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函数零点与函数图像问题


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函数图像与函数零点问题
函数图象是研究函数性质的直观工具,高考对函数图象的考查主要体现在以下几个方面: ①给出或由条件求出函数的解析式,判断函数的图象; ②给出函数的图象求解析式; ③给出含有参数的解析式和图象,求参数的值或范围; ④考查函数图的平移、对称和翻折; ⑤和数形结合有关问题等,特别是讨论方程的解的个数及解不等式等.同时考查基本数学思想方法的 运用及分析问题、解决问题的能力,试题设计新颖,体现了课改的方向. 函数零点问题可看作函数图像的衍生与升华,研究此类问题除二分法外,多采用数形结合法,把方程 问题,解得问题直观的转化为两函数图像的交点问题,所以更要准确把握各类函数的性质特征,画出函数 简图,准确找到交点所处的位置。

重难点突破:
一、研究一个函数图象可从如下几个方面来考查: (1)函数图象的范围,即定义域和值域; (2)函数图象的最高点、最低点和极点; (3)函数图象的变化趋势,即单调性、对称性和周期性; (4)函数过定点或渐近线等关键特征. 熟练处理函数图象题的途径: A)平时要牢记一些基本初等函数如:一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等图象; B)对于一些简单的函数可通过列表、描点作图; C)对于一些复合函数可利用基本初等函数通过平移、对称和伸缩三大变换来作出我们所求的函数. 二.函数零点的理解 函数 y ? f ( x) 的零点、方程 f ( x) ? 0 的根、函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交点的横坐标,实质是同一个问 题的三种不同表达形式,方程 f ( x) ? 0 根的个数就是函数 y ? f ( x) 的零点的个数,亦即函数 y ? f ( x) 的 图像与 x 轴交点的个数变号零点与不变号零点

x (1)若函数 f ( x) 在零点 0 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 f ( x) 的变号零点 x (2)若函数 f ( x) 在零点 0 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数 f ( x) 的不变号零点
(3) 若函数 f ( x) 在区间 [a,b] 上的图象是一条连续的曲线, 则 f (a) ? f (b) ? 0 是 f ( x) 在区间 (a,b) 内 有零点的充分不必要条件。 三.用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题 (1)曲线交点坐标即为方程组的解,从而转化为求方程的根 (2)求曲线 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的交点的横坐标,实际上就是求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点,即求方 程 f ( x) ? g ( x) ? 0 的根。 传贤集团·精品学堂

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四.关于用二分法求函数 y ? f ( x) 的零点近似值的步骤须注意的问题: (1)第一步中要使:①区间长度尽量小;② f (a)、f (b) 的值比较容易计算且

f (a) ? f (b) ? 0 ;
( 2 )根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程

f ( x) ? g ( x) 的根,可以构造函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,函数 F ( x) 的零点即方程 f ( x) ? g ( x) 的根。

五.二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的分布有关的结论:
2

①方程 f ( x) ? 0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? af (r ) ? 0 ②二次方程 f ( x) ? 0 的两根都大于 r

?Δ ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? b ? ?? ? r, ? 2a ?a ? f (r ) ? 0. ?
③二次方程 f ( x) ? 0 在区间(p,q)内有两根

?Δ ? b 2 ? 4ac ? 0, ? b ? ? q, ?p ? ? ?? 2a ?a ? f (q) ? 0, ? ? ?a ? f ( p) ? 0.
④二次方程 f ( x) ? 0 在区间(p,q)内只有一根 ? f ( p) ? f (q) ? 0 ,或 f ( p) ? 0 ,另一根在(p,q) 内或 f (q) ? 0 ,另一根在(p,q)内. ⑤方程 f ( x) ? 0 的两根中一根大于 p,另一根小于 q(p<q) ? ?

?af ( p) ? 0 ?af (q) ? 0

典例分析:
例 1、下列函数中不能用二分法求零点的是( C ) 传贤集团·精品学堂

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A. f ?x ? ? 3x ? 1

B. f ? x ? ? x 3

C. f ?x? ? x

D. f ?x ? ? ln x

例 2、设函数 f ( x) ? ( ) ? x 3 的零点 x0 ? (
x

1 2

1

1 1 , )( n ? N * ) ,则 n ? n ?1 n

.2

变式: 若函数 f ( x) ? x3 ? ax ( a ? 0 )的零点都在区间[-10,10]上,则使得方程 f ( x) ? 1000 有正整数解的实 数 a 的取值个数为 A. 1 ( C B. 2 )x==11,x=12,x=13, C. 3 D. 4

例 3: 求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的零点.
3 2

变式:若函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点是________.

例 4: 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数.

变式 1: (福建)函数 ( f x)= ? A.0 B.1

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0
C.2

的零点个数为 ( D.3

)

变式 2:方程 2

?x

? x 2 ? 3 的实数解的个数为 _______。

例 5: (广东)已知 a 是实数,函数 f ?x? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点,求
2

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a 的取值范围。

变式 1 :若对于任意 a ?[?1, 1] ,函数 f ( x) ? x2 ? ( a ? 4) x ? 4 ? 2a的值恒大于零 , 是 。

则 x 的取值范围

变式 2:关于 x 的方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根 值范围 。

x 、 x 满足 x1 ? 3 ? x2 ,则实数 m 的取
1 2

2

变式 3: (浙江五校联考)函数 ( A. )

f ? x ? ? mx2 ? 2x ?1

有且仅有一个正实数的零点,则实数 m 的取值范围是

? ??,1?
x

B.

? ??,0? ?1?

C.

? ??,0? ?0,1?

D.

? ??,1?

变式 4:关于 x 的方程 4 ? 2 a ? a ? 1 ? 0 有实数根,求 a 的取值范围。
x

例 6 、设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且当 x ? [?2, 0] 时,

1 f ( x) ? ( ) x ? 1 。若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga ( x ? 2) (a ? 1) 在区间 ? ?2,6? 恰有 3 个不同的零点,则 a 的取 2
值范围是

( 3 4, 2)

2 变式 1:若偶函数 y ? f ( x) ( x ? R ) 满足 f (1 ? x ) ? f (1 ? x ) ,且当 x ? [?1,0] 时, f ( x) ? x ,则函数

g ( x) ? f ( x) ? lg x 的零点个数为

个.10

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x ( x ? 0) ? ?2 f ( x ) ? 变式 2:设函数 ,函数 y ? f ? f ( x)? ? 1 的零点个数为 ? ? ?log 2 x ( x ? 0)

个.

【答案】2
变式 3:设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ?

? ? lg x ? 1 ? ? 0

x ?1 x ?1

,则关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 7 个不

同实数解的充要条件是( A、 b ? 0, c ? 0

) C、 b ? 0, c ? 0 D、 b ? 0, c ? 0

B、 b ? 0, c ? 0

? 1 ( x ? 1) ? 2 例 7、设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? | x ? 1 | ,若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有三个不同 ? ( x ? 1) ?1
2 2 ? __________. 的实数解 x1 , x 2 , x3 ,则 x12 ? x2 ? x3

【答案】5

变式 1、已知函数

?| lg x | f ( x) ? ? ?? x ? 12

0 ? x ? 10 ,是否存在实数 k 使得方程 kf 2 ( x) ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 有 5 x ? 10

个实数根,若存在求出 k 的取值范围;若不存在说明理由。

变式 2、关于 x 的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列 4 个命题:
2 2 2

①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根;

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③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根; 其中假命题是

?m(1? | x |), x ? ?? 1,1? x ? 变式 3、已知以 4 为周期的函数 f ( x ) ? ? 其中 m ? 0 ,若方程 f ( x) ? 恰有 ?x 3 ? cos , x ? ?1,3? ? 2 ?
5 个实数解,则 m 的取值范围为( )

4 ( A) ( , ??) 3
【答案】C

4 ( B) [ , ??) 3

? 4 8? (C ) ? , ? ? 3 3?

4 8 ( D) [ , ] . 3 3

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