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2014年全国高中数学青年教师展评课:割圆术教学设计(河北沧州一中鲍启静)


普通高中课程标准实验教科书 第一章 算法初步

必修 3

阅读与思考

割圆术求圆周率

教学设计
鲍启静

河北省沧州市第一中学(061000)
一、本课教学内容的本质、地位、作用分析

割圆术求圆周率是算法初步这一章结束后设置的阅读与思考内容,是对本章所学知识的 具 体应用。 “割圆术”是由中国古代的数学家刘徽提出的,是当时计算圆周率的比较先进的算法, 至今仍有一定的应用价值。它体现了以直代曲、无限趋近、 “内外夹逼”的思想,这些思想是 人们在解决数学问题时最基本、最朴素的思想,在其他领域也有着广泛的应用。 “割圆术”这 个算法本身很有趣,操作性强, “算理”明确,能被翻译成计算机程序上机运行,体现了中国 古代数学的算法特征。同时,围绕着圆周率的计算这个问题有很多有趣的故事,例如从古至 今许多数学家孜孜不倦的计算圆周率的故事及一些经典而有趣的算法等,从而激发了学生的 民族自豪感和爱国精神,培养了追求科学真理、为科学而献身的精神,培养创新精神和对新 事物的敏感性。 二、教学目标分析 1.知识目标: 使学生在明确问题的基础上,能设计方法,通过编写计算机程序求出圆周率。 2.能力目标: 在教学过程中,让学生体会割圆术算法步骤,使学生深刻理解由特殊到一般的归纳推理 思维。在让学生自主探究利用计算机计算圆周率的过程中,培养学生的逻辑思维能力以及解 决实际问题时主动应用数学知识的能力。 3.德育渗透目标: 通过探索与发现的过程,使学生亲历数学研究的成功和快乐,感悟数学朴实无华的内在 美,学会提出问题、分析问题、解决问题、推广结论进而完善结论的数学应用意识,激发学 生勇于探索、敢于创新的精神,优化学生的思维品质。

三、学情分析:
理解“割圆术”的算法步骤对于学生来讲并不难,学生已经具备了由具体问题抽象概括、 总结归纳的能力。但写出这一算法所对应的程序框图,尤其是循环结构的程序框图对学生来 说难度较大,因此,这一部分的教学由教师引导、小组交流相结合突破难点。

四、教学策略分析:
《普通高中数学课程标准》指出:高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、 探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程。新课程标准的价值取向是要求教师成为决策 者而不是执行者,要求教师创造出班级气氛、创造出某种学习环境、设计相应教学活动并表

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达自己的教育理念等等。基于以上思想,本节课采用问题式教学为主线,辅以启发式、探究 式、自主式、讨论式教学方式。

五、教学过程:
1.【追本溯源、感受辉煌】 算法初步这一章的学习结束了,在这一章,我们学习了算法、程序框图和算法语句。这 些知识看起来很简单,其实可以解决大问题。今天咱们就踏着科学家的足迹重温圆周率的研 究历程,来体验一下计算机给我们带来的改变。 先请一位同学根据你课前查阅的资料,给大家介绍一下你所了解的圆周率。 预案 1:学生可能会从圆周率的定义及刘徽提出的“割圆术”和祖冲之计算的精确圆周率等方 面作答。 其他同学还有补充吗? 预案 2:学生可能还会对圆周率计算的发展史感兴趣。 刚才两位同学说得非常精彩。他们分别叙述了圆周率的定义和计算的发展史。在计算的 发展 史中,有三点值得我们格外注意:①我国最早在先秦时期使用圆周率的值为 3 ;②公元 263 年 我国数学家刘徽提出“割圆术” ,并将圆周率计算到 3.14 ;③南北朝时期祖冲之将圆周率计算 到 3.1415926~3.1415927 之间,他的计算结果不但是当时最精密的圆周率,同时在世界上处 于领先地位长达 1000 多年。他是继承并发展了刘徽提出的“割圆术” ,什么是“割圆术”呢? 我们先看下面这个问题。 【设计意图】 通过让学生自己查阅资料,了解圆周率及其计算的发展史,从而感受灿烂辉煌的中华文 化,激发民族自豪感和爱国精神。 2.【抽丝剥茧、感悟思想】 比如现在有一条弧,做它的任意一条割线与弧交于 A, B 两点,显然 AB 的长度大于线段

AB
的长度。接下来,取 AB 的中点,那么与线段 AB 相比,这条折线的长度更接近 AB 的长度。 继续取这两段弧的中点, 所得折线的长度就进一步接近 AB 的长度了。 那我们怎么才能使得折 线的长度无限接近 AB 的长度呢? 【问题 1】怎样才能使折线的长度无限接近 AB 的长度? 预案:学生很容易意识到要继续取各弧的中点,所得折线的长度就越来越接近 AB 的长度。 对。其实,不一定非得取中点,取三等分点也可以,甚至取弧上任意一点都可以。不过 为了 方便起见,我们不妨取中点。这样我们就可以得到这条曲线长度的近似值。这种方法就叫做 “以直代曲” 。它不但可以帮助我们求得曲线长度的近似值,也可以帮助我们解决曲边图形的 面积问题。比如说,我们可以用圆内接正六边形的面积来估计该圆的面积,但这个值显然不
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够精确。如果想要得到更精确一些的值,该怎么做呢? 预案:根据前面割弧所得的体验,学生容易想到取各弧的中点 取各弧的中点得到一个圆内接正十二边形,它的面积更接近圆的面积。如果再继续分割, 做 成圆的内接正二十四边形,它的面积更进一步接近圆的面积了。要想让圆内接正多边形的面 积无限接近圆的面积该怎么办? 预案:不断分割下去 对。当圆的半径等于 1 时,圆的面积就是圆周率 ? 。而边数 n 可以无限增大, n 越大,得 到 的面积 S 越接近于 ? ,将来我们会学到它的极限值就是圆周率 ? 。这就是刘徽所提出的“割 圆术” 。 “割圆术”完美体现了“无限逼近”以及“以直代曲”的思想。这两种思想在其他领 域还有广泛的应用。下面,我们先体会体会割圆术的原理与手工计算。 【设计意图】 在师生交流中,提出以直代曲及无限逼近等思想,逐渐拨开表象看实质,让学生感悟 “割圆术”所体现的思想,并体会方法的震撼力。这样一来,学生会对接下来的学习充满了 好奇与期待。 3.【传承知识、体会方法】 因为圆周率 ? 等于圆面积与半径平方之比,为了更加简单的计算 ? ,不妨设圆的半径为 1. 此时,我们应该如何计算圆内接正六边形的面积呢? 【问题 2】如何计算圆内接正六边形的面积。 预案:由于学生初中进行过大量平面几何的训练,所以不难得知:圆的半径等于 1,故这个正 六边形的边长也等于 1.而这个正六边形可以看成是由六个边长为 1 的正三角形组成的。

?x ? 其中,在直角三角形 OPA 中利用勾股定理可以求得正三角形的高 h6 ? 1 ? ? 6 ? ,那 ? 2?
么正三角形的面积就是二分之一底乘高,底是正六边形的边长,即

2

1 3 * x6 * h6 ? , 2 4 P
A

因此圆内接正六边形的面积 S6 ? 6*

3 4
O

x6 ? 1 ?x ? h6 ? 1 ? ? 6 ? ? 2? S6 ? 6* 3 4
2

Q

接下来,取圆的六段弧的中点,就得到圆内接正十二边形 。从图中,你发现 S12 与 S6 的

P


A

B

-3-

O

Q

系了吗? 预案:由于有图形的直观做辅助,学生很容易观察得到

S12 等于 S6 加上 6 个等腰三角形的面积。
那么如何利用 S6 表示圆内接正十二边形的面积呢? 【问题 3】如何利用 S6 表示圆内接正十二边形的面积? 预案:学生根据前面计算圆内接正六边形的经验,很容易求出三角形 PBQ 的面积等于

1 1 * x6 * ?1 ? h6 ? ,从而得到 S12 ? S6 ? 6* * x6 *(1 ? h6 ) 2 2 1 S12 ? S6 ? 6* * x6 *(1 ? h6 ) 2
这样我们利用正 6 边形的面积很轻松地得到了正 12 边形的面积, 那我要算圆的内接正 24 边形的面积又该怎么做呢? 预案:有了前面从圆内接正六边形到圆内接正十二边形的演变过程,学生会自然而然的将圆 弧继续等分就得到圆的内接正 24 边形。它比圆内接正 12 边形多出 12 个三角形,每一 个三角形的面积等于

1 * x12 *(1 ? h12 ) ,所以圆内接正 24 边形的面积是 2

1 S 24 ? S12 ? 12* * x12 *(1 ? h12 ) 2
其中的 x12 与 h12 怎么呢? 预案:学生会类比前面计算弦心距和边长的方法,在直角三角形 POC 中利用勾股定理求出

x12 ?

?1 ? h6 ?
2

2

?x ? ?x ? ? ? 6 ? 。直角三角形 OPC 中利用勾股定理求出 h12 ? 1 ? ? 12 ? 。 ?2? ? 2 ?

2

2

2 ?x ? x12 ? ? 6 ? ? ?1 ? h6 ? ?2?

?x ? h12 ? 1 ? ? 12 ? ? 2 ? 1 S24 ? S12 ? 12* * x12 *(1 ? h12 ) 2
谁能直接写出圆内接正 48 边形的面积呢? 预案:有了前面 S12 , S24 的计算公式,学生完全能够发现其表达式中所体现出的规律并类比得

2

1 2 ?x ? ?x ? ( 1 ? h24 ) 。 到 S48 ? S24 ? 24* * x24 * 其中 x24 ? ? 12 ? ? ?1 ? h12 ? ,h24 ? 1 ? ? 24 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

2

2

看来大家已经发现了圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形 ……的面积之间的递 增关

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系,那我们按照这个规律可以求得圆的内接正 n 边形的面积吗? 【问题 4】你能依照规律写出圆内接正 n 边形的面积吗? 预案:根据前面的规律,学生一定能顺利写出 Sn ? S n ?
2
2

? ? n 1 * * xn * ?1 ? hn ? 2 2 2 ? 2 ?
2

2 ? xn ? ? xn ? ? ? ? 4 ? 及 xn ? ? 1 ? hn ? , hn ? 1 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? 2 4 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 我们给定边数 n ,就能计算出相应圆内接正 n 边形的面积 S ,

S6 ? 2.598 S12 ? 3.105829 S24 ? 3.132628
S48 ? 3.13935

也就是圆周率的近似值。从这一系列数据中你发现什么规律了吗? 预案:学生通过观察数据不难发现随着边数 n 的增加, 这个值越来越接近圆周率的精确值了。 【设计意图】

S96 ? 3.141032
S192 ? 3.141452

学生在教师的引导下,通过计算圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形、正四十 八边形的面积,由特殊到一般归纳总结出一般规律,体会“割圆术”的算法,为后面利用计 算机编程求圆周率做好充分的铺垫。 4.【古法新用、主动探究】 这个算法中的边数 n 满足什么条件? 预案:学生的第一反应是 6 的倍数,但随即自己就能纠正其结果。因为他会发现这个过程没 办 法 求 出 S18 。 经 过 进 一 步 思 考 找 到 边 数 满 足 的 规 律 6=6*2 ,
0

12=6*21,24=6*22 ,48=6*23 ,
从而归纳出这个算法中圆的内接正 n 边形的边数 n 可以写成 n ? 6* 2 的形式。 并得到 i 的
i

初始值是 0,变化规律是每次增加 1. 从 S6 计算 S12 需要进行一次递推,从 S6 计算 S24 需要进行两次递推,从 S6 计算 S48 需要进 行 三次递推,……,也就是说 i 表示的是递推的次数。通过观察刚才的计算过程,不难发现,每 一步的运算都惊人的相似, 都是利用上一个圆内接正多边形的弦心距 h 计算出下一个圆内接正 多边形的面积 S ,然后通过计算该正多边形的边长 x 进而计算出该圆内接正多边形的弦心距 h ,从而实现循环。下面,请同学们通过小组合作写出这个算法中最核心的部分即该循环结构 的程序框图,并推举代表展示你的成果。 【问题 5】请同学们通过小组合作写出该循环结构的程序框图。 (小组交流 3 分钟) 学生之前学习过两种循环结构:直到型和当型。因此,在小组交流讨论中两种循环结构 都有 可能出现。 预案 1:该小组写的是直到型的循环结构。 因为边数 n ? 6* 2 ,而 i 表示的是递推的次数,
i

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所以选择 i 当循环变量,它的初始值是 0。在循环体中, 先后计算了弦心距 h ,面积 S 和边长 x ,直到 i ? log 2 ? 退出循环,否则反复执行循环体。 你们是如何得到这个循环终止条件的呢? 预案:学生根据 n ? 6* 2 ,而直到型循环结构是直到满足条件就退出循环,所以应该将判断
i

?n? ? 时, ?6?

条件定为 6* 2 ? n ,从中就可以解出 i ? log 2 ?
i

?n? ? ?6?

说的非常好。其他小组还有不同的画法吗? 预案 2:该小组写的是当形循环结构。 循环体和循环变量的选择与他们是一样的。 区别是先判断循环终止条件,当条件成立时执行循环体, 否则退出循环。所以我们的循环终止条件是 i ? log 2 ?

?n? ?。 ?6?

时间关系,我们只补充完善其中一个程序框图。大家想补充哪一个呢? 预案:当型的吧! 下面我们把这个程序框图补充完整。 预案:根据之前学过的程序框图的知识,学生很容易知道只要在前面加上终端框开始,并且 输入边数 n ,同时给 x , i 和 S 赋上初值就可以了。当然,学生有可能丢落下个别细节, 比如终端框,这些在学生们的共同纠错中很容易得到解决。 他的展示讲解精彩吗? 生齐答:精彩 那掌声在哪里? (学生鼓掌) 看来同学们对前面学习的程序框图理解非常深刻。 下面,请同学们对照该程序框图共同协作写出与之对应的算法语句。 为了节约时间,请两位同学到前面配合,一个人写,一个人输入。 (展示课件上的标准程序框图) (学生活动) 预案:两位同学一个在黑板上对照程序框图写算法语句, 另外一个同步输入,两个人互相探讨不难写出其算法语句。 INPUT “n=”;n x=1 i=0 S=6*SQR(3)/4 WHILE i<=LOG(n/6)/LOG(2) h=SQR(1-(x/2)^2) s=s+6*2^i*x*(1-h)/2 x=SQR((x/2)^2+(1-h)^2) i=i+1 WEND

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PRINT S END 下面同学看一下黑板上的程序语句是否正确。 预案:同学们通过观察电脑上输入的程序,进行点评纠错,很快就能得到完整而且正确的算 法语句。 既然没有问题,就试着运行这个程序。输入边数 n 等于几呢? 预案:输入 n ? 12 , n ? 96 , n ? 12288 不难看出,随着输入的边数 n 逐渐增加,计算出来的值越来越接近圆周率的精确值。但计 算 效率与手工计算相比,不可同日而语。 【设计意图】 在学生已经体会并理解了“割圆术”算法的基础上,利用所学过的算法初步的知识将这 一数学计算过程最终转化为计算机算法语句是本节课的难点。为了突破这一难点,最初只让 学生写出循环结构的程序框图,后面再陆续将程序框图补充完整,这样一来分散了难点,将 知识臵于学生的最近发展区,跳一跳够得到。另外,通过小组合作交流还可以培养学生的合 作意识、团队精神,进而促使学生相互学习、共同提高,有力的促进了课堂效率的提高。 5.【再接再厉、完善方法】 其实,我们刚才所研究的只是刘徽提出的割圆术的一方面,即从内向外无限逼近 ? 。另 一方 面,这些圆的内接正多边形每边外都有一余径,用边长乘以余径加到正多边形的面积上,则 大于圆的面积。在已知圆内接正多边形面积的基础上,我们来看一下如何设计一个递减数列 逐渐逼近 ? 。 【问题 6】在半径为 1 的圆中,设计一个递减数列逐渐逼近圆周率 ? 。 首先,在圆内接正六边形的基础上加上六个矩形得到的面积是

S6 ? 6* SPCDQ ? S6 ? 6*2* S?PBQ ? S6 ? 2* ? S12 ? S6 ? 。因为计算机计算加法的运算速度更
快,所以可以将它改写成 S12 ? ? S12 ? S6 ? 。同样的,在圆内接正 12 边形的基础上加上 12 个矩 形就是 S24 ? ? S 24 ? S12? 。以此类推,我们可以得到一列递减数: S12 ? (S12 ? S6 ) , …… ,

? ? S2n ? ? S2n ? Sn ? 也就实现了从外向内逼近 ? 。这样一来, Sn ? S ? Sn ? ? Sn ? S n ? 从而利用 ? 2 ?
内外夹逼的思想得到圆周率,理论上来说可以把 ? 算到任意精度。课下,请同学们自己完善 上面的程序,利用割圆术借助计算机求圆周率。 【设计意图】 向学生介绍“割圆术”所体现的“内外夹逼”的思想,完善方法,提升其思维的严谨性。 6. 【感悟提升、展望未来】 至此,我们对圆周率的研究告一段落了。最后,请同学们从知识、思想、方法等方面谈 一下 你的收获和体会。 【问题 7】请从知识、思想、方法等方面谈一下你的收获和体会。 预案 1:学生会从本节课的中心内容即割圆术及它所体现的“以直代曲” “无限趋近” “内外夹
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逼”等思想方面进行总结。 他从知识和方法的角度谈了他的收获,以直代曲、无限趋近等思想是人们处理很多数学 问题 时一个最基本最朴素的思想与方法。其他同学还有补充吗? 预案 2:学生应该对计算圆周率的新旧方法的效率的悬殊对比有着深刻的印象,从而体会到古 代智慧的结晶再加以现代计算机技术的辅助,便如虎添翼。同时可能提出猜想:既然 可以用计算机来求圆周率,就一定可以用计算机来解决其他类似地问题。 她的想法特别好,从计算圆周率的新旧方法的效率的悬殊对比上,我们不难体会到在面 对新 事物时,不能墨守成规,拘泥于一种现成的方法。如果祖冲之单纯使用割圆术,需要计算到 圆内接正 12288 边形,才能将圆周率计算到 3.1415926~3.1415927 之间,而这在利用算筹计算 的年代是不可想象的。他一定是改进了刘徽的计算方法,才取得了这样的成就,遗憾的是, 他的手稿已经失传,无法考证他的计算方法。在这里,不得不提的是,祖冲之是我省涞水县 人,他不仅受到中国人民的敬仰,同时也受到世界各国科学界人士的推崇。1960 年,苏联科 学家们还用他的名字命名了月球上的一座环形山。他在那样一个科技不够发达的年代,用自 己的勤劳和智慧为中华文化写下了辉煌灿烂的一笔。现在,科技飞速发展,祖国繁荣稳定, 在这大好的形式下,我们当代中学生更要努力学习文化知识,积极进取、勇于创新,将传统 文化发扬光大。为祖国的繁荣、科技的发展做出自己应有的贡献。 【设计意图】 让学生从知识、思想、方法等方面对本节课的学习进行总结,对本节课所学内容达到巩 固提升的目的。 7.【激趣求知、延伸课堂】 课下,请同学们试着利用圆周率的定义即 ? 等于圆周长与直径之比,借助计算机完成圆 周率 的计算,同时比较课本上的程序,课上我们写的程序和你自己课下写的程序,分析每个程序 的利与弊。另外,将你从研究 ? 的过程中所得到的收获和体会写成一篇简短的数学论文。 【设计意图】 布臵课后作业,让学生类比课上的研究过程,利用圆周率的定义计算圆周率,使学生学 以致用,将课上的内容与方法延伸至课下。同时,让学生将研究圆周率过程中的收获与体会 撰写成为一篇数学小论文,提高学生的自我反思能力。 通过以上设计,预期达到以下效果:使学生在利用“割圆术”手工计算圆周率的过程中, 体会由特殊到一般的归纳推理思维;在借助计算机编程求圆周率的过程中,体会主动应用数 学的意识。 新的课程改革的理念侧重以下四个环节:以人为本;树立开放的大课程观;树立师生交 往互动的平等观;强调整合构建新的课堂教学目标体系。本节课围绕以上四个环节紧密展开, 力求通过对于割圆术的探究,提高学生数学素养,增强学习兴趣,优化学习习惯,提高数学 能力。

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