(?1) ? ?48 ,

f ???(1) ? 48 ,

故 x ? ?1 , x ? 1 不是函数的极值点.
综上所述,

x ? 0 是 f ( x) 的极小点,

极小值 f (0) ? 0 .

该题也可通过讨论函数 f ( x) 在 x ? ?1 处

左右两边的单调性来做.

定理

设 f ( x) ? C (U( x0 )) , 在 x0处有 n 阶导数 ,
若 f ?( x0 ) ? f ?( x0 ) ? ? ? f ( n?1) ( x0 ) ? 0 , f ( n ) ( x0 ) ? 0 , 则

( 1 ) 当n 为奇数时 , x0 不是 f ( x) 的极值点;

(2) 当n 为偶数时 , x0 是 f ( x) 的极值点:
f ( n ) ( x0 ) ? 0 时 , x0 为极小点; f ( n ) ( x0 ) ? 0 时 , x0 为极大点.

三、函 数 的 最大、最小值

在工程技术和生产实践中, 常常需要考虑 在一定条件下, 怎样才能使用料最少、费用最 省, 而效率和效益最高等问题. 这些问题反映 到数学上就是最优化问题.

优化技术应用价值很大

怎样求函数在一个区间上

的最大、最小值呢?

回忆以前学过的知识:
若 f ( x) ? C ( [a, b] ) , 则 f ( x) 必在 [a, b] 上
取到它的最大值和最小值 .

f (x) 的最大值和最小值可能在区间的端点
x ? a , x ? b 处取得 , 也可能在区间内部取得.
如果 f ( x) 在 (a, b) 内 取得其最大值和最小

值 , 则这些最值一定是函数的极值 .

温故而知新
求一个连续函数在 [a, b] 上的最大值和 最小值 , 只要先求出函数 f ( x) 在 (a, b) 内的

一切极值可疑点 ( 驻点和一阶导数不存在的
点), 然后比较极值可疑点的函数值及区间端

点函数值 , 其中最大者就是函数 f (x) 在区间

[a, b] 上的最大值 , 最小者就是函数 f (x) 在 区间[a, b] 上的最小值 .

求最值的几个特殊情况
(1) 若 f ( x) ?[ a , b ] , 则 f (b) 为最大值 , f (a) 为最小值 . (2) 若 f ( x) ?[ a , b ] , 则 f (a) 为最大值 , f (b) 为最小值 .

(3) 若 f ( x) ? C ( [a, b] ) , 在 (a, b) 内只有唯一点一个
极大(小)值点 , 则该点就是函数的最大(小)值点 .

实际判断原则
在处理实际问题时:若 f ( x) ? C ( I ),且
在区间 I 上只有唯一的一个极值可疑点 x0 ,

而由实际问题可以断定函数 f ( x)在区间 I 上
存在最大(小)值,则点 x0 必为函数 f ( x) 的最

大(小)值点.

例8 解

求 f ( x) ? x 4 ? 2 x 2 ? 5 在 [?2, 2] 上的最大和最小值. f ?( x) ? 4 x 3 ? 4 x ? 4 x ( x ? 1)( x ? 1)

令 f ?( x) ? 0, 得极值可疑点: x ? ?1 , x ? 0 , x ? 1 ,
计算函数值:

(驻点)

f (?1) ? 4 ,

f (0) ? 5 ,

f (1) ? 4 ;
( 端点值 )

f (?2) ? 13 , f (2) ? 13 ,

故 f ( x) 在 [?2, 2] 上的最大值和最小值为:

ymax ? max{4, 5, 4, 13, 13 } ? 13

ymin ? min{4, 5, 4, 13, 13 } ? 4 最大值点为: x ? ?2 , x ? 2 . 最小值点为: x ? ?1 , x ? 1.

没有什么新的东西

用薄铁片冲制圆柱形无盖容器, 要求

例8

它的容积一定, 问应如何选择它的半径和 高度才能使用料最省 ?



设容积(体积)为 V , 半径为 r , 高为 h .

用料最省即指容器的表面积 A 最小.
V ? ? r2h

V h? ? r2
2



2V A ? ? r ? 2? r h ? ? r ? r
2

应 用 题

dA 2V V 3 令 ? 2? r ? 2 ? 0 , 得 r ? , dr r ?

因为 r ?

3

V

?

是 A 的唯一极值可疑点,



A 的最小值一定存在 ,
3

所以, r ?

V

?

为 A 的最小点 ,

如果不放心,可用 二阶导数进行判断.

故当要求的容器的容积为 A 时 , 选择半径
r?3 V

?

, 高 h?3

V

?

可使用料最省.

d2 A 事实上 d r2

r ?3

V

? (2? ?

?

4V ) 3 r r ?3

V

? 6? ? 0 .

?

例9

某出版社出版一种书, 印刷 x 册所需 成本为

y ? 25000 ? 5x (元)

每册售价 p 与 x 间有经验公式 x p ? 6 (1 ? ) 1000 30 假设书可全部售出, 问应将价格 p 定为多 少才能使出版社获利最大?



以 Q 表示获利, 则

Q ? px? y
由经验公式, 得
x p ? 30 ? 200

于是
x Q ? (30 ? ) x ? (25000 ? 5 x) 200 令 x x Q? ? (30 ? )? ?5 ? 0 200 200

得唯一极值可疑点 x ? 2500 (册) ,

又 Q?? ? ?

1 , 100

故 x ? 2500 为极大点, 即为 Q 的最大点 .
从而应将价格 p 定为
x 2500 p ? (30 ? ) x ? 2500 ? 30 ? ? 17 .5 (元) 200 200

此时最大获利为
Qmax ? [(30 ? x ) x ? ( 25000 ? 5 x)] x ? 2500 200

? 6250 (元)

例10

将一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁. 问应如何选择矩形截面的高 h 和宽 b才能使梁的抗 弯截面模量 W 最大?



由力学知识, 梁的抗弯截面模量为
d b

1 2 W ? bh 6 由右图可以看出:

h

h2 ? d 2 ? b2

( 0 ? b, h ? d ) .

问题归结为求函数 W 的最大值:
1 W ? b (d 2 ? b 2 ) . 6

1 ? ? (d 2 ? 3b 2 ) ? 0 , 得驻点 b ? 令 W 6

1 d. 3

唯一的一个

由于梁的最大抗弯截面模量一定存在, 故当

b?

1 d, h? 3

2 d 时 , 梁的抗弯截面模量最大. 3

此时 , d : h : b ? 3 : 2 : 1.

例10 例11

证明: 0 ? x ? 1 , p ? 1时 , 当

1 2 p ?1

? x p ? (1 ? x ) p ? 1 .

记 f ( x) ? x p ? (1 ? x) p ,

x ? [0, 1] ,





f ?( x) ? px

p ?1

? p(1 ? x)

p ?1

1 ? 0 , 得驻点 x ? , 2

x

(0, 1/2)

1/ 2 0

(1 / 2 , 1)

y?
y

?

?

极 小

f max ? max{ f (0) , f (1) , f (1 / 2)}
? max{1 , 1 , 1 2
p ?1

} ? 1,

与端点值比较

f min ? min{ f (0) , f (1) , f (1 / 2)}
? min{1 , 1 , 1 2
p ?1

}?

1 2
p ?1

( p ? 1 ),

故当 0 ? x ? 1 , p ? 1 时 ,
即 1 2 p ?1

f min ? f ( x) ? f max ,

? x p ? (1 ? x) p ? 1 .

利用导数的性质证明不等式是一种常用的 技巧, 它包含以下几个部分:

利用微分中值定理 利用泰勒公式 (二阶以上的) 利用函数的单调性 利用函数的极值和最值



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