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江西省南昌市2013届高三第一次模拟测试数学(文)试题 Word版含答案


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江西南昌市 2012—2013 学年度高三第一次模拟测试

数学(文)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分。 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字在答题卡上 作答,若在试卷题上作答,答案无效。 3.考试结束,监考号将试题卷、答题卡一并收回。

第I卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A,B,则 A∪B=A 是 A∩B=B 的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不 必要条件 2.函数 f ( x) ? A. { x | x ?

2x ? 1 的定义域是 2x ? x ? 1
2

1 1 } B. { x | x ? ? } 2 2 1 1 C. {x | x ? ? 且x ? 1} D. {x | x ? ? 且x ? 1} 2 2 1 ? 2i ? i (i 为虚数单位) 3.若复数 z 满足 ,则 z 的虚部为 z A. 2i B.2 C. ?i D.-1
4.在数列 {an } , 若a1 ? ?2, 且对任意的n ? N 有2an?1 ? 1 ? 2a, 则数列 an } 前 10 项的 中 {
*

和为 A.5 B.10 C.

5 2

D.

5 4

5.已知命题: “如果 x ? y, y / / z, 则x ? z ”是假命题,那么字母 x,y,z 在空间所表示的 几何图形可能是 A.全是直线

B.全是平面

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C.x,z 是直线,y 是平面

D.x,y 是平面,z 是直线

6.已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ? , 则f (? ) ? 3 6

A. ? C.

2 3

B. ? D.

1 2

2 3

1 2

7.程序框图如图,如果程序运行的结果为 s=132,那么判断框中可填入

A. k ? 10 8.双曲线

B. k ? 10

C. k ? 11

D. k ? 11

1 x2 y 2 ? 2 ? ?1 与抛物线 y ? x 2 有一个公共焦点 F,双曲线上过点 F 且垂直实轴 2 8 b a

的弦长为

2 3 ,则双曲线的离心率等于 3
B.

A.2

2 3 3

C.

3 2 2

D. 3

9.下列说法中,不正确的是 A.点 (

?
8

, 0)为函数f ( x) ? tan(2 x ?

?
4

) 的一个对称中心

? B.设回时直线方程为 y ? 2 ? 2.5 x ,当变量 x 增加一个单位时,y 大约减少 2.5 个单位
C.命题“在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则△ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命 题 D.对于命题 p: “

x x ? 0 ”则 ? p “ ? 0” x ?1 x ?1

10.已知正△ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的 距离为 1,点 E 是线段 AB 的中点,过点 E 作球 O 的截面,则截面面积 的最小值是

7 ? 4 9 C. ? 4
A.

B.2 ? D.3 ?

第 II 卷

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二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11.已知 a ? (cos 40? ,sin 40? ), b ? (sin 20? ,cos 20? ), 则a ? b =

?

?

? ?



12.若一个圆台的主观图如图所示,则其全面积等于 。 13.张先生订了一份《南昌晚报》 ,送报人在早上 6:30—7:30 之间把报纸送到他家,张 先生离开家去上班的时间的早上 7:00—8:00 之间,则张先生在离开家之前能得到报 纸的概率是 。 14. 若对任意的 a ? R, 不等式 | x | ? | x ? 1|?|1 ? a | ? |1 ? a | 恒成立,则实数 x 的取值范围 是 。

15.已知函数 f ( x) ? a sin(

?
5

x) ? b tan(

?
5

x)(a, b为常数, x ? R).若f (1) ? 1 ,则不等式

f (31) ? log2 x 的解集为



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学 生成绩样本,得频率分布表如下:

(1)写出表中①②位置的数据; (2)为了选拔出更优秀的学生, 高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名 学生进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数; (3)在(2)的前提下,高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生,求 2 人中至少有 1 名 是第四组的概率。

17. (本小题满分 12 分) 设角 A, C 为△ABC 的三个内角, B, 已知 cos( B ? C ) ? sin (1)求角 A 的大小; (2)若 AB ? AC ? ?1, 求 BC 边上的高 AD 长的最大值。

2

A 5 ? . 2 4

??? ??? ? ?

18. (本小题满分 12 分) 如图, 多面体 ABC—A1B1C1 中, 三角形 ABC 是边长为 4 的正三角形, AA1//BB1//CC1,AA1⊥平面 ABC,AA1=BB1=2CC1=4。 (1)若 O 是 AB 的中点,求证:OC1 ⊥A1B; (2)在线段 AB1 上是否存在一点 D,使得 CD//平面 A1B1C1,若存在确定 D 的位
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置;若不存在,说明理由。

19. (本小题满分 12 分)设正项数列 {an }的前项和Sn , 若{an }和{ Sn } 都是等差数列,且 公差相等, (1)求 {an } 的通项公式; (2)若 a1 , a2 , a5恰为等比数列{bn }的前三项, 记数列

cn ?

1 , 数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn , 求Tn . log 2 4bn?1 ? log3 4bn?2

20 . 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ax2 ? b ln x在点(1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 (

y ? 3x ? 1.
(1)若 f ( x ) 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,求实数 k 的取 值 范 围 ; ( 2 ) 若 对 任 意

x ? [0, ??]









1 c ?1 2 1 t ? [1,3], 使得 t 3 ? t ? ct ? ln 2 ? ? f ( x) ,试求实数 c 的取值范围。 3 2 6

21. (本小题满分 14 分) 已知点 M (?1,0), N (1,0), 动点P( x, y)满足 :| PM | ? | PN |? 2 3 , (1)求 P 的轨迹 C 的方程; (是否存在过点 N (1,0)的直线l 与曲线 C 相交于 A,B 两点, 并且曲线 C 存在点 Q,使四边形 OAQB 为平行四边形?若存在,求出直线 l 的方程;若 不存在,说明理由。

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参考答案
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 题目 答案 1 A 2 D 3 D 4 C 5 D 6 A 7 A 8 B 9 D 10 C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5,共 25 分) 3 11. 2 12. 5? ? 3 5? 13.

7 8

14.

15.

? 0, 2 ?

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分) 16.解: (1)①的位置为 12,②的位置为 0.30??4 分 (2)抽样比为 6 ? 1 ,所以第三、四、五组抽中的人数为 3,2,1??8 分
30 5

(3)设 2 人中至少有 1 名是第四组为事件 A,则 P ( A) ? 1 ? 6 ? 3 ??12 分 15 5
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17.解: (1) ? cos A ?

1 ? cos A 5 1 2? ? , cos A ? ? ,因为 A ? (0, ? ) ,所以 A ? ?6 分 2 4 2 3

(2)由 AB ? AC ? ?1 知 bc ? 2 , ??8 分 所以 S?ABC ?

??? ??? ? ?

1 3 ,而 a ? b2 ? c2 ? bc ? 3bc ? 6 ??10 分, bc sin A ? 2 2

当且仅当 b ? c ?

2 时,上式取等号??11 分

所以 BC 边上的高 AD 的最大值为 2 .??12 分 2 18. 解:(1)取线段 A1B1 的中点为 E ,连接 OE, C1 E, CO ,

已知等边 ABC 是边长为 4,AA ? BB1 ? 2CC1 ? 4 1

AA1 ? 平面 ABC ,AA1 // BB1 // CC1

? AA1B1B 是正方形, OE ? AB , CO ? AB , 又? CO ? OE ? O ? AB ? 面EOCC1

A1 B1 || AB, OC1? 面EOCC1 , 故 OC1 ? A1B1 ??6 分
(2)设 OE ? AB1 ? D ,则点 D 是 AB1 的中点, 所以, ED ∥ AA1 , ED ? 又? CC1 || AA1 , CC1 ?

1 AA1 ??8 分 2
1 AA1 , 所以四边形 CC1ED 是平行四边形,?10 分 2

? CD // C1E ,? CD // 平面 A1B1C1
即存在点 D 使得 CD // 平面 A1B1C1 ,点 D 是 AB1 的中点.?12 分 19.解:设 ?an ? 的公差为 d ,则 sn ? na1 ?

n(n ? 1)d d 2 d ,即 Sn ? n ? (a1 ? )n , 2 2 2

d ? ?a1 ? 2 ? 0 由 sn 是等差数列得到: ? ??2 分, ? d ? s ? n ? n 2 ?
则d ?

d 1 且 d ? 2a1 ? 0 ,所以 d ? ,?? 4 分, 2 2

d 1 1 1 2n ? 1 ? ??5 分, an ? ? (n ? 1) ? ? ??6 分 2 4 4 2 4 1 3 9 (2)由 b1 ? a1 ? , b2 ? a2 ? , b3 ? a5 ? ,得到:等比数列 {bn } 的公比 q ? 3 , 4 4 4
所以: a1 ?

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所以: bn ? 所以 cn ?

1 n ?1 ? 3 , ??8 分 4
n

1 1 1 1 ??10 分 ? ? ? n ?1 log3 3 ? log3 3 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? 1? ??12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 ? f ?(1) ? 3 ?a ? 2 b 20. (1) f ?( x ) ? 2ax ? ,由 ? ,得 ? ??????????2 分 x ?b ?1 ? f (1) ? 2 Tn ? 1 ?

f ( x) ? 2x2 ? ln x , f ?( x) ? 4 x ?

1 1 4 x 2 ?1 ? ? 0 ,得 x ? ,??????3 分 2 x x

? ? k ?1 ? 0 ? 1 3 ? 所以 ? k ? 1 ? ? 1 ? k ? ??????????????????????6 分 2 2 ? 1 ? ?k ? 1 ? 2 ?
3 (2)设 g (t ) ? t ?

1 3

c ?1 2 1 t ?ct ? ln 2 ? 根据题意可知 g (t )min ? f ( x)min ????7 分 2 6

1 1 由(1)知 f ( x)min ? f ( ) ? ? ln 2 ????????????????????8 分 2 2 g ?(t ) ? t 2 ? (c ? 1)t ? c ? (t ? 1)(t ? c) , c 当 c ? 1 时, g ?(t ) ? 0 ; g (t ) 在 t ? [1,3] 上单调递增, g (t )min ? g (1) ? ? ln 2 , 2 满足 g (t )min ? f ( x) min ??????????????????????????9 分 当 1 ? c ? 3 时, g (t ) 在 t ? [1, c ] 时递减 ,在 t ? [c,3] 时递增, 1 1 1 1 1 1 1 g (t )min ? g (c) ? ? c3 ? c2 ? ln 2 ? ,由 ? c3 ? c2 ? ln 2 ? ? ? ln 2 得 6 2 6 6 2 6 2 3 2 2 c ? 3c ? 2 ? 0,(c ? 1)(c ? 2c ? 2) ? 0 ,此时 1 ? 3 ? c ? 3 ???????????10 分 3c 14 当 c ? 3 时, g ?(t ) ? 0 ; g (t ) 在 t ? [1,3] 上单调递减, g (t )min ? g (3) ? ? ? ? ln 2 2 3 3c 14 3 ? 3 14 1 g (3) ? ? ? ? ln 2 ? ? ? ? ln 2 ? ? ln 2 ??????????????12 分 2 3 2 3 2 ?1 ? 3, ?? ???????????????13 分 综上,c 的取值范围是 ? ??,1? ? ?

?

21. 解: (1)由 PM ? PN ? 2 3 知道曲线 C 是以 M , N 为焦点的椭圆,且 a ? 3, c ? 1 ,

b? 2,
x2 y 2 ? ? 1. ????????????6 分 3 2 (2)设 A(x1, y1) 、 (x 2, y 2) ,由题意知 l 的斜率一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1,代入 B
所以曲线 C 的方程为 椭圆方程整理得 (2m ? 3) y ? 4my ? 4 ? 0 ,???????7 分
2 2

4m 4 , y1 y2 ? ? ??? ① ,???????8 分 2 2m ? 3 2m 2 ? 3 ???? ??? ??? ? ? 假设存在点 Q ,使得四边形 OAQB 为平行四边形,其充要条件为 OQ ? OA ? OB ,则点 Q 的
显然 ? ? 0. 则 y1 ? y2 ? ?
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( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 1. 3 2 整理得 2x12 ? 3 y12 ? 2x22 ? 3 y22 ? 4x1x2 ? 6 y1 y2 ? 6. ????????????10 分
坐标为 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。由点 Q 在椭圆上,即 又 A、B 在椭圆上,即 2x12 ? 3 y12 ? 6,x22 ? 3 y22 ? 6. 2 故 2x1 x2 ? 3 y1 y2 ? ?3??? ② ?????????????????????11 分 所以 x1x2 ? (my1 ?1)(my2 ?1) ? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1

2 . ?????????????????????13 分 2 2 即直线 l 的方程是: x ? ? y ? 1 ,即 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ??????????14 分 2
将①代入上式解得 m ? ? ②

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