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2019_2020学年高中数学课时作业8椭圆的简单几何性质新人教A版选修

课时作业 8 椭圆的简单几何性质

|基础巩固|(25 分钟,60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

x2 y2

x2 y2

x2 y2

y2

1.已知椭圆a2+b2=1 与椭圆25+16=1 有相同的长轴,椭圆a2+b2=1 的短轴长与椭圆21

x2 + 9 =1 的短轴长相等,则( )

A.a2=25,b2=16

B.a2=9,b2=25

C.a2=25,b2=9 或 a2=9,b2=25

D.a2=25,b2=9

x2 y2 解析:因为椭圆25+16=1

的长轴长为

10,焦点在

x

y2 x2 轴上,椭圆21+ 9 =1

的短轴长为

6,

所以 a2=25,b2=9.

答案:D 2.椭圆 mx2+ny2+mn=0(m<n<0)的焦点坐标是( )

A.(0,± m-n)

B.(± m-n,0)

C.(0,± n-m) D.(± n-m,0) x2 y2
解析:化为标准方程是-n+-m=1,

∵m<n<0,∴0<-n<-m.

∴焦点在 y 轴上,且 c= -m-?-n?= n-m

答案:C

x2 y2 3.与椭圆 9 + 4 =1 有相同离心率的椭圆方程是( )

y2 x2

x2 y2

A. 9 + 4 =1 B.36+25=1

y2 x2

x2 y2

C.36+25=1 D.36+11=1

解析:方法一 分别算出已知椭圆及各选项中椭圆的离心率,进而作出判断,此处略. y2 x2
方法二 椭圆 9 + 4 =1 与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等,因此两椭圆的形状、大

小完全一样,只是焦点所在坐标轴不同,故两个椭圆的离心率相同.

答案:A

4.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于12,则 C 的方程是(

)

x2 y2

x2 y2

A. 3 + 4 =1

B. 4 +

=1 3

x2 y2 C. 4 + 3 =1

D.x42+y2=1

解析:依题意,所求椭圆的焦点位于 x 轴上,且 c=1,e=ca=12? a=2,b2=a2-c2=3,

x2 y2 因此其方程是 4 + 3 =1.故选 C.

答案:C 5.已知椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴,

→→ 直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP=2PB,则椭圆的离心率是( )

A.

3 2

B.

2 2

11 C.3 D.2

→→ → → 解析:∵AP=2PB,∴AP=2|PB|.
又∵PO∥BF,∴||PAAB||=||AAOF||=23,
即a+a c=23,∴e=ca=12.

答案:D

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

x2 y2 6.椭圆 4 + m =1

的离心率为12,则

m=________.

解析:当焦点在 x 轴上时,

4-m 1 2 =2?

m=3;当焦点在

y

轴上时,

m-4 1 m =2?

m=136.

综上,m=3 或 m=136.

16 答案:3 或 3

7.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 55,且过 P(-5,4),则椭圆的方

程为____________.

解析:∵e=ca= 55, c2 a2-b2 1
∴a2= a2 =5, ∴5a2-5b2=a2 即 4a2=5b2. 设椭圆的标准方程为xa22+54ya22=1(a>0),

∵椭圆过点 P(-5,4),∴2a52 +5×4a12 6=1. 解得 a2=45.∴椭圆方程为4x52 +3y62 =1.
x2 y2 答案:45+36=1 8.设椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的左,右焦点为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A, B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等于________. 解析:不妨设 A 在 x 轴上方,由于 AB 过 F2 且垂直于 x 轴,因此可得 A???c,ba2???,B???c,-ba2???, 由 OD∥F2B,O 为 F1F2 的中点可得 D???0,-2ba2 ???,所以A→D=???-c,-32ba2???,F→1B=???2c,-ba2???,又 AD⊥F1B,所以A→D·F→1B=-2c2+23ab24=0,即 3b4=4a2c2,又 b2=a2-c2,所以可得 3(a2-c2)=

2ac,两边同时除以 a2,得 3e2+2e- 3=0,

解得 e= 33或 e=- 3,又 e∈(0,1),

故椭圆 C 的离心率为 33.

答案:

3 3

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

x2 y2 9.求椭圆100+36=1 的长轴长、短轴长和顶点坐标.

x2 y2 解析:根据椭圆的标准方程100+36=1,得焦点在

x

轴上,且

a=10,b=6,c=

100-36

=8.因此长轴长 2a=20,短轴长 2b=12,顶点坐标为 A1(-10,0),A2(10,0),B1(0,-6), B2(0,6).

10.求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6; (2)过点(3,0),离心率 e= 36.

?? 2a+2b=18, 解析:(1)设椭圆的长轴长为 2a,短轴长为 2b,焦距为 2c,由题意可知?2c=6,
??a2=b2+c2,

解得 a=5,b=4.

x2 y2

x2 y2

因为不确定焦点在哪个坐标轴上,所以所求椭圆的标准方程为25+16=1 或16+25=1.

(2)当椭圆的焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为xa22+yb22=1(a>b>0),由题意,得 a=3,

因为 e= 36,所以 c= 6,从而 b2=a2-c2=3,所以椭圆的标准方程为x92+y32=1;

当椭圆的焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为ya22+xb22=1(a>b>0),由题意,得 b=3,因

为 e= 36,所以

a2-b2 a=

36,把

b=3

代入,得

a2=27,所以椭圆的标准方程为2y72 +x92=1.

x2 y2

y2 x2

综上可知,所求椭圆的标准方程为 9 + 3 =1 或27+ 9 =1.

|能力提升|(20 分钟,40 分)

11.已知椭圆 x2+my2=1 的离心率 e∈???12,1???,则实数 m 的取值范围是(

)

A.???0,34??? B.???43,+∞???

C.???0,34???∪???43,+∞??? D.???34,1???∪???1,43???

解析:在椭圆 x2+my2=1 中,当 0<m<1 时,a2=1m,b2=1,c2=a2-b2=1m-1,

1 所以 e2=ca22=m-1 1=1-m,
m

又12<e<1,

所以14<1-m<1,

解得 0<m<34, 1
当 m>1 时,a2=1,b2=1m,c2=1-1m,e2=ca22=1-1 m=1-1m,

又12<e<1,所以14<1-1m<1,

解得 m>43,

综上可知实数 m 的取值范围是???0,34???∪???43,+∞???.

答案:C

12.设

F1,F2

分别为椭圆x32+y2=1

的左、右焦点,点

A,B

→→ 在椭圆上,若F1A=5F2B,则点

A 的坐标是________.

解析:设 A(m,n),

→→ 由F1A=5F2B,得

B???m+56

2,n5???.

? m32+n2=1,

?? 又 A,B 均在椭圆上,所以有

???m+56
3

2???2+???5n???2=1,

解得???m=0, 或???m=0,

??n=1

??n=-1,

所以点 A 的坐标为(0,1)或(0,-1).

答案:(0,1)或(0,-1)

13.求经过点 M(1,2),且与椭圆1x22 +y62=1 有相同离心率的椭圆的标准方程.

解析:设所求椭圆方程为1x22 +y62=k1(k1>0)或1y22 +x62=k2(k2>0),将点

M

1 的坐标代入可得12

+46=k1 或142+16=k2,解得 k1=34,k2=12,故1x22 +y62=34或1y22 +x62=12,

x2 y2

y2 x2

即所求椭圆的标准方程为 9 + 9 =1 或 6 + 3 =1.

2

14.若椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)上存在一点 M,使得∠F1MF2=90°(F1,F2 为椭圆的两个焦点),

求椭圆的离心率 e 的取值范围.

解析:设点 M 的坐标是(x0,y0),

则???xa202+yb22=1, ??x20+y20=c2.

消去 y0,得 x20=a2?c2c-2 b2?.

??a2?cc2-2 b2?≥0 ①, ??? 因为 0≤x20≤a2,所以 a2?cc2-2 b2?≤a2 ②.

由①得 c2≥b2,即 c2≥a2-c2,所以 a2≤2c2,所以 e2=ca22≥12. 又 0<e<1,所以 e∈??? 22,1???. 由②得 c2-b2≤c2,此式恒成立. 综上所述,所求椭圆的离心率 e 的取值范围是??? 22,1???.



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