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高中数学第3章概率33几何概型教学案苏教版必修3(数学教案)

3.3 几何概型 观察下面两个试验: (1)早上乘公交车去上学,公交车到站的时间可能是 7:00 至 7:10 分之间的任何一个 时刻. (2)“神七”返回大陆时着陆场为方圆 200 km 的区域,而主着陆场为方圆 120 km 的区 域,飞船在着陆场的任何一个地方着陆的可能性是均等的. 问题 1:上述两个试验中的基本事件的结果有多少个? 提示:无限个. 问题 2:每个试验结果出现的可能机会均等吗? 提示:是均等的. 问题 3:上述两试验属古典概型吗? 提示:不属于古典概型,因为试验结果是无限个. 问题 4:能否求两试验发生的概率? 提示:可以求出. 2 2 1.几何概型的定义 对于一个随机试验, 将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点, 该 区域中每一点被取到的机会都一样; 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的 某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随 机试验,称为几何概型. 2.几何概型的计算公式 在几何区域 D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为事件 A,则 事件 A 发生的概率 P(A)= d的测度 . D的测度 这里要求 D 的测度不为 0,其中“测度”的意义依 D 确定,当 D 分别是线段、平面图形 1 和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等. 1. 在几何概型中, “等可能”应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内可能性大 小,仅与该区域的度量成正比,而与区域的位置、形状无关. 2.判断一试验是否是几何概型的关键是看是否具备两个特征:无限性和等可能性. [例 1] 在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM 的长大于 AC 的长的概率. [思路点拨] 在 AB 上截取 AC′=AC,结合图形分析适合条件的区域可求概率. [精解详析] 设 AC=BC=a, 则 AB= 2a, 在 AB 上截取 AC′=AC, 于是 P(AM>AC)=P(AM>AC′) = BC′ AB-AC 2a-a 2- 2 = = = . AB AB 2 2a 2- 2 即 AM 的长大于 AC 的长的概率为 . 2 [一点通] 在求解与长度有关的几何概型时,首先找到几何区域 D,这时区域 D 可能是一条线段或 几条线段或曲线段,然后找到事件 A 发生对应的区域 d,在找 d 的过程中确认边界是问题的 关键. 2 1.在区间[1,3]上任取一数,则这个数大于等于 1.5 的概率为________. 3-1.5 解析:P= =0.75. 3-1 答案:0.75 1 1 2.已知函数 f(x)=log2x,x∈[ ,2],在区间[ ,2]上任取一点 x0,则使 f(x0)≥0 的 2 2 概率为________. 1 解析:欲使 f(x)=log2x≥0,则 x≥1,而 x0∈[ ,2], 2 ∴x0∈[1,2],从而由几何概型概率公式知所求概率 P= 2-1 2 = . 1 3 2- 2 2 答案: 3 [例 2] (湖南高考改编) 如图,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆 内, 用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,则 P(A)=________. [思路点拨] 可判断为几何概型,利用面积比求其概率. [精解详析] 圆的半径是 1,则正方形的边长是 2,故正方形 EFGH(区域 d)的面积为 2 2 ( 2) =2.又圆(区域 D)的面积为π , 则由几何概型的概率公式,得 P(A)= . π [答案] 2 π [一点通] 解决此类问题的关键是: (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题; (2)找出或构造出随机事件对应的几何图形.利用图形的几何特征计算相关面积. 3.射箭比赛的箭靶是涂有彩色的五个圆环,从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色, 3 靶心是金色, 金色靶心叫“黄心”, 奥运会的比赛靶面直径为 122 cm, 靶心直径为 12.2 cm, 运动员在 70 m 外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任意一点是等可能的,那么射中 黄心的概率为________. 1 2 2 解析:记“射中黄心”为事件 B,由于中靶点随机地落在面积为 ×π ×122 cm 的大圆 4 1 2 2 内,而当中靶点落在面积为 ×π ×12.2 cm 的黄心内时,事件 B 发生,所以事件 B 发生的 4 1 2 π ×12.2 4 概率 P(B)= =0.01. 1 2 π ×122 4 答案:0.01 4.如图,平面上一长 12 cm,宽 10 cm 的矩形 ABCD 内有一半径为 1 cm 的圆 O(圆心 O 在矩形对角线交点处).把一枚半径为 1 cm 的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内), 求硬币不与圆 O 相碰的概率. 解:由题意可知:只有硬币中心投在阴影部分(区域 d)时才符合要求,所以不与圆相碰 8×10-π ×2 π 的概率为 =1- . 80 20 2 [例 3] (12 分)用橡皮泥做成一个直径为 6 cm 的小球,假设橡皮泥中混入一个很 小的砂粒,试求这个砂粒距离球心不小于 1 cm 的概率. [思路点拨] 先判断概型为几何概型后利用体积比计算概率. [精解详析] 设“砂粒距离球心不小于 1 cm”为事件 A,球心为 O,砂粒位置为 M,则 事件 A 发生,即 OM≥1 cm. 设 R=3,r=1, (3 分) 4 4 3 则区域 D 的体积为 V= π R 3 (5 分) (7 分) (10 分) (12 分) 4 4 3 3 区域 d 的体积为 V1= π R - π r . 3 3 V1 r 3 1 26 ∴P(A)= =1-( ) =1- = . V R 27 27 26 故砂粒距离球心不小于 1 cm 的概率为 . 27 [一点通] 如果试验


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