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高一数学同步测试(4)—简易逻辑


高一数学同步测试( ) 高一数学同步测试(4)—简 易 逻 辑
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号 填在题后的括号内。 1.有三个语句:⑴ x < 2 ;⑵ x ? 1 = 0 ;⑶ x < 0, ( x ∈ R ) ,其中是命题的为 A.⑴ ⑵ B.⑴ ⑶ C.⑵ D.⑶ 2.下列语句中是命题的为 A.你到过北京吗? B.对顶角难道不相等吗?
2

2

( (

) )

C.啊!我太高兴啦! D.求证: 2 是无理数 3.有下列命题:①2004 年 10 月 1 日是国庆节,又是中秋节;②10 的倍数一定是 5 的倍数; ③梯形不是矩形;④方程 x = 1 的解 x = ±1 。其中,复合命题有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2

( (

) )

4. a + b ≠ 0 ”的含义为 “ A. a, b 不全为 0
2 2

B. a, b 全不为 0

C. a, b 至少有一个为 0 D. a 不为 0 且 b 为 0,或 b 不为 0 且 a 为 0 5.若命题“非 p”与命题“p 或 q”都是真命题,那么 ( ) A.命题 p 与命题 q 的真值相同 B.命题 q 一定是真命题 C.命题 q 不一定是真命题 D.命题 p 不一定是真命题 6.命题 p:若 A I B = B ,则 A ? B ;命题 q:若 A ? B ,则 A I B ≠ B 。那么命题 p 与命 题 q 的关系是 ( ) A.互逆 B.互否 C.互为逆否命题 D.不能确定 7.若 A:a∈R,|a|<1, B:x 的二次方程 x2+(a+1)x+a-2=0 的一个根大于零,另一根小于零,则 A 是B的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.有下列四个命题: ①“若 x+y=0 , 则 x ,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1 ,则 x2 + 2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; 其中真命题为 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 9.设集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0} ,则 B 是 A 的真子集的一个充分不必要的条件是 ( ) A. m ∈ ?? 1 , 1 ? ? ?
? 2 3?

B.m= ?

1 2

C. m ∈ ?0, ? 1 , 1 ? ? ?
? 2 3?

D. m ∈ ?0, 1 ? ? ?
? 3?

10.设集合 M={x| x>2},P={x|x<3},那么“x∈M,或 x∈P”是“x∈M∩P”的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题:请把答案填在题中横线上。 11 . 命 题 “ 若 △ ABC 不 是 等 腰 三 角 形 , 则 它 的 任 何 两 个 内 角 不 相 等 ” 的 逆 否 命 题
-1-

是 ; 12.已知各个命题 A、B、C、D,若 A 是 B 的充分不必要条件,C 是 B 的必要不充分条件, 条件(填:充分不必要、必要不充 D 是 C 的充分必要条件,试问 D 是 A 的 分、充要、既不充分也不必要) ; 13. “△ABC 中,若∠C=90°,则∠A、∠B 都是锐角”的否命题为 ; 14.用“充分、必要、充要”填空: ①p 或 q 为真命题是 p 且 q 为真命题的______条件; ②非 p 为假命题是 p 或 q 为真命题的______条件; ③A:|x- 2 |<3, B:x2- 4x- 15<0, 则 A 是 B 的_____条件. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.写出下列命题的“非 P”命题: (1)正方形的四边相等。 (2)平方和为 0 的两个实数都为 0。 (3)若 ?ABC 是锐角, 则 ?ABC 的任何一个内角是锐角。 (4)若 abc = 0 ,则 a, b, c 中至少有一为 0。 (5)若 ( x ? 1)( x ? 2) ≠ 0, 则x ≠ 1且x ≠ 2 。

16.分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”“且”“非”的真假。 、 、 (1)p: 梯形有一组对边平行;q:梯形有一组对边相等。 (2)p: 1 是方程 x ? 4 x + 3 = 0 的解;q:3 是方程 x ? 4 x + 3 = 0 的解。
2 2 2 2

(4)p: ? ? {0} ;

(3)p: 不等式 x ? 2 x + 1 > 0 解集为 R;q: 不等式 x ? 2 x + 2 ≤ 1 解集为 φ 。



q : 0 ∈ φ.

17.命题:已知 a、b 为实数,若 x2+ax+b≤0 有非空解集,则 a2- 4b≥0.写出该 命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假。

-2-

18.判断下列命题的真假: (1)已知 a, b, c, d ∈ R, 若 a ≠ c, 或b ≠ d , 则a + b ≠ c + d . (2)已知 a, b, c, d ∈ R, 若 a + c ≠ b + d , 则a ≠ c, 或b ≠ d . (3)若 m > 1, 则方程x ? 2 x + m = 0 无实数根。
2

(4)若 A?B , 则 A I B ≠ B.

19.证明 2 是无理数。

20.已知方程 x 2 + (2k ? 1) x + k 2 = 0 。求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件。

-3-

21.已知 p : 1 ?

x ?1 ≤ 2 ; q : x 2 ? 2 x + 1 ≤ 0(m > 0) 若 ?p 是 ?q 的必要非充分条件,求实 3

数 m 的取值范围。

参考答案(4)
一、选择题:DBCAB CACBA 二、填空题: 11.若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形; -4-

12.必要不充分条件;

12.分析:回答 D 是 A 的什么条件,即判断命题 A 与 D 之间能否用推断符号相联系。

A ? B, 且 B A ① B ? C,且 C B ② D ? C ③ ∴ A ? D, 即 D 是 A 的必要条件。 若 D ? A,则由 A ? B, 得 D ? B。 又 D ? C, ∴ C ? B,这与 C B 矛盾。 ∴ D A。即 D 是 A 的不充分条件。
解:依题意知, 故 D 是 A 的必要不充分条件。 注意:在判断 D 是否为 A 的必要条件时,虽然由已知不能得到 D ? A,但要肯定 D 否则其必要性不能确定。这是容易忽视的。 13.△ABC 中,若∠C≠90°,则∠A、∠B 不都是锐角; 14.必要不充分、充分不必要、充要。 一、 解答题: 15.解:⑴正方形的四边不都相等; ⑵平方和为 0 的两个实数不都为 0; ⑶若 ?ABC 是锐角, 则 ?ABC 的任何一个内角不都是锐角; A,还需证明,

= 0 ,则 a, b, c 中没有一个为 0; ⑸若 ( x ? 1)( x ? 2) ≠ 0, 则x = 1或x = 2 。
⑷若 abc

点评: “或”“且”“非”的理解与集合的“并”“交”“补”概念可结合起来考虑; (1) 、 、 、 、 (2)理解对命题中关键词的否定: 关键 等于 大于 小于 是 都是 至少 至多 任意 P且Q P或Q 词 一个 一个 … 否定 不等 不大 不小 不是 不都 一个 至少 存在 非P且 非 P 或非 Q 于 于 于 是 没有 两个 非Q … 质疑: x < 2或x ≥ 3 是复合命题吗?——不是复合命题,因为 x < 2与x ≥ 3 都不是命题。 不要认为 凡是含有逻辑联结词的语句就是复合命题。 16.解:⑴ Q p 真,q 假, ∴ “p 或 q”为真, 且 q”为假, “p “非 p”为假。 ⑵Q p 真,q 真, ∴ “p 或 q”为真, 且 q”为真, “p “非 p”为假。 ⑶Q p 假,q 假, ∴ “p 或 q”为假, 且 q”为假, “p “非 p”为真。 Q p 真,q 假, ∴ “p 或 q”为真, 且 q”为假, p”为假。 ⑷ “p “非 点评:按复合命题真值表判断其真假,关键是对简单命题真假的判断。 例 5。已知命题“非 p 或非 q”是假命题,则下列命题的真假是:①p 且 q 是 ——; ② p 或 q 是——; ③非 p 是 ——。 分析与点评:根据符合命题真假知,命题非 p、非 q 都是假命题,从而 p、q 都是假命题。 17.解:逆命题:已知 a、b 为实数,若 a 否命题:已知 a、b 为实数,若 x
2

2

? 4b ≥ 0, 则x 2 + ax + b ≤ 0 有非空解集.

+ ax + b ≤ 0 没有非空解集,则 a 2 ? 4b < 0. 2 2 逆否命题:已知 a、b 为实数,若 a ? 4b < 0. 则 x + ax + b ≤ 0 没有非空解集。
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题. 归纳:①互为逆否的一对命题,同真或同假;②互逆的一对命题,不一定同真假; ③互否的一对命题,不一定同真假。 质疑:①注意逆命题、否命题、逆否命题总是相对于原命题而言的,而原命题是已知、或认定、指定的 命题也是相对的。 ②对一个命题,总可以将其分为“条件”与“结论”两部分,从而总可以将一个命题写成“若 p 则 q.” 的形式。 ③命题中的条件、结论是开语句也可以,不一定要是命题。 18.分析:利用互为逆否的两个命题同真同假的关系,将不易判断真假的命题,转化为判断其逆否命题的真 假(尤其是对否定式语句的命题)——充分利用等价转化的思想方法。

≠ c, 或b ≠ d , 则a + b ≠ c + d . ”的逆否命题是: “已知 a, b, c, d ∈ R, 若 a + b = c + d , 则a = c, 且b = d . ”
解⑴因为“已知 a, b, c, d ∈ R, 若 a 我们不难举反例说明其逆否命题不正确,从而原命题是假命题。 ⑵因为“已知 a, b, c, d ∈ R, 若 a + c

≠ b + d , 则a ≠ c, 或b ≠ d . ”的逆否命题是:
-5-

“已知 a, b, c, d ∈ R, 若 a 题; ⑶因为“若 m

= c, 且b = d , 则a + c = b + d . ”这是一个真命题,因而原命题也是真命

> 1, 则方程x 2 ? 2 x + m = 0 无实数根”的逆否命题是: 2 “若方程 x ? 2 x + m = 0 有实数根, 则m ≤ 1 ” 2 当方程 x ? 2 x + m = 0 有实数根时, ? = 4 ? 4m ≥ 0, m ≤ 1 成立。故其逆否命题正确,从而原
命题是真命题; ⑷因为“若 故“若

A?B ,

则 AI B

≠ B. ”的逆否命题“若 A I B = B ,

则A?

B ”不正确,

A?B ,

则 AI B

≠ B. ”是假命题。

19.分析:要证

2 不是一个分数,直接去证明有困难,可以转化为证明命题 2 是有理数为假命题。 n 证明:假设 2 = (m, n ∈ N + , 且m, n互质) ,则 n 2 = 2m2 , 即n 2 为偶数。 m ∴ n为偶数 。设 n = 2k , k ∈ N +. 则 4k 2 = 2m 2 , 即m 2 = 2k 2 . 同理, m 为偶数。∴ 2是m, n, 的一个约数,这与 m, n 互质矛盾。 ∴ 假设不成立。∴ 2 是无理数。
思考与归纳: “ (1)

2 是无理数”“ 2 是无理数”两个命题之间有何关系?——不具备互逆、互否、 , 互为逆否关系,而是其中一个对另一个的否定。即对“ 2 是有理数”的肯定判断与否定判断。亦即 p: 2 是有理数。 ? q: 2 是无理数。 (2) 要证命题 p 为真,通过证明命题 ? p 为假,从而肯定命题 p 为真的证明方法称反证法

(3)证法证题的一般步骤是: ①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立—— 反判 ②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾—— 归谬 ③由矛盾的产生可以判断假设不成立,从而肯定命题的结论正确 ——否定假设,肯定结论。 20.分析:△ ≥ 0 是方程有实数根的充要条件,但只是方程有两个大于 1 的实数根的必要非充分条件。因此 还需结合实根大于 1 的性质寻求条件组。 解:当△= 1 ? 4k

≥ 0 时,方程有两个实数根 x1,2 =

1 ? 2k ± 1 ? 4k 2



所以,方程有两个大于 1 的实数根的充要条件为:

?1 ? 4k ≥ 0 (1) ? ?1 ? 2k ? 1 ? 4k > 1 (2) ? ? 2 解(1) ,得 k ≤ 4 ;解(2) ,得 1 ? 4k < ?1 ? 2k 。 ? (3) ? ?1 ? 2 k > 0 ?? 2 ?1 ? 4k < (2k + 1) (4) ? 1 2 解(3) ,得 k < ? ;解(4) ,得 k + 2k > 0 ,即 k < ?2 或 k > 0 。 2 综合(1)(3)(4)得 k < ?2 。 , , ∴ 方程有两个大于 1 的实数根的充要条件是 k < ?2 。
点评:寻求结论成立的充分必要条件,实际上寻求等价条件组的一系列等价转换。 21.分析:先明确

?p 和 ?q ,再由 ?q ? ?p 且 ?p
-6-

?q ,寻求 m 应满足的等价条件组。

解:由 x

? 2 x + 1 ≤ 0(m > 0) ,得 1 ? m ≤ x ≤ 1 + m 。 ∴ ?q : A = { x | x < 1 ? m或x > 1 + m} 。 由 1 ? x ? 1 ≤ 2 ,得 ?2 ≤ x ≤ 10 。 3 ∴ ?p :B = {x | x < ?2或x > 10}。 Q ?p 是 ?q 的必要非充分条件,且 m > 0 , ∴
2

A ? B。

?m > 0 (1) ? ∴ ?1 ? m ≤ ?2 (2) 即 m ≥ 9 , ? ? ?1 + m ≥ 10 (3) ? 注意到当 m ≥ 9 时, (3)中等号成立,而(2)中等号不成立。 ∴ m 的取值范围是 m ≥ 9
点评:分析题意,实现条件关系与集合关系的相互转化是求解本题的关键。

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-7-


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