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辽宁省抚顺市重点高中协作校2015届高考数学模拟试卷(文科)


辽宁省抚顺市重点高中协作校 2015 届高考数学模拟试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 1. (5 分)已知集合 P={﹣2,﹣1,1,2},Q={x|x ﹣3x+2=0},则集合 P∩Q 等于() A.{﹣1,﹣2} B.{1,2} C.{﹣2,1} D.{﹣1,2}

2. (5 分)已知复数 z 满足 A.2 B . ﹣2

=i,则复数 z 的虚部是() C. 1 D.﹣1

3. (5 分)某校三个年级共有 24 个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依 次为 1 到 24,现用系统抽样方法.抽取 4 个班进行调查,若抽到的最小编号为 3,则抽取最 大编号为() A.15 B.18 C.21 D.22

4. (5 分)若双曲线 A.

﹣ B. 2

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±x,则双曲线的离心率为() C. D.

5. (5 分)已知| |=1, =(0,2) ,且 A. B.

=

,则向量 与 夹角的大小为() C. D.

6. (5 分)已知 3,a+2,b+4 成等比数列,1,a+1,b+1 成等差数列,则等差数列的公差为() A.4 或﹣2 B . ﹣4 或 2 C. 4 D.﹣4

7. (5 分)设变量 x、y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+3y 的最大值为()

A.11

B.10

C. 9

D.12

8. (5 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB= ,BC=2,沿 BD 将三角形 ABD 折起,连接 AC, 所得三棱锥 A﹣BCD 的主视图和俯视图如图所示,则三棱锥 A﹣BCD 左视图的面积为()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)在如图的程序中所有的输出结果之和为()

A.30

B.16

C.14

D.9 )的部分图象如图所 个单位,所

10. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+4φ) (A>0,ω>0,0<φ<

示,若将函数 f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ,再向右平移 得到的函数 g(x)的解析式为()

A.g(x)=2sinx

B.g(x)=2sin2x
2

C.g(x)=2sin x

D.g (x) =2sin (2x﹣



11. (5 分)设抛物线 y =16x 的焦点为 F,经过点 P(1,0)的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点, 且2 A.18 = ,则|AF|+4|BF|=() B.20
3 2

C.24

D.26

12. (5 分)设函数 f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx,记 g(x)= 一个零点,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞,e + ]
2

,若函数 g(x)至少存在

B.(0,e + ]

2

C.(e + ,+∞]

2

D.(﹣e ﹣ ,e + ]

2

2

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)若 ,则 cos2θ=.

14. (5 分)已知 f(x)=

则 f(f(3) )=.

15. (5 分)已知{an}是公差不等于 0 的等差数列,a1=2 且 a2,a4,a8 成等比数列,若 bn= ,则数列{bn}的前 n 项和的取值范围是.

16. (5 分)正三角形 ABC 的三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,点 D 是线段 BC 的中点,过 D 作球 O 的截面,则截面面积的最小值为.

三、判断题(共 8 小题,每小题 12 分,满分 70 分) 17. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边. (1)若 = ,判断△ ABC 的形状; ,△ ABC 的面积为 ,求边长 b 的值.

(2)若 a=2,B=

18. (12 分)如图 1 所示,直角梯形 ABCD,∠ADC=90°,AB∥CD,AD=CD= AB=2,点 E 为 AC 的中点,将△ ACD 沿 AC 折起,使折起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直(如图 2) ,在 图 2 所示的几何体 D﹣ABC 中. (1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)点 F 在棱 CD 上,且满足 AD∥平面 BEF,求几何体 F﹣BCE 的体

积.

19. (12 分)某校 2015 届高三年级在某次模拟考试中,从全年级 400 名学生中选出 40 名学生 的数学成绩制成了平率分布直方图如图所示. (1 若成绩在 120 分以上为优秀,试估计该校 2015 届高三年级的优秀率; (2)根据频率分布直方图估计该校 2015 届高三年级的数学成绩的平均值; (3) 样本中数学成绩在[130, 140) 分的同学中男女生人数之比为 2: 1, 现从成绩在[130, 140) 分的同学中选出 2 个研究他们的失分情况,求选出的人中至少 1 名女生的概率.

20. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1, (a>b>0)的离心率等于

,点 P(2,

)在椭圆

上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左右顶点分别为 A,B,过点 Q(2,0)的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,是否存在定直线 l′:x=t,使得 l′与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上?若存在,求出一个 满足条件的 t 值;若不存在,说明理由.

21. (12 分)已知函数 f(x)=(k+ )lnx+

,其中常数 k>0.

(1)当 k=1 时,求 f(x)在定义域上的单调区间; (2)若 k∈[4,+∞) ,曲线 y=f(x)上总存在相异两点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)使得曲线 y=f (x)在 M,N 两点的切线互相平行,求 x1+x2 的取值范围. 22. (10 分)如图,△ ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E, 点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M. (1)求证:O、B、D、E 四点共圆; 2 (2)求证:2DE =DM?AC+DM?AB.

23.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2acosθ(a≠0) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴 建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .

(Ⅰ)求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围. 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x+3|,x∈R (1)解不等式 f(x)≤5; 2 (2)若不等式 m ﹣3m<f(x) ,对?x∈R 都成立,求实数 m 的取值范围.

辽宁省抚顺市重点高中协作校 2015 届高考数学模拟试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 1. (5 分)已知集合 P={﹣2,﹣1,1,2},Q={x|x ﹣3x+2=0},则集合 P∩Q 等于() A.{﹣1,﹣2} B.{1,2} C.{﹣2,1} D.{﹣1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 Q,利用交集定义进行求解. 解答: 解:Q={x|x ﹣3x+2=0}={1, 2}, 则 P∩Q={1,2}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
2

2. (5 分)已知复数 z 满足 A.2 B . ﹣2

=i,则复数 z 的虚部是() C. 1 D.﹣1

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 解答: 解:复数 z 满足 =i,∴ = = ﹣2=﹣i﹣2,

则复数 z 的虚部是﹣1. 故选;D. 点评: 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题.

3. (5 分)某校三个年级共有 24 个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依 次为 1 到 24,现用系统抽样方法.抽取 4 个班进行调查,若抽到的最小编号为 3,则抽取最 大编号为() A.15 B.18 C.21 D.22 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义进行求解即可. 解答: 解:抽取样本间隔为 24÷6=6, 若抽到的最小编号为 3,则抽取最大编号为 3+3×6=21, 故选:C 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,求出样本间隔是解决本题的关键.

4. (5 分)若双曲线 A.

﹣ B. 2

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±x,则双曲线的离心率为() C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的渐近线方程,可得 a,b 的关系,利用 e= = 论. 解答: 解:由题意, =1 ∴双曲线的离心率 e= = = . ,即可求得结

故选:D. 点评: 本题考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.

5. (5 分)已知| |=1, =(0,2) ,且 A. B.

=

,则向量 与 夹角的大小为() C. D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 本题是一个求夹角的问题,已知条件得到两个向量的模长,利用向量的数量积的定 义,建立关于夹角的方程,即可得到夹角,注意夹角的范围. 解答: 解:由于 =(0,2) ,则| |=2, 又由| |=1,则 =1×2×cos = ,

即 cos 由于 0≤

=

, ≤π,则向量 与 夹角的大小为 ,

故选:A 点评: 本题是对向量数量积的考查,根据两个向量的夹角和模,用数量积列出式子,但是 这步工作做完以后,题目的重心转移到求角的问题.注意解题过程中角的范围. 6. (5 分)已知 3,a+2,b+4 成等比数列,1,a+1,b+1 成等差数列,则等差数列的公差为() A.4 或﹣2 B . ﹣4 或 2 C. 4 D.﹣4 考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a 和 b 的方程组,解方程组可得 a 和 b 的值,可得答案. 解答: 解:∵3,a+2,b+4 成等比数列,1,a+1,b+1 成等差数列, 2 ∴(a+2) =3(b+4) ,2(a+1)=1+b+1, 联立解得 或 ,



时,a+2=0,与 3,a+2,b+4 成等比数列矛盾,应舍去;



时,等差数列的公差为(a+1)﹣1=a=4

故选:C 点评: 本题考查等差数列和等比数列的通项公式,属基础题.

7. (5 分)设变量 x、y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+3y 的最大值为()

A.11 考点: 专题: 分析: 解答:

B.10

C. 9

D.12

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 解:作出不等式对应的平面区域(阴影部分) , , ,由图象可知当直线 y= 经过点 A 时,直线 y= 的截距

由 z=2x+3y,得 y= 平移直线 y= 最大,此时 z 最大. 由 ,解得



即 A(0,4) . 此时 z 的最大值为 z=3×4=12, 故选:D.

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用 z 的几何意义, 通过数形结合是解决本题的关键. 8. (5 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB= ,BC=2,沿 BD 将三角形 ABD 折起,连接 AC, 所得三棱锥 A﹣BCD 的主视图和俯视图如图所示,则三棱锥 A﹣BCD 左视图的面积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意可知平面 ABD⊥平面 BCD, 三棱锥 A﹣BCD 左视图为等腰直角三角形, 两条 直角边分别是过 B 和 D 向 AC 所做的垂线,做出直角边的长度,得到左视图的面积. 解答: 解:由正视图和俯视图可知平面 ABD⊥平面 BCD. 三棱锥 A﹣BCD 左视图为等腰直角三角形,两条直角边分别是过 A 和 C 向 BD 所做的垂线,

由等面积可得直角边长为

= ,

∴左视图面积为 故选:B.

=



点评: 本题考查简单几何体的三视图,根据所给的两个三视图得到直观图,这是三视图经 常考查的知识点,是一个基础题. 9. (5 分)在如图的程序中所有的输出结果之和为()

A.30

B.16

C.14

D.9

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据框图的流程依次计算输出 S 的值,直到满足条件 i>7,程序运行终止,所有的 输出结果相加可得答案. 解答: 解:由程序框图知:第一次循环 S=0+1=1,i=2+1=3,输出 S=1; 第二次循环 S=1+3=4,i=3+2=5,输出 S=4; 第三次循环 S=4+5=9,i=5+2=7,输出 S=9; 第四次循环 S=9+7=16,i=7+2=9,输出 S=16. 满足条件 i>7,程序运行终止, ∴所有的输出结果之和为 1+4+9+16=30. 故选:A. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程依次计算输出 S 的值是解答本题 的关键.

10. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+4φ) (A>0,ω>0,0<φ<

)的部分图象如图所 个单位,所

示,若将函数 f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ,再向右平移 得到的函数 g(x)的解析式为()

A.g(x)=2sinx

B.g(x)=2sin2x

C.g(x)=2sin x

D.g (x) =2sin (2x﹣



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由图象可得 A,T,可解得 ω,由图象过点 C(0,1) ,可得 sin4φ= ,结合范围 0< φ< ,解得 4φ= ,可得解析式 f(x)=2sin( x+ ) ,根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象

变换即可得解. 解答: 解:∵由图象可知,A=2, ∴T=4 ,解得 ,

,故 f(x)=2sin( x+4φ) ,

∵图象过点 C(0,1) , ∴1=2sin4φ,即 sin4φ= , ∵0<φ< ∴0<4φ ∴4φ= , ) ,若将函数 f(x)的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ,所得 ) , )+ ]=2sin , ,

故 f(x)=2sin( x+

到的函数 g(x)的解析式为 y=2sin(2x+ 再向右平移 (2x﹣ ) .

个单位,所得到的函数 g(x)的解析式为 g(x)=2sin[2(x﹣

故选:D. 点评: 本题主要考查了三角函数解析式的求法,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属 于基本知识的考查.

11. (5 分)设抛物线 y =16x 的焦点为 F,经过点 P(1,0)的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点, 且2 A.18 = ,则|AF|+4|BF|=() B.20 C.24 D.26

2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据向量关系,用坐标进行表示,求出点 A,B 的横坐标,再利用抛物线的定义,可 求|AF|+4|BF|. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∵P(1,0) ∴ ∵2 =(1﹣x2,﹣y2) , = , =(x1﹣1,y1)

∴2(1﹣x2,﹣y2)=(x1﹣1,y1) ∴x1+2x2=3,﹣2y2=y1, 2 2 2 将 A(x1,y1) ,B(x2,y2)代入抛物线 y =16x,可得 y1 =16x1,y2 =16x2, 又∵﹣2y2=y1 ∴4x2=x1 又∵x1+2x2=3 解得 x2= ,x1=2, ∵|AF|+4|BF|=x1+4+4(x2+4)=2+4+4( +4)=24. 故选:C. 点评: 本题重点考查抛物线的定义,考查向量知识的运用,解题的关键是确定点 A,B 的横 坐标.
3 2

12. (5 分)设函数 f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx,记 g(x)= 一个零点,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞,e + ]
2

,若函数 g(x)至少存在

B.(0,e + ]

2

C.(e + ,+∞]

2

D.(﹣e ﹣ ,e + ]

2

2

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;导数的综合应用. 3 2 分析: 由题意先求函数的定义域,再化简为方程 x ﹣2ex +mx﹣lnx=0 有解,则 m= =﹣x +2ex+
2

,求导求函数 m=﹣x +2ex+

2

的值域,从而得 m 的取

值范围. 3 2 解答: 解:∵f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx 的定义域为(0,+∞) ,

又∵g(x)=



∴函数 g(x)至少存在一个零点可化为 3 2 函数 f(x)=x ﹣2ex +mx﹣lnx 至少有一个零点; 3 2 即方程 x ﹣2ex +mx﹣lnx=0 有解, 则 m= =﹣x +2ex+
2



m′=﹣2x+2e+

=﹣2(x﹣e)+



故当 x∈(0,e)时,m′>0, 当 x∈(e,+∞)时,m′<0; 则 m=﹣x +2ex+
2

在(0,e)上单调递增,

在(e,+∞)上单调递减, 故 m≤﹣e +2?e?e+ =e + ; 又∵当 x+→0 时,m=﹣x +2ex+ 故 m≤e + ; 故选 A. 点评: 本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系,属于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分)若 ,则 cos2θ= .
2 2 2 2

→﹣∞,

考点: 诱导公式的作用;二倍角的余弦. 分析: 由 sin(α+ 解答: 解:由 而 故答案为:﹣ . )=cosα 及 cos2α=2cos α﹣1 解之即可. 可知, , .
2

点评: 本题考查诱导公式及二倍角公式的应用.

14. (5 分)已知 f(x)=

则 f(f(3) )= .

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由分段函数的特点,先求 f(3) ,再代入求值可得. 解答: 解:∵f(x)= ∴f(3)=log2(3﹣1)=1 ∴f(f(3) )=f(1)=2 故答案为: 点评: 本题考查函数求值,涉及分段函数,属基础题. 15. (5 分)已知{an}是公差不等于 0 的等差数列,a1=2 且 a2,a4,a8 成等比数列,若 bn= ,则数列{bn}的前 n 项和的取值范围是[ , ) .
1﹣2



=

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 设等差数列{an}是公差为 d 且 d 不为 0,由题意和等比中项的性质列出方程求出 d 的 值,代入等差数列的通项公式求出 an,再代入 bn= 化简后进行裂项,由裂项相消

法求出数列{bn}的前 n 项和,化简后由式子个特点和 n 的取值范围求出它的范围. 解答: 解:设等差数列{an}是公差为 d,且 d 不为 0, 2 由 a1=2 且 a2,a4,a8 成等比数列得, (2+3d) =(2+d) (2+7d) , 解得 d=2 或 d=0(舍去) , 所以 an=a1+(n﹣1)d=2n, 则 bn= = ( ﹣ ) ,

所以数列{bn}的前 n 项和 Sn=b1+b2+…+bn = [(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ 又 n≥1,所以 Sn≥ , 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn 的取值范围是[ , ) , 故答案为:[ , ) . 点评: 本题考查了等比中项的性质,等差数列的通项公式,数列的求和方法:裂项相消法 的应用,以及数列的函数特性. )]= [1﹣ ]< ,

16. (5 分)正三角形 ABC 的三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,点 D 是线段 BC 的中点,过 D 作球 O 的截面,则截面面积的最小值为 .

考点: 球内接多面体. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设正△ ABC 的中心为 O1,连结 O1O、O1C、O1D、OD.根据球的截面圆性质、正三 角形的性质与勾股定理,结合题中数据算出 OD= .而经过点 D 的球 O 的截面,当截面与

OD 垂直时截面圆的半径最小, 相应地截面圆的面积有最小值, 由此算出截面圆半径的最小值, 从而可得截面面积的最小值. 解答: 解:设正△ ABC 的中心为 O1,连结 O1O、O1C、O1D、OD, ∵O1 是正△ ABC 的中心,A、B、C 三点都在球面上, ∴O1O⊥平面 ABC,结合 O1C?平面 ABC,可得 O1O⊥O1C, ∵球的半径 R=2,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,得 O1O=1, ∴Rt△ O1OC 中,O1C= = . .

又∵D 为 BC 的中点,∴Rt△ O1DC 中,O1D= O1C= ∴Rt△ OO1D 中,OD= = .

∵过 D 作球 O 的截面,当截面与 OD 垂直时,截面圆的半径最小, ∴当截面与 OD 垂直时,截面圆的面积有最小值. 此时截面圆的半径 r= 故答案为: = = ,可得截面面积为 S=πr =
2



点评: 本题已知球的内接正三角形与球心的距离,求经过正三角形中点的最小截面圆的面 积.着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识,属于中档题.

三、判断题(共 8 小题,每小题 12 分,满分 70 分) 17. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边. (1)若 = ,判断△ ABC 的形状; ,△ ABC 的面积为 ,求边长 b 的值.

(2)若 a=2,B=

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由条件利用正弦定理可得 sinB=sinC,故有 B=C,可得△ ABC 为等腰三角形. (2)由△ ABC 的面积为 ,求得 c 的值,再根据余弦定理求得 b 的值. = , 可得 = , 利用正弦定理可得 = ,

解答: 解: (1) △ ABC 中, 由

∴sinB=sinC,故有 B=C,即△ ABC 为等腰三角形. (2)∵a=2,B= ,△ ABC 的面积为
2 2 2

= ac?sinB= ×2×c×sin ×

,∴c= .



再由余弦定理可得 b =a +c ﹣2ac?cosB=4+ ﹣2×2

= ,∴b=

点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,属于中档题.

18. (12 分)如图 1 所示,直角梯形 ABCD,∠ADC=90°,AB∥CD,AD=CD= AB=2,点 E 为 AC 的中点,将△ ACD 沿 AC 折起,使折起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直(如图 2) ,在 图 2 所示的几何体 D﹣ABC 中. (1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)点 F 在棱 CD 上,且满足 AD∥平面 BEF,求几何体 F﹣BCE 的体

积. 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由题意知,AC=BC=2 ,从而由勾股定理得 AC⊥BC,取 AC 中点 E,连接 DE,则 DE⊥AC,从而 ED⊥平面 ABC,由此能证明 BC⊥平面 ACD. (2) 取 DC 中点 F, 连结 EF, BF, 则 EF∥AD, 三棱锥 F﹣BCE 的高 h= BC, S△ BCE= S△ ACD, 由此能求出三棱锥 F﹣BCE 的体积. 解答: (1)证明:在图 1 中,由题意知,AC=BC=2 2 2 2 ∴AC +BC =AB ,∴AC⊥BC 取 AC 中点 E,连接 DE,则 DE⊥AC, 又平面 ADC⊥平面 ABC,



且平面 ADC∩平面 ABC=AC,DE?平面 ACD, 从而 ED⊥平面 ABC, ∴ED⊥BC 又 AC⊥BC,AC∩ED=E, ∴BC⊥平面 ACD. (2)解:取 DC 中点 F,连结 EF,BF, ∵E 是 AC 中点,∴EF∥AD, 又 EF?平面 BEF,AD?平面 BEF,∴AD∥平面 BEF, 由(1)知,BC 为三棱锥 B﹣ACD 的高, ∵三棱锥 F﹣BCE 的高 h= BC= S△ BCE= S△ ACD= ×2×2=1, 2 = ,

所以三棱锥 F﹣BCE 的体积为: VF﹣BCE= = ×1× = .

点评: 本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,是中档题,解题时要注意空 间思维能力的培养. 19. (12 分)某校 2015 届高三年级在某次模拟考试中,从全年级 400 名学生中选出 40 名学生 的数学成绩制成了平率分布直方图如图所示. (1 若成绩在 120 分以上为优秀,试估计该校 2015 届高三年级的优秀率; (2)根据频率分布直方图估计该校 2015 届高三年级的数学成绩的平均值; (3) 样本中数学成绩在[130, 140) 分的同学中男女生人数之比为 2: 1, 现从成绩在[130, 140) 分的同学中选出 2 个研究他们的失分情况,求选出的人中至少 1 名女生的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)通过频率分布直方图直接计算即可; (2)直接计算平均值即可; (3)通过频率分布直方图计算出男生 4 人,女生 2 人,利用列举法列出从 6 名学生中任取 2 名的所有情况,再找出满足条件的情况即可.

解答: 解: (1)∵成绩在 120 分以上(含 120 分)为优秀, ∴2015 届高三年级数学成绩的优秀率为 10×(0.025+0.015)=40%, ∴该校 2015 届高三年级的优秀率为 40%; (2)平均成绩为 x=0.05×95+0.2×105+0.35×115+0.25×125+0.15×135=117.5; (3)数学成绩在[130,140)分的同学的人数为 0.015×10×40=6, ∵男女生人数之比为 2:1,∴男生 4 人,女生 2 人, 女生 2 人即为 A、B,男生 4 人即为 c、d、e、f, 则从 6 名学生中任取 2 名的所有情况有 15 种,具体如下: (A、B) , (A、c) , (A、d) , (A、e) , (A、f) , (B、c) , (B、d) , (B、e) , (B、f) , (c、d) , (c、e) , (c、f) , (d、e) , (d、f) , (e、f) , 其至少 1 名女生的情况有(A、B) , (A、c) , (A、d) , (A、e) , (A、f) , (B、c) , (B、d) , (B、e) , (B、f)共 9 种情况, 故上述 6 人中选 2 人,至少一名女生的概率为 P= = .

点评: 本题考查频率分布直方图,考查列举法,考查概率的求法,注意解题方法的积累, 属于中档题.

20. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1, (a>b>0)的离心率等于

,点 P(2,

)在椭圆

上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左右顶点分别为 A,B,过点 Q(2,0)的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,是否存在定直线 l′:x=t,使得 l′与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上?若存在,求出一个 满足条件的 t 值;若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)由题意可得:

,解得即可.

(2)当 l⊥x 轴时,M ,N ,联立直线 AN、BM 的方程可得 G .猜测常数 t=8. 即存在定直线 l′:x=t,使得 l′与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上.当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为:y=k(x﹣2) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,G(8,t) .把直线方程与椭圆方程联立 可得根与系数的关系,由于 =(12,t) , =(x2+4,y2) ,利用三点共线可得 t(x2+4)﹣

12y2=0,只要证明三点 B,M,G 共线即可.利用向量的坐标运算及其根与系数的关系即可证 明.

解答: 解: (1)∵椭圆 C: 圆上.

+

=1, (a>b>0)的离心率等于

,点 P(2,

)在椭



,解得 a =16,b =4,c=

2

2

.∴椭圆 C 的方程为



(2)当 l⊥x 轴时,M ,

,N .

,直线 AN、BM 的方程分别为

分别化为: =0, =0. 联立解得 G . 猜测常数 t=8. 即存在定直线 l′:x=t,使得 l′与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上. 证明:当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为:y=k(x﹣2) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,G(8, t) . 联立 ,化为(1+4k )x ﹣16k x+16k ﹣16=0.
2 2 2 2









=(12,t) ,

=(x2+4,y2) ,三点 A,N,G 共线. =

∴t(x2+4)﹣12y2=0,∴

由于

=(4,t) ,

=(x1﹣4,y1) ,要证明三点 B,M,G 共线. ﹣4k(x1﹣2)=0,

即证明 t(x1﹣4)﹣4y1=0.即证明 而 3(x2﹣2) (x1﹣4)﹣(x1﹣2) (x2+4)=2x1x2﹣10(x1+x2) +32= =0,



﹣4k(x1﹣2)=0 成立.

∴存在定直线 l′:x=8,使得 l′与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上. 综上可知:存在定直线 l′:x=8,使得 l′与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根 与系数的关系、向量的坐标运算、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

21. (12 分)已知函数 f(x)=(k+ )lnx+

,其中常数 k>0.

(1)当 k=1 时,求 f(x)在定义域上的单调区间; (2)若 k∈[4,+∞) ,曲线 y=f(x)上总存在相异两点 M(x1,y1) ,N(x2,y2)使得曲线 y=f (x)在 M,N 两点的切线互相平行,求 x1+x2 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)当 k=1 时,f(x)=5lnx+ ,x∈(0,+∞) ,则 f′(x)= ﹣ ﹣

1=

,分别解出 f′(x)<0,f′(x)>0,即可得出单调区间. ﹣ ﹣1.由题意可得: x1x2,而 (x1,x2>0, ,因此 x1+x2> 对

(2)f′(x)=

且 x1≠x2) .化为:4(x1+x2)=

k∈[4,+∞)都成立,令 g(k)= 得出.

,k∈[4,+∞) ,利用导数研究其单调性极值与最值即可

解答: 解: (1)当 k=1 时,f(x)=5lnx+

,x∈(0,+∞) ,

则 f′(x)= ﹣

﹣1=



当 0<x<1 或 x>4 时,f′(x)<0;当 1<x<4 时,f′(x)>0. ∴函数 f(x)的单调递减区间为(0,1) , (4,+∞) ,单调递减区间为(1,4) . (2)f′(x)= 由题意可得: ﹣ ﹣1. (x1,x2>0,且 x1≠x2) .





﹣1=



﹣1,

化为:4(x1+x2)= ∴4(x1+x2)<

x1x2,而 ,



化为 x1+x2>

对 k∈[4,+∞)都成立,

令 g(k)= g′(k)=1﹣

,k∈[4,+∞) , >0,对 k∈[4,+∞)恒成立,

∴g(k)≥g(4)=5, ∴ ,

∴x1+x2>

,即 x1+x2 的取值范围是



点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、基本不 等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 22. (10 分)如图,△ ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E, 点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M. (1)求证:O、B、D、E 四点共圆; 2 (2)求证:2DE =DM?AC+DM?AB.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 证明题;直线与圆. 分析: (1)连接 BE、OE,由直径所对的圆周角为直角,得到 BE⊥EC,从而得出 DE=BD= ,由此证出△ ODE≌△ODB,得∠OED=∠OBD=90°,利用圆内接四边形形的判

定定理得到 O、B、D、E 四点共圆; 2 (2) 延长 DO 交圆 O 于点 H, 由 (1) 的结论证出 DE 为圆 O 的切线, 从而得出 DE =DM?DH, 再将 DH 分解为 DO+OH,并利用 OH= 和 DO= ,化简即可得到等式 2DE =DM?AC+DM?AB 成立.
2

解答: 解: (1)连接 BE、OE,则 ∵AB 为圆 0 的直径,∴∠AEB=90°,得 BE⊥EC, 又∵D 是 BC 的中点, ∴ED 是 Rt△ BEC 的中线,可得 DE=BD. 又∵OE=OB,OD=OD,∴△ODE≌△ODB. 可得∠OED=∠OBD=90°,

因此,O、B、D、E 四点共圆; (2)延长 DO 交圆 O 于点 H, ∵DE⊥OE,OE 是半径,∴DE 为圆 O 的切线. 2 可得 DE =DM?DH=DM?(DO+OH)=DM?DO+DM?OH. ∵OH= ∴ ,OD 为△ ABC 的中位线,得 DO= ,
2

,化简得 2DE =DM?AC+DM?AB.

点评: 本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判 定与性质等知识,属于中档题. 23.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2acosθ(a≠0) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴 建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .

(Ⅰ)求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 2 2 2 分析: (Ⅰ)根据 ρ =x +y ,x=ρcosθ,y=ρsinθ 把圆 C 的极坐标方程,由消元法把直线 l 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)根据直线 l 与圆 C 有公共点的几何条件,建立关于 a 的不等式关系,解之即可.

解答: 解: (Ⅰ)由

得,

,则



∴直线 l 的普通方程为:4x﹣3y+5=0,…(2 分) 2 由 ρ=2acosθ 得,ρ =2aρcosθ 2 2 2 又∵ρ =x +y ,ρcosθ=x 2 2 2 ∴圆 C 的标准方程为(x﹣a) +y =a ,…(5 分) (Ⅱ)∵直线 l 与圆 C 恒有公共点,∴ 两边平方得 9a ﹣40a﹣25≥0,∴(9a+5) (a﹣5)≥0 ∴a 的取值范围是 .…(10 分)
2

,…(7 分)

点评: 本题主要考查学生会将曲线的极坐标方程及直线的参数方程转化为普通方程,运用 几何法解决直线和圆的方程的问题,属于基础题. 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x+3|,x∈R (1)解不等式 f(x)≤5; 2 (2)若不等式 m ﹣3m<f(x) ,对?x∈R 都成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;全称命题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)运用零点分区间的方法,讨论 x<﹣3,﹣3≤x≤1,x>1 去掉绝对值,解不等式, 再求并集即可; (2)运用绝对值不等式的性质,可得 f(x)的最小值为 4,再由不等式恒成立思想可得二次 不等式,解得即可. 解答: 解: (1)原不等式等价为 或 或 ,

可得﹣ ≤x<﹣3 或﹣3≤x≤1 或 1<x≤ , 则原不等式的解集为[﹣ , ]; (2)由于 f(x)=|x﹣1|+|x+3|≥|(x﹣1)﹣(x+3)|=4, 则 f(x)的最小值为 4, 由题意可得 m ﹣3m<f(x)min, 2 即有 m ﹣3m<4, 解得﹣1<m<4. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,主要考查分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性 质,考查运算能力,属于中档题和易错题.
2


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