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2019_2020学年高中数学回扣验收特训(三)不等式苏教版必修5

回扣验收特训(三) 不等式

1.若1a<1b<0,则下列不等式不正确的是(

)

A.a+b<ab

B.ba+ab>0

C.ab<b2

D.a2>b2

解析:选 D 由1a<1b<0,可得 b<a<0,故选 D.

2.已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A,不等式 x2+x-6<0 的解集为 B,不等式 x2+

ax+b<0 的解集是 A∩B,那么 a+b 等于( )

A.-3

B.1

C.-1

D.3

解析:选 A 由题意:A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2}.A∩B={x|-1<x<2},

由根与系数的关系可知:

a=-1,b=-2,∴a+b=-3.

3.若 x>0,则函数 y=12x+31x的最小值为(

)

A.2 C.4

B.2 2 D.8

解析:选 C 因为 x>0,所以 y=12x+31x≥2

12x·31x=4,当且仅当 12x=31x,即 x

=16时等号成立,故选 C.

4.对任意实数 x,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 恒成立,则 a 的取值范围是( )

A.(-2,2]

B.[-2,2]

C.(-∞,-2)∪[2,+∞)

D.(-∞,-2]∪(2,+∞)

解析:选 A 由已知得

??a-2<0,

?
??Δ

=[2?a-2?]2-4?a-2?×?-4?<0,

即?????a-<22,<a<2, 解得-2<a<2. 又当 a=2 时,原不等式可化为-4<0,显然恒成立,故 a 的取值范围是(-2,2]. 5.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了 后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的定理都能 够通过图形实现证明,并称之为无字证明.现有如图所示的图形,点 F 在半

圆 O 上,点 C 在直径 AB 上,且 OF⊥AB.设 AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为( )

a+b A. 2 ≥

ab(a>0,b>0)

B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)

2ab C.a+b≤

ab(a>0,b>0)

D.a+2 b≤

a2+2 b2(a>0,b>0)

解析:选 D 由图形可知 OF=12AB=a+2 b,OC=a-2 b.在 Rt△OCF 中,由勾股定理可得 CF

= ???a+2 b???2+???a-2 b???2= a2+2 b2.∵CF≥OF,∴a+2 b≤ a2+2 b2(a>0,b>0). 6.设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当xzy取得最大值时,2x+1y-2z的最大值

为( )

A.0

B.1

9

C.4

D.3

解析:选 B 由 x2-3xy+4y2-z=0,

得 z=x2-3xy+4y2,

xy

xy

1

∴ z =x2-3xy+4y2=x 4y .

y+ x -3

又 x,y,z 为正实数, ∴xy+4xy≥4,即xzy≤1, 当且仅当 x=2y 时取等号,此时 z=2y2.

212 2 1 2 ∴x+y-z=2y+y-2y2

=-???1y???2+2y=-???1y-1???2+1, 当1y=1,即 y=1 时,上式有最大值 1. 7.不等式 2x2-x<4 的解集为________. 解析:不等式 2x2-x<4?x2-x<2?-1<x<2,故原不等式的解集为(-1,2).
答案:(-1,2) 8.若不等式 x2-ax+1≥0 对于一切 a∈[-2,2]恒成立,则 x 的取值范围是________.

解析:因为 a∈[-2,2],可把原式看作关于 a 的函数,即 g(a)=-xa+x2+1≥0,

由题意可知?????gg??-2?=2?=x2-x2+2x2+x+1≥1≥0,0, 解得 x∈R.

答案:R

9.设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________.

解析:( a+1+ b+3)2=a+b+4+2 a+1· b+3≤9+( a+1)2+( b+3)2=9+a +b+4=18,所以 a+1+ b+3≤3 2,当且仅当 a+1=b+3 且 a+b=5,即 a=72,b=32时

等号成立.所以 a+1+ b+3的最大值为 3 2.

答案:3 2

10.已知关于 x 的不等式 x2-2mx+m+2<0(m∈R)的解集为 M.

(1)当 M 为空集时,求实数 m 的取值范围;

(2)在(1)的条件下,求 f(m)=1+2m4m的最大值.

解:(1)∵M 为空集,∴4m2-4(m+2)≤0,

即 m2-m-2≤0,

解得-1≤m≤2,

故实数 m 的取值范围为[-1,2].

(2)由(1)知 m∈[-1,2],

∴f(m)=1+2m4m=21m+1 2m≤2

1

1

21m×2m=2,

当且仅当 2m=21m,即 m=0(0∈[-1,2])时取等号,所以 f(m)=1+2m4m的最大值为12. 11.设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 解:(1)要使 mx2-mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0.

若 m≠0,?????mΔ<=0,m2+4m<0 ? -4<m<0. ∴-4<m≤0,即 m 的取值范围为(-4,0]. (2)要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立. 就要使 m???x-12???2+34m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立.

令 g(x)=m???x-12???2+34m-6,x∈[1,3]. 当 m>0 时,g(x)是增函数, ∴g(x)max=g(3)? 7m-6<0, ∴0<m<67; 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)是减函数, ∴g(x)max=g(1)=m-6<0,得 m<6,∴m<0. 综上所述:m 的取值范围为???-∞,67???.

12.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生

产产品 x(百台),其总成本为 G(x)(万元),其中固定成本为 2 万元,并且每生产 1 百台的生

产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入 R(x)(万元)满足:R(x)=

??-0.4x2+4.2x-0.8,0≤x≤5,
?

假定该产品产销平衡,那么根据上述统计规律.

??10.2, x>5,

(1)要使工厂有赢利,产量 x 应控制在什么范围内?

(2)工厂生产多少台产品时,可使赢利最多?

解:依题意,G(x)=x+2.

设利润函数为 f(x),

则 f(x)=?????- 8.02.-4xx2,+3.x2>x5-. 2.8,0≤x≤5,

(1)要使工厂有赢利,即解不等式 f(x)>0, 当 0≤x≤5 时,解不等式-0.4x2+3.2x-2.8>0 即 x2-8x+7<0,得 1<x<7,

∴1<x≤5.

当 x>5 时,解不等式 8.2-x>0,得 x<8.2,

∴5<x<8.2.

综上所述,要使工厂赢利,x 应满足 1<x<8.2,即产品产量应控制在大于 100 台,小于 820

台的范围内. (2)0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,

故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6,

而当 x>5 时,f(x)<8.2-5=3.2,

所以,当工厂生产 400 台产品时,赢利最多.



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