9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 高考 >>

2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题03 导数与运用(解析版) Word版含解析


一、填空题
1. 【2016 高考冲刺卷(3) 【江苏卷】 】设过曲线 f ? x ? ? ?e ? x ( e 为自然对数的底数)上
x

任意一点处的切线为 l1 ,总有过曲线 g ? x ? ? ax ? 2cos x 上一点处的切线 l2 ,使得 l1 ? l2 ,则 实数 a 的取值范围为 .

2. 【2016 高考冲刺卷(7) 【江苏卷】 】若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (i)直线 l 在点 (ii)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 P 处 P( x0 , y0 ) 处与曲线 C 相切; “切过”曲线 C,下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号) . ①直线 l : y ? 0 在点 P(0, 0) 处 “切过”曲线 C : y ? x
3

②直线 l : y ? x ? 1 在点 P(1, 0) 处“切过”曲线 C : y ? ln x ③直线 l : y ? ? x ? ? 在点 P (? , 0) 处“切过”曲线 C : y ? sin x ④直线 l : y ? x ? 1 在点 P(0,1) 处“切过”曲线 C : y ? ex 【答案】①③ 【解析】对于①, y ? x3 在点 P(0, 0) 处的切线为 y ? 0 ,符合题 中两个条件,所以正确;对 于②曲线 C : y ? ln x 在直线 l : y ? x ? 1 的同侧,不符合题意,所以错误;对于③,由图象可 知,曲线 C : y ? sin x 在点 P (? , 0) 附近位于直线 l 的两侧,符合题意,所以正确;对于④, 曲线 C : y ? ex 在直线 l : y ? x ? 1 的同侧,不符合题意,所以错误;即正确的有①③. 3. 【江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016 届高三第二次调研测试数学试题】若存在

? ? 3 ?t ? cos ? ? cos ? ,则实数 t 的取值范围是 ? , ? ? R ,使得 ? 2 ? ? ? ? t ? ? ? 5cos ?





4. 【2016 高考押题卷(2) 【江苏卷】 】已知函数 f ? x ? ?

ln(2 x) ,关于 x 的不等式 x

f 2 ? x ? ? af ? x ? ? 0 只有两个整数解,则实数 a 的最大值是
【答案】 ?

1 ln 6 3

【解析】函数定义域为 (0,??) ,若 a ? 0 ,显然不合题意,舍去; 若 a ? 0 ,则由不等式 f 2 ( x) ? af ( x) ? 0 得 f ( x) ? ?a 或 f ( x) ? 0 , 即

ln( 2 x ) ln( 2 x ) 1 ln( 2 x ) ? 0 ,由 ? 0 得 x ? ,此时原不等式有无数个整数解,故 ? ?a 或 x x 2 x

不合题意,舍去; 若 a ? 0 ,则由不等式 f 2 ( x) ? af ( x) ? 0 得 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? ?a ,

ln( 2 x ) ln( 2 x ) 1 ln( 2 x ) ? 0或 ? 0 得 ln(2 x) ? 0 ,即 0 ? x ? ,无整数解, ? ? a ,由 x x 2 x ln( 2 x ) ? ? a 有且只有两个整数解, 故由条件可得不等式 因 x ? (0,??) , 故两整数只能是 1,2 , x ln x ? ln 2 1 ? ln x ? ln 2 1 ? ln( 2 x) 1 ? 因 f ( x) ? , f ' ( x) ? , 故当 x ? (0, e) 时, 函数 f ( x) 单 2 2 x x x 2 1 调递增,当 x ? ( e,?? ) 时,函数 f ( x) 单调递减, 2 ln( 2 ? 3) 1 1 ? ? a ,得 a ? ? ln 6 ,即 a 的最大值为 ? ln 6 从而取 x ? 3 时,满足 3 3 3


? x ?1 ,x ? a ? 5. 【2016 高考冲刺卷(8) 【江苏卷】 】 设函数 f(x)= ? e x ,g(x)=f(x)-b.若存在实 ? ? ? x ? 1, x ? a
数 b,使得函数 g(x)恰有 3 个零点,则实数 a 的取值范围为 ▲ .

6. 【南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试】若存在两个正实数 x、y,使得等式 x +a(y-2ex)(lny-lnx)=0 成立,其中 e 为自然对数的底数,则实数 a 的取值范围为________ ▲ . 【答案】 a ? 0或a ? .

1 e

【解析】

1 y y y ? ? ( ? 2e)ln ? (t ? 2e)ln t,(t ? ? 0) x x x 试题分析:由题意得: a ,令 m ? (t ? 2e)ln t ,(t ? 0) , m? ? ln t ? t ? 2e 1 2e , m?? ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? ? t t t 当 x ? e 时 m ? m (e) ? 0 ;当 0 ? x ? e 时 m ? m (e) ? 0 ;



1 1 ? ? ? e ? a ? 0 或 a ? . e 因此 m ? m(e) ? ?e ;从而 a
7. 【2016 高考冲刺卷 (2) 【江苏卷】 】 设函数 y ? ?

?? x3 ? x2 , x ? e, 的图象上存在两点 P, Q , x?e ? a ln x,

使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形 (其中 O 为坐标原点) , 且斜边的中点恰好在 y 轴 上,则实数 a 的取值范围是 【答案】 (0, 【解析】 试题分析:由 x ? e 时, y ? ? x3 ? x 2 图象,及线段 PQ 中点恰好在 y 轴上,可得 a ? 0 ,且 点 P, Q 分别在两段图象上,所以可以设 P(? x, x3 ? x2 ), Q( x, a ln x), ( x ? e) . 因为 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,所以 OP ? OQ 即 OP ? OQ ? 0 故有 ? x2 ? a ln x( x3 ? x2 ) ? 0 ,整理得 a ? ▲ .

1 ] e ?1

??? ?

????

??? ? ????

1 1 1 , ( x ? e) ,此时 ? (0, ], ( x ? 1) ln x ( x ? 1) ln x e ?1

a ? (0,
所以

1 ] e ?1

8. 【2016 高考押题卷(3) 【江苏卷】 】设点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,若点 P 到直 线 y ? x ? 2 的距离的最近,则点 P 的横坐标是 .

1) 内无极 9. 【2016 年第一次全国大联考【江苏卷】 】已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a ln x 在区间 (0 ,

值点,则 a 的取值范围是 _______.
? 4] ? [0 , ? ?) 【答案】 (?? ,

f ?( x) ? 2 x ? 2 ? a f ?( x) ? 2 x ? 2 ? a ? 0 (0 , 1) 1) x x 【解析】 由题意得 在区间 不变号, 即 在区间 (0 , f ?( x) ? 2 x ? 2 ? a ? 0 1) 恒成立,因此 a ? [?2 x( x ? 1)]max , x ? (0,1), 而 x 恒成立或 在区间 (0 ,
?2 x( x ? 1) ? 0 ,所以 a ? 0 ;或 a ? [?2 x( x ?1)] min , x? (0,1),
? 4] ? [0 , ? ?) . 上 a 的取值范围是 (?? ,

而 ?2 x( x ? 1) ? ?4 ,所以 a ? ?4 ;综

10. 【2016 年第四次全国大联考【江苏卷】 】已知函数 h( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? g ( x) , ? g ( x), f ( x) ? g ( x)

1 f ( x) ? x 3 ? ax ? , g ( x) ? ? ln x ,若 h( x) ? 0 在 (0, ??) 上有三个不同的实数根,则实 4 数 a 的取值范围为 _______.

5 a a a 1 a 1 3 0 ? a ? ?3, a ? ? , (? )3 ? 3(? ) ? ? ? 0 ? (? )3 ? ? a ? ? 4 3 3 3 4 3 8 4, 从而实数 a 的取值范

5 3 ( ? , ? ). 围为 4 4
11. 【南通市 2016 届高三下学期第三次调研考试数学试题】已知两曲线

? ?? f ? x ? ? cos x, g ? x ? ? 3 sin x, x ? ? 0, ? 相交于点 A .若两曲线在点 A 处的切线与 x 轴 ? 2?
分别相交于 B, C 两点,则线段 BC 的长为 .

【答案】

4 3 3

【解析】

cos x ? 3 sin x ? tan x ?
试题分析:由题意得

3 ? ? ?? , Q x ? ? 0, ? ? x ? . 3 6 又 ? 2?

f ? ? x ? ? ? sin x, g ?( x) ? 3 cos x
y?


1 ?? ? 3 ?? ? f ? ? ? ? ? , g? ? ? ? 2 ? 6 ? 2 ,方程分别 所以切线斜率分别为 ? 6 ?

3 1 ? 3 3 ? ? ? ( x ? ), y ? ? (x ? ) 2 2 6 2 2 6 ,与 x 轴交点横坐标分别为
? 3, x ?

x?

?
6

?
6

?

3 3 4 3 3 ? (? ) ? 3 ,故线段 BC 的长为 3 3

12. 【江苏省苏北三市 (徐州市、 连云港市、 宿迁市) 2016 届高三最后一次模拟考试】 若点 P, Q 分别是曲线 y ? 【答案】 【解析】 试题分析:设两直线 4 x ? y ? m 与

x?4 与直线 4 x ? y ? 0 上的动点,则线段 PQ 长的最小值 x

.

7 17 17

y?

x?4 4 y? ? ? 2 x 相切, P 为切点.由 x 得

?

4 ? ?4 ? x ? ? 1 x2 ,因此 P(1,5)或P(?1, ?3), m ? 9或m ? ?7 ,两直线 4 x ? y ? m 、

9 7 7 17 或 . 4 x ? y ? 0 间距离分别为 17 17 ,故线段 PQ 长的最小值为 17
13. 【江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研 (二) 数学试题】 已知函数 f ( x) ? x x2 ? a , 若存在 x ? ?1, 2? ,使得 f ( x) ? 2 ,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

二、解答题
1. 【 2016 年第二次全国大联考(江苏卷) 】 (本小题满分 16 分)已知函数

f ? x ? ? x ln x ? ax2 ? a ( a ? R ) ,其导函数为 f ? ? x ? .
(Ⅰ)当 x ? e 时,关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅱ)函数 g ( x) ? f ?( x) ? (2a ? 1) x ? 1 ,其导函数为 g? ? x ? .若 x1 , x2 为函数 g ( x) 两个零 点,试判断 g ?(

x1 ? x2 ) 的正负,并说明理由. 2

因为 ? ?(t ) ? ?

1 4 (t ? 1)2 ? ? 0 ,所以 ? (t ) 在 (1, ??) 上单调递增,所以 t (t ? 1)2 t (t ? 1) 2

? (t ) ? ? (1) ? 0 ,

综上所述,函数 g ( x) 总满足 g ?(

x1 ? x2 ) ? 0 成立. 2

……………16 分

2. 【2016 年第三次全国大联考【江苏卷】 】 (本题满分 14 分) 某型汽车的刹车距离 s(单位:米)与时间 t(单位:秒)的关系为 s ? 5t 3 ? k ? t 2 ? t ? 10 ,其 中 k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量. (注:汽车从刹车开始到完全静止所 用的时间叫做刹车时间;所经过的距离叫做刹车距离.) (1)某人在高速行驶途中发现前方大约 10 米处有一辆汽车突然抛锚停止,若此时 k=8,紧急 刹车的时间少于 1 秒,试问此人是否要紧急避让? (2)要使汽车的刹车时间不小于 1 秒钟,且不超过 2 秒钟,求 k 的取值范围.

3. 【2016 年第三次全国大联考【江苏卷】 】 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x +m ? x3 , g ? x ? ? ln ? x ?1? ? 2 . (Ⅰ)若曲线 y ? f ? x ? 在点 0,f ? 0? 处的切线斜率为 1 ,求实数 m 的值; (Ⅱ)当 m ? 1 时,证明: f ? x ? ? g ( x) ? x3 . 【答案】 (Ⅰ) m ? 0 (Ⅱ)见解析 【解析】 (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? e
x +m

?

?

? x3 ,所以 f ?( x) ? e x +m ? 3x2 .
m

因为曲线 y ? f ? x ? 在点 0,f ? 0? 处的切线斜率为 1 ,所以 f ? ? 0? ? e ? 1,解得 m ? 0 .

?

?

(Ⅱ)因为 f ( x) ? e x +m ? x3 , g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 2 ,

因为 h? ? x0 ? ? 0 ,所以 e

x0 +1

?

1 ,即 ln ? x0 ?1? ? ? ? x0 ?1? . x0 ? 1



x ? ? ?1, x0 ?

时,

h? ? x ? ? 0

;当

x ? ? x0 , ???

时,

h? ? x ? ? 0



所以当

x ? x0 时, h ? x ? 取得最小值 h ? x0 ? .
x0 ?1

所以

h ? x ? ? h ? x0 ? = e

? ln ? x0 ?1? ? 2

?

1 ? ? x0 ? 1? ? 2 ? 0 x0 ? 1 .

综上可知,当 m ? 1 时,

f ? x ? ? g ( x) ? x3

.

a f ( x) ? ln x ? ax ? . x 4. 【2016 年第四次全国大联考【江苏卷】 】 (本小题满分 16 分)已知函数
(Ⅰ) 若函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线过点 (0, a ) ,求 a 的值;

(Ⅱ)若 0 ? a ? 1 ,求证:

f(

a2 )?0 2 ;

(Ⅲ)若 f ( x) 恰有三个不同的零点,求 a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) a ? 1 (Ⅱ)见解析(Ⅲ)
1 (0, ). 2

所以 f ( x) 在 (0, x1 ) 上单调递减, ( x1 , x2 ) 上单调递增, ( x2 ,+?) 上单调递减,所以 f ( x) 至多有 3 个零点,………12 分

又因为

f(

a2 a2 ?x0 ? ( , x1 ), f ( x0 ) ? 0, ) ? 0 f ( x ) ? f (1) ? 0, 2 1 2 , 所以由零点存在性定理得

f(


1 ) ? ? f ( x0 ) ? 0, x0

所以 f ( x) 恰有三个不同零点

1 , x0 ,1. x0

所以 a 的取值范围为

1 (0, ). 2 ………16 分.

5. 【2016 年第一次全国大联考【江苏卷】 】 (本小题满分 16 分) (1)若 ax ? ln x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)证明: ?a ? 0, ?x0 ? R, 使得当 x ? x0 时, ax ? ln x 恒成立.

1 ( , ??) 【答案】 . (1) e (2)见解析

列表:

x

1 (0, ) a
?

1 a
0

1 ( , ??) a

? ?( x)

?
?

? ( x)
??9 分

?

极小值 1 ? ln a

1 1 若 a ? 时, ? ( x)min ? 1 ? ln a ? 0 ,所以 ? ( x) ? 0 ,取 x0 ? 2 ? 0 ,则满足题意; e a 1 1 1 若 a ? 时, ? ( x)min ? 1 ? ln a ? 0 ,所以 ? ( x) ? 0 ,取 x0 ? 2 ? ,则满足题意;??11 分 e a a

若0? a ?

1 1 1 时, ? ( x)min ? 1 ? ln a ? 0 ,取 x0 ? 2 ? , e a a 1 1 1 ) ? ? 2ln , 2 a a a

则当 x ? x0 时, ? ( x) ? ? ( 令t ?

1 ,记 r (t ) ? t ? 2ln t ,且 t ? e , a 2 ? 0 ,故 r (t ) 为 (e, ??) 上单调增函数, t 1 1 ? 2ln ? 0 ,所以 ? ( x) ? 0 ,满足题意. a a

则 r ?(t ) ? 1 ?

所以 r (t ) ? r (e) ? e ? 2 ? 0 ,从而 综上, ?a ? 0, ?x0 ?

1 ,使得当 x ? x0 时, ax ? ln x 恒成立. a2

所以 ?a ? 0, ?x0 ? R, 使得当 x ? x0 时, ax ? ln x 恒成立.??16 分

6. 【2016 年第一次全国大联考【江苏卷】 】 (本小题满分 16 分)将一个半径为 3 分米,圆心 角为 ? (? ? (0, 2? )) 的扇形铁皮焊接成一个容积为 V 立方分米的圆锥形无盖容器(忽略损耗). (1)求 V 关于 ? 的函数关系式; (2)当 ? 为何值时, V 取得最大值; (3)容积最大的圆锥形 容器能否完全盖住桌面上一个半径为 0.5 分米的球?请说明理由.

7. 【2016 高考押题卷(1) 【江苏卷】 】 (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? e x ,

g ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a, b ? R) .
网 ]

[

(1)若 a ? 0 ,则 a , b 满足什么条件时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 0 处总有相同的

切线? (2)当 a ? 1 时,求函数 h( x) ?

g ( x) 的单调减区间; f ( x)

(3)当 a ? 0 时,若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 恒成 立,求 b 的取值的集合.

①当 b ? 0 时, ? ?( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 在 R 上单调递增, 又 ? (0) ? 0 ,? x ? (??, 0) 时, ? ( x) ? 0 ,与函数 f ( x) ? g ( x) 矛盾,???12 分 ②当 b ? 0 时, ? ?( x) ? 0 , x ? ln b ; ? ?( x) ? 0 , x ? ln b ,

? 函数 ? ( x) 在 (??,ln b) 单调递减; (ln b, ??) 单调递增,
(Ⅰ)当 0 ? b ? 1 时,? ln b ? 0 ,又 ? (0) ? 0 ,? ? (ln b) ? 0 ,与函数 f ( x) ? g ( x) 矛盾, (Ⅱ)当 b ? 1 时,同理 ? (ln b) ? 0 ,与函数 f ( x) ? g ( x) 矛盾, (Ⅲ)当 b ? 1 时, ln b ? 0 ,? 函数 ? ( x) 在 (??, 0) 单调递减; (0, ??) 单调递增,

? ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,故 b ? 1 满足题意.

综上所述, b 的取值的集合为 ?1? .

?????16 分

8. 【2016 高考押题卷 (3) 【江苏卷】 】 (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? 为常数) .

1 2 x ? bx ? 1(b 2

(1)若函数 y ? f / ( x) 的图象与直线 y ? ?2 x ? 1 只有一个交点,求实数 b 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 在定义域内存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3)试确定函数 y ? f ( x) 在区间 [1,??) 内的零点的个数.

上的零点的个数为 0-------------------------------------------------------8 分;

b 2 b2 (x ? ) ? 1 ? 1 x 2 ? bx ? 1 / 2 4 . ? ②当 b ? 0 时, f ( x ) ? ? x ? b ? x x x

9. 【2016 高考押题卷(2) 【江苏卷】 】 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax2 ,曲线 y ? f ( x) 在 x = 1 处的切线方程为 y ? bx ? 1 . (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f ( x) 在 [0,1] 上的最大值; (3)证明:当 x > 0 时, e x ? (1 ? e) x ? x ln x ? 1 ? 0 【答案】 (1) a ? 1, b ? e ? 2
x

(2) e ? 1

(3)略.

【解析】 (1) f '( x) ? e ? 2ax ,由题设得, f '(1) ? e ? 2a ? b , f (1) ? e ? a ? b ? 1 , 解得, a ? 1, b ? e ? 2 .

e x ? (2 ? e) x ? 1 ? x, x ? 0 . 故 x
由(2)知, e ? x ? 1 ,故 x ? ln( x ? 1),? x ? 1 ? ln x ,当且仅当 x ? 1 时取等号.
x

所以,

e x ? (2 ? e) x ? 1 ? x ? ln x ? 1 . x


x

e x ? (2 ? e) x ? 1 ? ln x ? 1 .所以, ex ? (2 ? e) x ?1 ? x ln x ? x , x

即 e ? (1 ? e) x ? x ln x ?1 ? 0 成立,当 x ? 1 时等号成立. 10. 【2016 高考冲刺卷 (2) 【江苏卷】 】 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e (2 x ? 1) ? ax ? a
x

(a∈R) , e 为自然对数的底数.

(1) 当 a=1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2) ①若存在实数 x ,满足 f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围; ②若有且只有唯一整数 x 0 ,满足 f ( x0 ) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

记 g ( x) =

e x ? 2 x ? 1?

x ?1

, g '( x) ?

e x ? 2 x ? 1?? x ? 1? ? e x ? 2 x ? 1?

? x ? 1?

2

?

e x 2 x 2 ? 3x

?

?

? x ? 1?

2



?3 ? ? 3? 0? 和 ? , ?? ? 上为增函数, ? 0,1? 和 ? 1, ? 上为减函数. ∴ g ( x) 在区间 ? ?? , 2 ? ? ? 2?

∴ 当 x ? 1 时, a ? g ?

?3? 2 ? ? 4e ,当 x ? 1 时, a ? g ? 0? ? 1 . ????????8 分 ?2?

3

综上所述,所有 a 的取值范围为 ? ??,1? U ? 4e 2 , ?? ? .

? ?

3

? ?

?????????9 分

②由①知 a ?1 时, x0 ? (??,1) ,由 f ( x0 ) ? 0 ,得 g ( x0 ) ? a ,

0? 上单调递增,在 ? 0,1? 上单调递减,且 g ? 0? ? 1 ? a , 又 g ( x) 在区间 ? ?? ,

∴ g ? ?1? ≤ a ,即 a ≥
3

3 3 ,∴ ≤ a ? 1 . 2e 2e

?????????12 分

当 a ? 4e 2 时, x0 ? (1, ??) ,由 f ( x0 ) ? 0 ,得 g ( x0 ) ? a ,

? 3? ?3 ? ?3? 又 g ( x) 在区间 ? 1 , ? 上单调递减,在 ? , ?? ? 上单调递增,且 g ? ? ? 4e 2 ? a , ? 2?

3

?2

?

?2?

∴?

? ? g ? 2? ? a 5e3 ,解得 3e2 ? a ≤ . 2 ? ? g ? 3? ≥ a
[
综上所述,所有 a 的取值范围为

?????????15 分

? 3 5e3 ? ,1) ? ? 3e2 , ? 2e 2 ? ?



?????????16 分

11. 【江苏省苏中三市(南通、扬州、泰州)2016届高三第二次调研测试数学试题】 (本小题 满分 16 分)植物园拟建一个多边形苗圃,苗圃的一边紧靠着长度大于 30m 的围墙.现有两种方 案: 方案① 多边形为直角三角形 AEB ( ?AEB ? 90? ) ,如图 1 所示,其中 AE ? EB ? 30m ; 方案② 多边形为等腰梯形 AEFB ( AB ? EF ) ,如图 2 所示,其中 AE ? EF ? BF ? 10m . 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积,并从中确定使苗圃面积最大的方案.

A E 图1

B

A E 图2 F

B

因为 ? ? (0, ) ,所以 ? ?

?

?
3

2

,列表

?

(0, ) 3

?

?
3

( , ) 3 2

? ?

? S2
S2
所以 ? ?

?
?

0

_

极大值

?

?
3

时, S2 最大值为 75 3 ?

225 2

所以建苗圃时用方案②,且 ?BAE ?

?
3

225 2 ? m ,75 3m2 . ?BAE ? 3 答:方案①、②中苗圃最大面积分别为 2 建苗圃时用方案②,且
12. 【江苏省扬州中学 2016 届高三 4 月质量监测】 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? a)2 , g ( x) ? ? x2 ? (a ? 1) x ? a (其中 a 为常数). (1)如果函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 有相同的极值点,求 a 的值;
a (2)设 a>0,问是否存在 x0 ? (?1, ) ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,若存在,请求出实数 a 的取 3

值范围;若不 存在,请说明理由; (3)记函数 H ( x) ? [ f ( x) ? 1] ? [ g ( x) ? 1] ,若函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点,求实数 a 的 取值范围.

当 x ? ( ?1, ) 时,又 a ? 0 ,故 x ? a ? 0 , 则存在 x ? ( ?1, ) ,使得 x2 ? (1 ? a) x ? 1 ? 0 ,

a 3

a 3

1? 当

a ?1 a 3 ?a? ?a? ? 即 a ? 3 时, ? ? ? (1 ? a) ? ? ? 1 ? 0 得 a ? 3或a ? ? ,? a ? 3 ; 2 3 2 ?3? ?3?

2

2 ? 当 ?1 ?

4 ? (a ? 1)2 a ?1 a ? 即 0 ? a ? 3 时, ? 0 得 a ? ?1或a ? 3 ,? a 无解; 2 3 4

综上: a ? 3 .

当 x0 ? a 时, f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 ,不符合,舍去; 当 x0 ? a 时,既有 x0 ? ax0 ? x0 ? 1 ? 0
2

①; ②;

又由 g ( x0 ) ? 1 ,即 ? x0 ? (a ?1) x0 ? a ? 1
2

联立①②式,可得 a ? 0 ; 而当 a ? 0 时, H ( x) ? [ f ( x) ?1] ?[ g ( x) ?1] ? ( x3 ?1)(? x2 ? x ?1) ? 0 没有 5 个不同的零点,

故舍去,所以这 5 个实根两两不相等.

a?
综上,当

33 2 2 时,函数 y ? H ( x) 有 5 个不同的零点.

13. 【江苏省苏锡常镇四市 2016 届高三教学情况调研(二)数学试题】(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ? e x ? x2 ? bx ( a ,b ? R , e ? 2.71828? 是自然对数的底数) ,其导函 数为 y ? f ?( x) . (1)设 a ? ?1 ,若函数 y ? f ( x) 在 R 上是单调减函数,求 b 的取值范围; (2)设 b ? 0 ,若函数 y ? f ( x) 在 R 上有且只有一个零点,求 a 的取值范围; (3) 设 b ? 2 ,且 a ? 0 ,点 (m ,n) ( m , n ? R )是曲线 y ? f ( x) 上的一个定点,是否 存在实数 x0 ( x0 ? m ) ,使得 f ( x0 ) ? f ?(

x0 ? m )( x0 ? m) ? n 成立?证明你的结论. 2

(2)当 b ? 0 时, f ( x) ? ae x ? x2 ,由题意 ae x ? x 2 ? 0 只有一解﹒ 由 ae x ? x 2 ? 0 ,得 ?a ?

x(2 ? x) x2 x2 G ( x ) ? ,令 ,则 G?( x) ? , x x ex e e
????5 分

令 G?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 .
? ?? , 当 x ≤ 0 时, G ?( x) ≤ 0 , G ( x) 单调递减, G ( x) 的取值范围为 ? 0 ,
? 4 当 0 ? x ? 2 时, G?( x) ? 0 , G ( x) 单调递增, G ( x) 的取值范围为 ? 0 ,2 ? e

? ?, ?

? 4? 当 x ≥ 2 时, G ?( x) ≤ 0 , G ( x) 单调递减, G ( x) 的取值范围为 ? 0 ,2 ? , ? e ?

由题意,得 ? a ? 0 或 ?a ? 所以当 a ? 0 或 a ? ?

4 4 a ? 0或a ? ? 2 , 2 ,从而 e e
????8 分

4 时,函数 y ? f ( x) 只有一个零点. e2

(3) f ( x) ? aex ? x2 ? 2x , f ?( x) ? ae x ? 2 x ? 2 , 假设存在,则有 f ( x0 ) ? f ?(

x0 ? m x ?m )( x0 ? m) ? n ? f ?( 0 )( x0 ? m) ? f (m) , 2 2

14. 【2016 高考冲刺卷(1) 【江苏卷】 】 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? x ? 2)e ( a>0 ) ,其中 e 是自然对数的底数.
2 x

(1)当 a ? 2 时,求 f ( x ) 的极值;

2?上是单调增函数,求 a 的取值范围; (2)若 f ( x ) 在 ?? 2,
(3)当 a ? 1 时,求整数 t 的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 4 在 ?t,t ? 1? 上有解.
3 ? 3 3 ?1 【答案】 (1) f ( x)极大值 =f ( ? ) ? 5e 2 , f ( x)极小值 =f (?1) ? 3e (2) (0,1 ? ] (3) t ? ?4, 0 2 2

【解析】 (1) f ( x) ? (2 x2 ? x ? 2)e x ,则 f ' ( x) ? (2 x2 ? 5x ? 3)e x ? ( x ? 1)(2 x ? 3)e x 令 f ' ( x) ? 0 , x ? ?1, ?
x

??2 分

3 2
3 (??, ? ) 2
?

?

3 2

3 (? , ?1) 2
?

?1
0 极小值

( ?1, ?? )
?

f ' ( x)
f ( x)

0 极大值







3 ? 3 ?1 ? f ( x)极大值 =f (? ) ? 5e 2 , f ( x)极小值 =f (?1) ? 3e 2

???4 分

(3)? a ? 1, 设 h( x) ? ( x2 ? x ? 2)e x ? x ? 4 , h' ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x ? 1 令 ? ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x ? 1 , ? ' ( x) ? ( x2 ? 5x ? 6)e x

令 ? ' ( x) ? ( x2 ? 5x ? 6)ex ? 0, 得x ? ?2, ?3
x

(??, ?3)
?

?3
0 极大值

(?3, ?2)
?

?2
0 极小值

(?2, ??)
?

? ' ( x)
? ( x)
?? ( x)极大值 =? (?3) ?





增 ???13 分

3 1 ? 1 ? 0 , ? ( x)极小值 =? (?2) ? 2 ? 1 ? 0 3 e e

1 ? ( x) ? 0 ,x ? ( x0 , ??) ?? (?1) ? ? 1 ? 0,? (0) ? 2 ? 0 , ∴存在 x0 ? (?1,0) ,x ? (??, x0 ) 时, e

时, ? ( x) ? 0 .
? h ( x ) 在 (??, x0 ) 上单调减,在 ( x0 , ??) 上单调增

又? h(?4) ?

14 8 ? 0, h(?3) ? 3 ? 1 ? 0, h(0) ? ?2 ? 0, h(1) ? 4e ? 5 ? 0 e4 e

由零点的存在性定理可知:h( x) ? 0 的根 x1 ? (?4, ?3), x2 ? (0,1) ,即 t ? ?4,0 . 分 15. 【2016 高考冲刺卷(3) 【江苏卷】 】 (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) ? (1)若 a ? ?1 ,求函数 f ( x) 的极值,并指出极大值还是极小值; (2)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最值;

???16

1 2 x ? a ln x . 2

2 3 (3)若 a ? 1 ,求证:在区间 [1,??) 上,函数 f ( x) 的图象在 g ( x ) ? x 的图象下方. 3

(3)证明:令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 2 2 x ? ln x ? x 3 ( x ? 1) 2 3

h?( x) ? x ?

1 ? 2x3 ? x 2 ? 1 ( x ? 1)(2 x 2 ? x ? 1) [1,??) 上恒成立, ? 2x 2 ? ?? ? 0在 x x x

? h( x) 在区间 [1,??) 上递减,
? h( x) ? h(1) ? 1 2 1 ? ?? ?0 2 3 6

2 ? 在区间 [1,??) 上,函数 f ( x) 的图象在 g ( x ) ? x 3 的图象下方????16 分 3
16. 【2016 高考冲刺卷(5) 【江苏卷】 】(本题满分 16 分)设函数

f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)①是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立?若存在,求出 b 的 取值范围;若不存在,说明理由;②证明:不等式 ?1 ? ?

k 1 ? ln n ? ? n ? 1, 2, ???? . 2 k ?1 k ? 1
2

n

∴函数 f ?x ? 的最大值为 f ? 0? =0 ????4 分 (2)①由已知得: g
/

? x? ?

1 ?b 1? x
/

(i)若 b ? 1 ,则 x ? ? 0, +? ? 时, g

? x? ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? bx 在 ?0, +? ? 上为减函数, ∴ g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? bx ? g ? 0? ? 0 在 ? 0, +? ? 上恒成立;????5 分 (ii)若 b ? 0 ,则 x ??0, +?? 时, g
/

? x? ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? bx 在 ?0, +? ? 上为增函数, ∴ g ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? bx ? g ? 0? ? 0 ,不能使 g ? x ? ? 0 在 ? 0, +? ? 上恒成立;????7 分 (iii)若 0 ? b ? 1 ,则 g
/

? x? ?

1 1 ? b =0 时, x ? ? 1 , b 1? x

当 x ? ?0, ? 1? 时, g

? 1 ? b

? ?

/

? ? x ? ? 0 ,∴ g ? x? ? ln ?1? x? ? bx 在 ? ?0, ? 1? 上为增函数, 1 ? b ?

17. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】已知函数 f ( x) ? ax ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

1 ? (a ? 1) ln x, a ? R . x

(Ⅱ)当 a ? 1 时,若 f ( x) ? 1 在区间 [ , e] 上恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) a ? 2 【解析】解析:(Ⅰ) (Ⅰ) 函数 f ( x ) 的定义域为

1 e

? x x ? 0? , f ?( x)=

ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (ax ? 1)( x ? 1) ? 当 a ? 0 时, ax ? 1 ? ? ,令 f ?( x) ? 0 , x2 x2

1) 解得 0 ? x ? 1 ,则函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

(1, +? ) 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ,函数 f ( x ) 单调递减区间为 . (1, +? ) 1) ,单调递减区间为 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, .
当 0 ? a ? 1 时,

1 1 ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 或 x ? ,则函数 f ( x) 的单调递增 a a

1) ; 区间为 (0,
令 f ?( x) ? 0 ,解得 1 ? x ?

1 1 (1, ) . ,函数 f ( x ) 单调递减区间为 a a

f ( x) min

? e2 ? 1 1 ? f ( ) ?1 ?a ? ? min{ f ( ), f (1)} , 依题意 ? e ,即 ? e ? 1 ,所以 2 ? a ? e ; e ? ? ? f (1) ? 1 ? a?2

若 a ? 1 ,则 f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 在区间 [ , e] 上单调递增, f ( x) min ? f ( ) ? 1 ,不满足条件; 综上, a ? 2 . 18. 【2016 高考冲刺卷(7) 【江苏卷】 】已知函数 f ( x) ? e x (sin x ? ax2 ? 2a ? e) ,其中 a ? R ,

1 e

1 e

e ? 2.71828? 为自然对数的底数.
(1)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)当

1 ? a ? 1 时,求证:对任意的 x ?[0, ??) , f ( x) ? 0 . 2

1 1 1 cos2 x0 ? 2a ? e ? sin 2 x0 ? sin x0 ? ? 2a ? e 4a 4a 4a 1 1 2 2 ? ) ,即有 p(t ) ? 令 t ? sin x0 , x0 ? (0, ) ,则 t ? (0, t 2 ? t ? ? 2a ? e , t ? (0, ) 2 2 4a 4a 4 1 2 ) 上是增函数,且 ? a ? 1 因为 p(t ) 的对称轴 t ? ?2a ? 0 ,所以函数 p(t ) 在区间 (0, 2 2 1 2 2 1 2 15 )? ? ? 2a ? e ? ? ?e?0, 所以 p(t ) ? p( ( ? a ?1 ) ,即任意 x ?[0, ??) , 2 2 8a 2 8 2
g ( x)max = sin x0 ?
g ( x) ? 0 ,所以 f ( x) ? e x g ( x) ? 0 ,因此任意 x ?[0, ??) , f ( x) ? 0 .


赞助商链接

相关文档:


更多相关文章:
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题07 不等式(解...
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题07 不等式(解析版) Word版含解析 - 一、填空题 1. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】若 log a 2b ? ?1 ,...
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题06 数列(解析...
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题06 数列(解析版) Word版含解析 - 一、填空题 1. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】已知数列 ?a n ? 满足 a1...
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题11 概率与统...
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题11 概率与统计(解析版) Word版含解析 - 一、填空题 1. 【 2016 年第二次全国大联考(江苏卷) 】已知一组数据 8,10...
决胜2016年高考数学全国名校试题分项汇编(新课标Ⅱ特刊...
决胜2016年高考数学全国名校试题分项汇编(新课标Ⅱ特刊):专题03 导数(第02期).doc_高考_高中教育_教育专区。第三章一.基础题组 导数 1.(长春市普通高中 2016 ...
...分项专题汇编:导数与函数的最值与单调性(解析版)
高中理科数学(2017-2015)三年高考真题分项专题汇编:导数与函数的最值与单调性(解析版)_数学_高中教育_教育专区。高中理科数学(2017-2015)三年高考真题分项专题汇编:...
...年高考数学全国名校试题分项汇编(江苏) word版(含参...
专题07 不等式(解析版) 决胜2018年高考数学全国名校试题分项汇编(江苏) word版(含参考答案) - 一、填空 1. 【苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2017 届高三年级第...
...届高三名校数学()试题解析分项汇编(第02期) Word版含解析_...
专题03 导数-2014届高三名校数学()试题解析分项汇编(第02期) Word版含解析 - 一.基础题组 1. 【浙江温州市十校联合体 2014 届高三上学期期初联考数学(...
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题04 三角函数...
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题04 三角函数与解三角形(原卷版) Word版无答案 - 一、填空题 1. 【2016 高考冲刺卷(9) 【江苏卷】 】已知 3tan ?...
...2014届高三名校数学()试题解析分项汇编(第01期)Word版含解析...
专题3 导数-2014届高三名校数学()试题解析分项汇编(第01期)Word版含解析 - 一.基础题组 1.【宁夏银川一中 2014 届高三年级第一次月考理科】曲线 y ? 围...
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题14 选讲部分(...
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题14 选讲部分(原卷版) Word版无答案 - 解答题 1. 【 2016 年第二次全国大联考(江苏卷) 】 【选修 4—1 几何证明...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图