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2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(一)正弦定理苏教版必修5

课时跟踪检测(一) 正弦定理

层级一 学业水平达标

1.在△ABC 中,a=5,b=3,则 sin A∶sin B 的值是( )

A.53

B.35

C.37

D.57

sin A a 5 解析:选 A 根据正弦定理得sin B=b=3.

2.在△ABC 中,下列关系式中一定成立的是( )

A.a>bsin A

B.a=bsin A

C.a<bsin A

D.a≥bsin A

解析:选 D 由正弦定理sian A=sibn B,得 a=bssiinn BA.

在△ABC 中,∵0<sin B≤1,

∴si1n B≥1,a≥bsin A.

3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=2,b=2 3,A=30°,则

角 B 等于( )

A.60°或 120°

B.30°或 150°

C.60°

D.120°

解析:选 A

∵sina

A=sibn

B ,

∴sin

B=bsian

A2 =

3sin 30° 3

2

=2,

∴B=60°或 B=120°.故选 A.

4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a= 3bsin A,则 sin B=( )

A. 3

3 B. 3

6 C. 3

6 D.- 3

解析:选 B 由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以 sin A= 3sin Bsin A,故

sin

B=

3 3.

5.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.根据下列条件解三角形,其中

有两解的是( )

A.a=30,b=50,A=36° B.a=50,b=30,A=36° C.a=30,b=60,A=30° D.a=30,B=20°,A=136° 解析:选 A 对于 A,bsin A<50×35=30=a<b,可知这样的三角形有两个.对于 B,a>b, 这样的三角形只有一个.对于 C,bsin A=60×12=30=a,这样的三角形只有一个.对于 D, ∵A=136°,∴△ABC 为钝角三角形,∵B=20°,A=136°,∴C=24°,∴这样的三角形是 唯一的. 6.在△ABC 中,若 b=5,B=π4 ,sin A=13,则 a=______.

a 解析:由正弦定理得sin

b A=sin

B,又

b=5,B=π4

,sin

A=13,所以a13=si5nπ4

,a=5

3

2 .

答案:5 3 2 7.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 sin B=________.

a 解析:根据正弦定理sin

b A=sin

B,可得sin1560°=si1n0 B,解得 sin

B=

33.

答案:

3 3

8.已知△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=c= 6+ 2且 A=75°,则 b =________.
解析:sin A=sin 75°=sin (30°+45°)=sin 30°cos 45°+sin 45°·cos 30°

2+ 6 =4,

由 a=c= 6+ 2,可知,C=75°, 所以 B=30°,sin B=12,

由正弦定理得 b=sian A·sin B=

2+ 2+

61 6×2=2.

4

答案:2

9.在△ABC 中,已知 b=6 3,c=6,C=30°,求 a.

b

c

解:由正弦定理得sin B=sin C,

所以 sin B=bsicn C= 23,

因为 b>c,所以 B>C=30°.

所以 B=60°或 B=120°.

当 B=60°时,A=90°,



a=cssiinn

A C =12.

当 B=120°时,A=30°,

则 a=c=6.

所以 a=6 或 a=12.

10.在△ABC 中,已知 a=2 2,A=30°,B=45°,解三角形.

a

b

c

解:∵sin A=sin B=sin C,

2

∴b=assiinn AB=2 s2isnin304°5°=2

2× 2 1 =4.

2

∴C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,

∴c=assiinn

C2 A=

2sin 105° 2 sin 30° =

2sin 75° 1

2

=4 2sin(30°+45°)

=2+2 3. 层级二 应试能力达标
1.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin

C-cos C)=0,a=2,c= 2,则 C=( )

A.π12

B.π6

C.π4

D.π3

解析:选 B 因为 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,

所以 sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0,

所以 sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,整理得 sin C(sin A+cos

A)=0.因为 sin C≠0,

所以 sin A+cos A=0,所以 tan A=-1,

因为 A∈(0,π ),所以 A=34π ,由正弦定理得 sin C=c·sain A=

2× 2

2 2 =12,又

0<C

<π4 ,所以 C=π6 .

2.已知 a,b,c 分别是△ABC 的内角 A,B,C 的对边,若△ABC 的周长为 4( 2+1),且

sin B+sin C= 2sin A,则 a=( )

A. 2

B.2

C.4

D.2 2

解析:选 C 根据正弦定理,sin B+sin C= 2sin A 可化为 b+c= 2a,

∵△ABC 的周长为 4( 2+1),

?a+b+c=4? 2+1?, ∴?
?b+c= 2a,

解得 a=4.故选 C.

3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=( 3,-1),n=(cos A,

sin A),若 m⊥n,且 acos B+bcos A=csin C,则角 A,B 的大小分别为( )

A.π6 ,π3

B.2π3 ,π6

C.π3 ,π6

D.π3 ,π3

解析:选 C 因为 m⊥n,所以 3cos A-sin A=0, 所以 tan A= 3,则 A=π3 . 由正弦定理,得 sin Acos B+sin B·cos A=sin2C, 所以 sin(A+B)=sin2C,所以 sin C=sin2C. 因为 0<C<π ,所以 sin C≠0,所以 sin C=1, 所以 C=π2 ,B=π6 . 4.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=2B,则ab的取值范围 是________.

?? B<90°,

解析:在锐角三角形 ABC 中,A,B,C 都为锐角,由题意,知?2B<90°,



??180°-3B<90°,

以 30°<B<45°.由正弦定理,知ab=ssiinn AB=ssiinn 2BB=2cos B∈(

2,

a 3),故b的取值范围是

( 2, 3).

答案:( 2, 3)

5.若 A=60°,a=2

3,则sin

a+2b+3c A+2sin B+3sin

C=______.

解析:由正弦定理sian A=sibn B=sicn C得

a+2b+3c

a 23

sin A+2sin B+3sin C=sin A=

=4. 3

2

答案:4 6.设△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 acos B-bcos A=35c,

则ttaann

A B=________.

解析:已知 acos B-bcos A=35c,由正弦定理,得 sin Acos B-sin Bcos A=35sin C,

sin Acos B-cos Asin B=35(sin Acos B+cos Asin B),所以 2sin Acos B=8cos Asin B,

即ttaann

A B=4.

答案:4 7.在△ABC 中,已知 a,b,c 分别是 A,B,C 的对边.若 B=A+60°,b=2a,求角 A

的大小. 解:因为 B=A+60°,

所以 sin

B=sin(A+60°)=12sin

A+

3 2 cos

A.①

又 b=2a,所以 2Rsin B=4Rsin A, 所以 sin B=2sin A.②

由①②得 2sin A=12sin A+ 23cos A,

即 3sin A= 3cos A,

所以 tan A= 33.

又 0°<A<180°,所以 A=30°.

8.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 asin C= 3ccos A. (1)求 A 的大小;

(2)若 b=2,且π4 ≤B≤π3 ,求 c 的取值范围.

a

c

解:(1)由题意得 3cos A=sin C.

sin A sin C 由正弦定理,得 3cos A=sin C=1.

∴tan A= 3.

∵A∈(0,π ),∴A=π3 .

(2)∵b=2,A=π3 ,∴在△ABC 中,

b

c

由正弦定理sin B=sin C,

得 c=bssiinn BC=2ssiinn BC=2sins???i2nπ3 B-B???=

3cos sin B

B+1

=tan3 B+1.

∵π4 ≤B≤π3 ,∴1≤tan B≤ 3,∴2≤c≤ 3+1,

即 c 的取值范围为[2, 3+1].



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