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三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳


一、关于 sin

? ? cos ? 与 sin ? cos ? ( 或 sin 2 ? )
( s ?i ? nc o? ) s
2

的关系的推广应用:
o ? s ? 2s
2

1 、 由 于
( s ?i ? n c

? s

i ? n ? c

2

i? n c

o? s? 1 ? 2 s

i? n c

o? s

故 知 道

o ? )s ,必可推出 sin ? cos ? ( 或 sin 2 ? )

,例如:
3

例1

已知 sin

? ? cos ? ?

3 3

, 求 sin

3

? ? cos

?


? ? sin ? cos ? ? cos
2 2

分析:由于 sin

3

? ? cos

3

? ? (sin ? ? cos ? )(sin

2

?)

? (sin ? ? cos ? )[(sin ? ? cos ? )

? 3 sin ? cos ? ]

其中, sin ? ? cos ? 已知,只要求出 sin ? sin ? cos ? 的题型。 解:∵ (sin
? ? cos ? )
2

cos ?

即可,此题是典型的知 sin ? -cos ? ,求

? 1 ? 2 sin ? cos ?

故: 1 ?
sin
3

2 sin ? cos ? ? (

3 3

)

2

?

1 3

? sin ? cos ? ?

1 3

? ? cos

3

? ? (sin ? ? cos ? )[(sin ? ? cos ? )
3 3 3 3 1 3 3 3

2

? 3 sin ? cos ? ]

?

[(

)

2

? 3?

] ?

?

1 3

?

4 9

3

2、关于 tg ? +ctg ? 与 sin ? ±cos ? ,sin ? cos ? 的关系应用: 由于 tg ? +ctg ? =
sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin
2

? ? cos

2

?

sin ? cos ?

?

1 sin ? cos ?

故:tg ? +ctg ? , sin ? ? cos ? ,sin ? cos ? 三者中知其一可推出其余式子的值。 例 2 若 sin ? +cos ? =m2,且 tg ? +ctg ? =n,则 m2 n 的关系为( ) 。 A.m2=n B.m2=
2 n ?1

C. m 2

?

2 n

D. n

?

2 m
2

分析:观察 sin ? +cos ? 与 sin ? cos ? 的关系: sin ? cos ? = 而: tg ? 故:
m
2

(sin ? ? cos ? ) 2

2

?1

?

m

2

?1

2

? ctg ? ?
?1

1 sin ? cos ?
2

? n

2

?

1 n

? m

?

2 n

?1

,选 B。
1

例3

已知:tg ? +ctg ? =4,则 sin2 ? 的值为( A.
1 2

) 。 D. ?
1 4

B. ?
1

1 2

C.

1 4 1 4

分析:tg ? +ctg ? = 故: sin

sin ? cos ?

? 4 ? sin ? cos ? ? 1 2

2 ? ? 2 sin ? cos ? ? sin 2 ? ?



答案选 A。

例4

已知:tg ? +ctg ? =2,求 sin
4

4

? ? cos
4

4

?

分析: 由上面例子已知, 只要 sin

? ? cos

?

能化出含 sin ? ±cos ? 或 sin ? cos ? 的式子,
1 sin ? cos ? ? 2 ?

则即可根据已知 tg ? +ctg ? 进行计算。由于 tg ? +ctg ? =
sin ? cos ? ? 1 2
4

,此题只要将 sin
4

4

? ? cos
4

4

?

化成含 sin ? cos ? 的式子即可:

解: sin

? ? cos

?

= sin

4

? ? cos

?

+2 sin2 ? cos2 ? -2 sin2 ? cos2 ?

=(sin2 ? +cos2 ? )- 2 sin2 ? cos2 ? =1-2 (sin ? cos ? )2 =1- 2 ? ( =1 ? =
1 2 1 2 1 2 )
2

通过以上例子,可以得出以下结论:由于 sin ? ? cos ? ,sin ? cos ? 及 tg ? +ctg ? 三者之 间可以互化,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但 有一点要注意的;如果通过已知 sin ? cos ? ,求含 sin ? ? cos ? 的式子,必须讨论其象限才能 得出其结果的正、负号。这是由于( sin ? ? cos ? )2=1±2sin ? cos ? ,要进行开方运算才能 求出 sin ? ? cos ? 二、关于“托底”方法的应用: 在三角函数的化简计算或证明题中, 往往需要把式子添加分母, 这常用在需把含 tg ? (或 ctg ? )与含 sin ? (或 cos ? )的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“托底” 法。方法如下: 例5 已知:tg ? =3,求
? sin ? cos ? sin ? ? 3 cos ? 2 sin ? ? cos ?

的值。

分析:由于 tg ?

,带有分母 cos ? ,因此,可把原式分子、分母各项除以 cos ? ,
?
2

“造出”tg ? ,即托出底:cos ? ; 解:由于 tg ? =3 ?
? ? k? ?
? cos ? ? 0

2

sin ?

故,原式=

tg ? ? 3 3? 3 cos ? cos ? ? ? ? 0 sin ? cos ? 2 tg ? ? 1 2?3?1 2? ? cos ? cos ?

? 3?

cos ?

例6

已知:ctg ? = -3,求 sin ? cos ? -cos2 ? =?
? cos ? sin ?

分析:由于 ctg ?

,故必将式子化成含有

cos ? sin ?

的形式,而此题与例 4 有所不同,
2

式子本身没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式: sin 分母,然后再分子、分母分别除以 sin ? ,造出 ctg ? : 解: sin
2

? ? cos

2

? ? 1 及托底法托出其

? ? cos

2

? ? 1 ? sin ? cos ? ? cos
cos ? cos ?

2

? ?

sin ? cos ? ? cos sin
2

2

?

? ? cos
2

2

?

分子 , 分母同除以

sin

2

?

sin ?

sin ? cos ? 2 1? ( ) sin ?

? (

)

2

?

ctg ? ? ctg 1 ? ctg
2

?

?

?

? 3 ? (? 3) 1 ? (? 3)
2

2

? ?

6 5

例 7 (95 年全国成人高考理、工科数学试卷) 设0
? x ?

?
2
?

,0 ? y ?

?
2

,且

sin x sin y ? sin(

?
3

? x ) sin(

?
6

? y)

求: ( ctgx

3 3

)( ctgy ?

3)

的值

分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托底法” ,由 于0
? x ?

?
2

,0 ? y ?

?
2

, 故 sin

x ? 0 , sin y ? 0

, 在等式两边同除以 sin

x sin y

, 托出分母 sin

x sin y

为底,得: 解:由已知等式两边同除以 sin
sin(
x sin y

得:
?
3 sin x ? sin

?
3

? x ) sin(

?
6

? y) ?1?

sin

?
3

cos ? cos sin x

?
6

cos y ? cos sin y

?
6

sin y ?1

sin x sin y

3

?

1 4 1 4

?

3 cos x ? sin x sin x

?

cos y ?

3 sin y

sin y 3) ? 1

?1

?

( 3

3 ctgx ? 1 )( ctgy ? 3 3

?

4

( ctgx ? 3 3

)( ctgy ?

3) ? 1 4 3

? ( ctgx ?

)( ctgy ?

3) ?

3

“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。 由于 tg ?
? sin ? cos ?

, ctg ?

?

cos ? sin ?

,即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系,故它们间的互

化需“托底” ,通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法,使它们之间可以互相转化, 达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种:一种利用 sin
sin
2 2

? ? cos

2

? ? 1 ,把

? ? cos

2

?

作为分母,并不改变原式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又

或者它们的积,产生分母。 三、关于形如: a cos 可以从公式 sin
x ? b sin x

的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用: 中得到启示: 式子 a cos
x ? b sin x

A cos x ? cos A sin x ? sin( A ? x )

与上述公式

有点相似,如果把 a,b 部分变成含 sinA,cosA 的式子,则形如 a cos 变成含 sin(
A ? x)

x ? b sin x

的式子都可以

的式子,由于-1≤ sin(

A ? x)

≤1,

所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点:不能直接把 a 当成 sinA,b 当成 cosA,如式子: 3 cos x ? 4 sin x 中,不能设 sinA=3,cosA=4,考虑:-1≤sinA≤1,-1≤cosA ≤1,可以如下处理式子:
a cos x ? b sin x ? a
2

? 2 ? b ? ? ?

a a
2

cos x ?
2

b a
2

? b

? b

2

? sin x ? ? ?

由于 (
a
2

a ? b
2

)

2

? ( a
2

b ? b a a
2 2

)

2

?1


b a
2

故可设: sin

A ?

,则 cos
2

A ? ?

1 ? sin A

,即: cos

A ? ?

? b

? b

2

∴ a cos 无论 A
? a
2

x ? b sin x ?

a

2

? b (sin A cos x ? cos A sin x ) ?

2

a

2

?b

2

sin( A ? x )

? x 取何值,-1≤sin(A±x)≤1,

?b

2


?b
2

a

2

?b

2

sin( A ? x )
x ? b sin x

≤ ≤

a

2

?b

2

即: ?

a

2

≤ a cos

a

2

?b

2

下面观察此式在解决实际极值问题时的应用: 例 1(98 年全国成人高考数学考试卷)
4

求:函数 y A. 1 ?

?

3 cos

2

x ? sin x cos x

的最大值为(AAAA C. 1 ?
1 2 s in 2 x
3 2


3 ?1

3 2

B.
1 2

3 ?1

D.

分 析 : s in x c o s ?
2

? 2 s in x c o s x ?
2

, 再 想 办 法 把 c o s2

x

变 成 含 cso2 x 的 式 子 :

c os2 x ? 2 c os x ? 1 ? c os x ?

c os2 x ? 1 2 1 2
?

于是: y

?

3 ?

cos 2 x ? 1 2
cos 2 x ?

?

sin 2 x

?

3 2 3 2

3 2 1 2

1 2

sin 2 x

? (

cos 2 x ?

sin 2 x ) ?

3 2

由于这里: a
3 2

?

3 2

,b ?

1 2

,则

a

2

? b

2

?

(

3 2

)

2

? (

1 2

)

2

?1

∴y

? 1? (

cos 2 x ?

1 2

sin 2 x ) ?

3 2

3

设: sin

A ? a
2

a ? b
2

?

2 1

?

3 2

, 则 cos A ?

1 2

∴y

? sin A cos 2 x ? cos A sin 2 x ?

3 2

? sin( A ? 2 x ) ?

3 2 3 2 3 2

无论 A-2x 取何值,都有-1≤sin(A-2x)≤1,故 ? 1 ?
3 2

≤ y ≤1 ?

∴ y 的最大值为 1 ?

,即答案选 A。

例 2 (96 年全国成人高考理工科数学试卷) 在△ABC 中,已知:AB=2,BC=1,CA=
3

,分别在边 AB、BC、CA 上任取点 D、E、F,使

△DEF 为正三角形,记∠FEC=∠α ,问:sinα 取何值时,△EFD 的边长最短?并求此最短边 长。
5

分析:首先,由于 BC

2

? CA

2

?1

2

? (

3)

2

? 4 ? AB

2

,可知△ABC 为 Rt△,其中 AB 为斜 ,则∠B=

边,所对角∠C 为直角,又由于 sin

A ?

BC AB

?

1 2

, 故 A ? 30 ?

90°—∠A=60°,由于本题要计算△DEF 的最短边长,故必要设正△DEF 的边长为 l ,且要列 出有关 l 为未知数的方程,对 l 进行求解。观察△BDE,已知:∠B=60°,DE= l ,再想办法找 出另两个量,即可根据正弦定理列出等式,从而产生关于 l 的方程。在图中,由于 EC= l ·cos α ,则 BE=BC-EC=1- l ·cosα 。 而∠B+∠BDE+∠1=180° ∠α +∠DEF+∠1=180° ? ∠BDE=∠α ∠B=60°,∠DEF=60° ∴在△BDE 中,根据正弦定理:
BF sin ? BDE
? 3 2

?

DE sin ? B

?

1 ? l ? cos ? sin ?
3 2

?

l sin 60 ?
3 2 l ? cos ? ? l ? sin ?

(1 ? l ? cos ? ) ? l ? sin ? ?

?

3 ? l ? 3 2 2 cos ? ? sin ?

在这里,要使

l

有最小值,必须分母:

3 2

cos ? ? sin ?

有最大值,观察:

3 2

cos ? ? sin ? , a ?

3 2
7 2

,b ? 1 ?

a

2

? b

2

?

(

3 2

)

2

?1

2

?

7 2



3 2

cos ? ? sin ? ?

(

21 7

cos ? ?

2 7

7

sin ? )

设: sin
3 2

A ?

21 7

,则 cos
7 2

A ?

2 7

7

故:

cos ? ? sin ? ?

(sin A cos ? ? cos A sin ? )

?

7 2

sin( A ? ? )



3 2

cos ? ? sin ?

的最大值为

7 2



6

3

即: l 的最小值为:

2 7 2

?

21 7

而 sin( ∴ sin

A ? ? ) 取最大值为

1 时, A

? ? ? 2 k? ?

?
2

? ? ? 2 k? ?

?
2

? A

? ? sin( 2 k ? ?

?
2

? A ) ? cos A ?

2 7

7

即: sin

? ?

2 7

7

时,△DEF 的边长最短,最短边长为
x ? b sin x
2

21 7



从以上例子可知,形如 a cos 式子的加、 减是无关, 与
a
2

适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与
a
2

?b

的最值有关; 其中最大值为

?b

2

, 最小值为 ?

a

2

?b

2



在计算三角函数的极值应用题时,只要找出形如 a cos 出相关的极值。

x ? b sin x

的关系式,即能根据题意,求

三角函数知识点解题方法总结 一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间(-90?,90?)的公式. 1.sin(kπ +α )=(-1)ksinα (k∈Z);2. cos(kπ +α )=(-1)kcosα (k∈Z); 3. tan(kπ +α )=(-1) tanα (k∈Z);4. cot(kπ +α )=(-1) cotα (k∈Z). 二、见“sinα ±cosα ”问题,运用三角“八卦图” 1.sinα +cosα >0(或<0)óα 的终边在直线 y+x=0 的上方(或下方); 2. sinα -cosα >0(或<0)óα 的终边在直线 y-x=0 的上方(或下方); 3.|sinα |>|cosα |óα 的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内; 4.|sinα |<|cosα |óα 的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内. 三、见“知 1 求 5”问题,造 Rt△,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4,5),(5, 12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。 四、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。 五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知 tanα ,求 sinα 与 cosα 的齐次式,有些整式 情形还可以视其分母为 1,转化为 sin2α +cos2α .
7
k k

六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式: 1.sin(α +β )sin(α -β )= sin2α -sin2β ;2. cos(α +β )cos(α -β )= cos2α -sin2β . 七、见“sinα ±cosα 与 sinα cosα ”问题,起用平方法则: (sinα ±cosα )2=1±2sinα cosα =1±sin2α ,故 1.若 sinα +cosα =t,(且 t2≤2),则 2sinα cosα =t2-1=sin2α ; 2.若 sinα -cosα =t,(且 t2≤2),则 2sinα cosα =1-t2=sin2α . 八、见“tanα +tanβ 与 tanα tanβ ”问题,启用变形公式: tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ ).思考:tanα -tanβ =??? 九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0) 1.函数 y=Asin(wx+φ )和函数 y=Acos(wx+φ )的图象, 关于过最值点且平行于 y 轴的直线 分别成轴对称; 2.函数 y=Asin(wx+φ )和函数 y=Acos(wx+φ )的图象,关于其中间零点分别成中心对称; 3.同样,利用图象也可以得到函数 y=Atan(wx+φ )和函数 y=Acot(wx+φ )的对称性质。 十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式: 1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ )≤(a2+b2); 3.asinx+bcosx=c 有解的充要条件是 a2+b2≥c2. 十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化. 1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1. 2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等

8



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