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双曲线及标准方程导学案


2.2.1 双曲线及其标准方程学案
【学习目标】了解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程,会利用定义和标准方程解决一些简单的问题. 【自主学习】 (阅读选修 1-1P45~48 ,完成如下问题) 一、双曲线的定义与标准方程: 1. 双曲线的定义:平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数(小于 F1 F2 )的动点的轨迹叫 MF1 ? MF2 ? 2a ,这两个定点叫做双曲线的 ,两焦点间的距离叫做 。 (1)将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么? 例如|MF1|-|MF2|=2a,表示哪支呢? 而|MF2|-|MF1|=2a 呢? (2)将定义中的常数令为零,动点轨迹是什么? (3)将定义中的“小于”换为“等于”,动点轨迹是什么? (4)将定义中的“小于”换为“大于”,动点轨迹是什么? 2.双曲线的标准方程: 类似于椭圆求标准方程,推导双曲线标准方程的过程就是求曲线方程的过程,可根据求动点轨迹方程的步 骤,求出双曲线的标准方程 y 过程如下: (1)建系设点; (2)列式; (3)变换; (4)化简; P 1)以 、 为 轴, 以 为 轴, 建立直角坐标系 XOY 如下图)则 F1、2、 的坐标分别是 F1 ( , F O 、2 F 、 O 。 x F1 A1 O A2 F2 2)、设 M(x,y)是双曲线上的任意一点,
王新敞
奎屯 新疆

二、尝试应用: 1、填空:
2 2 1) 、已知: x ? y ? 1 求:a=_

,b= ,b=_

,c=_ ,c=_

,焦点坐标是 , 焦点坐标是

; 。

9

16

,即

2 2 2) 、已知: y ? x ? 1 求:a=_

144

25

2、 学习例 2 已知双曲线两个焦点的坐标为 F1 (?5,0),F2 (5,0) , 双曲线上一点 P 到 F1 , F2 的距离之差的绝对值等于 6, 求双曲线标准方程。 解:因为双曲线的焦点在 ∵ 2a ? ,c ? ∴a ? ,∴ b 2 ?
2

轴上,所以设它的标准方程为



?

2

?

=



∴所求双曲线标准方程为 三、课堂练习,即时反馈:
1、求适合下列条件的双曲线的标准方程。 1) 焦点在在 x 轴上, a ? 4, b ? 3 ; 2) 、 、焦点在在 y 轴上, a ? 3, c ? 5 ;3)、焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5);

由双曲线的定义有: MF1 ? 由两点距离公式有: MF1 =

=

, (*) , MF2 = ; , ,

由(*)式得: 化简得到焦点在 X 轴上的双曲线的标准方程为: 其中焦点坐标为 ; 类似的得到焦点在 Y 轴上的双曲线的标准方程为: 其中焦点坐标为 。 3.双曲线的标准方程的特点: (1)焦点在 x 轴上时,双曲线的标准方程为: 焦点在 y 轴上时,双曲线的标准方程为: 标准方程左边的两项用 (2) a, b, c 的关系:

; 。

2、已知 A(2,-3) ,B(-4,-3) ,动点 P 满足|PA|-|PB|=6,则 P 点轨迹分别是( ) A)双曲线 B)两条射线 C)双曲线的一支 D)一条射线

号连接,这点与椭圆有什么不同? ,而椭圆标准方程中 a, b, c 的关系是:
2


2

3、设双曲线 A)7

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到一焦点 (5,0) 的距离为 15,则 P 点到另一焦点 (?5,0) 的距离是( 16 9



B)23

C)5 或 23

D)7 或 23

王新敞
奎屯

新疆

4.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 x 、 y 项的分母的大小来确定,
4、双曲线

分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置,即 x 项
2
王新敞
奎屯 新疆

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点为(2,0) ,则 m=( m 3? m
B)1 或 3 C)



的系数是正的,那么焦点在

轴上; y 2 项的系数是正的,那么焦点在

轴上。

A)

1 2

1? 2 2 ?1 D) 2 2

5.归纳椭圆和双曲线的联系和区别:《自主学习》 ( )
第 页共 3 页 1

拼一分高一分,一分成就终生;

做一题会一题,一题决定命运。

5.k>9 是方程 + =1 表示双曲线的( ) 9-k k-4 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

x2

y2

14.已知双曲线

x2 y2 ? ? ? 1 的左.右焦点分别为 F1 . F2 ,若双曲线上一点 P 使得 ?F1 PF2 ? 90 ,求 ?F1PF2 的面积. 9 16

? ? 若把本例中的“ ?F1 PF2 ? 90 ”改为“ ?F1 PF2 ? 60 ”,求 ?F PF2 的面积. 1

2 2 .6、 (2010 安徽卷理 5)双曲线方程为 x ? 2 y ? 1,则它的右焦点坐标为(

? 2 ? ? ? 2 ,0? ? ? A. ?

? 5 ? ? ? 2 ,0? ? ? B. ?
x2 y2

? 6 ? ? ? 2 ,0? ? ? C. ?
)

D.

?

3,0

?

7;(2008 年高考宁夏卷)双曲线 - =1 的焦距为( 10 2

A.3 2 B.4 2 C.3 3 D.4 3 8.双曲线的两焦点坐标是 F1(3,0),F2(-3,0),2b=4,则双曲线的标准方程是( ) x2 y2 y2 x2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 5 4 5 4 3 2 9 16 9.已知双曲线的焦点在 x 轴上,且 a+c=9,b=3,则它的标准方程是________. 2 2 10.P 是双曲线 x -y =16 的左支上一点,F1,F2 分别是它的左,右焦点,则|PF1|-|PF2|=________ 11; 若方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 m 的取值范围为 m ?1 m ? 2
15.已知方程 + =1 表示的图形是:(1)双曲线;(2)椭圆;(3)圆.试分别求出 k 的取值范围. 2-k k-1

x2

y2

12:在△ABC 中,已知 | AB |? 4 2 ,且三内角 A,B,C 满足 2sin A ? sin C ? 2sin B ,建立适当的坐标系,求定点 C 的轨迹方 程,并指明它表示什么曲线.

16.设双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点且与椭圆相交,在第一象限的交点 A 的纵坐标为 4,求此双曲线的方程. 27 36

x2

y2

13:已知圆 C1 : ( x ? 3) ? y ?
2 2

9 2 2 和圆 C2 : ( x ? 3) ? y ? 9 ,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C 2 相外切,求动圆圆心的轨迹方程. 4



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