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湖北省黄冈市黄梅一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


湖北省黄冈市黄梅一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)若复数 A.﹣6 (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为() B.13 C. D.

2. (5 分)计算机执行如图的程序段后,输出的结果是()

A.1,3

B.4,1

C.0,0

D.6,0

3. (5 分)已知 x,y 之间的数据如表所示,则回归直线过点() x 1 2 3 4 5 y 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8 A.(0,0) B.(2,1.8) C.(3,2.5) D.(4,3.2)

4. (5 分)观察如图各图形:其中两个变量 x、y 具有相关关系的图是()

A.①②

B.①④

C.③④

D.②③

5. (5 分)抛掷一枚质地均匀的骰子,落地后记事件 A 为“奇数点向上”,事件 B 为“偶数点向 上”,事件 C 为“3 点或 6 点向上”,事件 D 为“4 点或 6 点向上”.则下列各对事件中是互斥但不 对立的是()

A.A 与 B

B. B 与 C

C. C 与 D

D.A 与 D
*

6. (5 分) 如图所示, 将若干个点摆成三角形图案, 每条边 (包括两个端点) 有n (n>1, n∈N ) 个点,相应的图案中总的点数记为 an,则 =()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则()

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 C. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 8. (5 分)如图是计算 t=1 ×2 ×…×i 的程序,程序中循环体执行的次数为()
2 2 2

A.3

B. 4

C. 5

D.6
2 2

9. (5 分)已知 k∈,则 k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x +y +kx﹣2y﹣ k=0 相切的概率等于() A. B. C. D.

10. (5 分)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0 与圆(x﹣1) +(y﹣1) =1 相切, 则 mn 的取值范围是() A. B. (﹣∞,3﹣2 ]∪ D. (﹣∞,1﹣ ]∪上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率为 ,m=.

2

2

14. (5 分)因乙肝疫苗事件,需要对某种疫苗进行检测,现从 800 支中抽取 60 支进行检验, 利用随机数表抽取样本时,先将 800 支按 000,001,…,799 进行编号,如果从随机数表第 7 行第 10 列的数开始向右读,则得到的第 6 个样本个体的编号是(下面摘取了随机数表第 7 行 至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 42 45 76 72 76 33 50 25 83 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54. 15. (5 分)如图,给出的是计算 的条件是. 的值的一个程序框图,则判断框内应填入

16. (5 分)若数列{an}的通项公式

,记 f(n)=(1﹣a1) (1﹣a2)…

(1﹣an) ,试通过计算 f(1) ,f(2) ,f(3)的值,推测出 f(n)=. 17. (5 分)如果函数 y=|x|﹣2 的图象与曲线 C:x +y =λ 恰好有两个不同的公共点,则实数 λ 的取值范围为.
2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)某市对排污水进行综合治理,征收污水处理费,系统对各厂一个月内排出的污水 量 x 吨收取的污水处理费 y 元,运行程序如图所示: (Ⅰ)写出 y 与 x 的函数关系;

(Ⅱ)求排放污水 120 吨的污水处理费 用.

19. (13 分)

,先分别求 f(0)+f(1) ,f(﹣1)+f(2) ,f(﹣2)+f(3) ,

然后归纳猜想一般性结论,并给出证明. 20. (13 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+4b ,a,b∈R,若 a 从集合{3,4,5}中任取一个元素, b 从集合{1,2,3}中任取一个元素,代入 f(x)中形成函数. (1)试列出所有的 a 与 b 的组合; (2)求方程 f(x)=0 有两个不相等实根的概率. 21. (13 分)从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,据测量被测学生身 高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组;第一组 = =2.5
2 2

∴这组数据的样本中心点是(3,2.5) 根据线性回归方程一定过样本中心点得到 线性回归方程 y=a+bx 所表示的直线必经过点(3,2.5) 故选:C. 点评: 本题考查线性回归方程的性质,本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本 中心点,线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据,本题是一个基础题. 4. (5 分)观察如图各图形:其中两个变量 x、y 具有相关关系的图是()

A.①②

B.①④

C.③④

D.②③

考点: 散点图. 专题: 作图题. 分析: 由两个变量 x、 y 具有相关关系的定义只要看图形中哪些点分布在一条直线附近即可. 解答: 解:相关关系有两种情况:所有点看上去都在一条直线附近波动,是线性相关;若 所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动,是非线性相关.①②是不相关的, 而③④是相关的. 故选 C 点评: 本题考查由散点图反应两个变量的相关关系,考查识图能力. 5. (5 分)抛掷一枚质地均匀的骰子,落地后记事件 A 为“奇数点向上”,事件 B 为“偶数点向 上”,事件 C 为“3 点或 6 点向上”,事件 D 为“4 点或 6 点向上”.则下列各对事件中是互斥但不 对立的是() A.A 与 B B. B 与 C C. C 与 D D.A 与 D 考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件,利用定义子集关系判断即 可. 解答: 解:∵记事件 A 为“奇数点向上”,事件 B 为“偶数点向上”,事件 C 为“3 点或 6 点向 上”,事件 D 为“4 点或 6 点向上”. ∴事件 A、B 既是互斥事件也是对立事件;即 A 不正确. B 与 C,C 与 D 是可以同时发生,不是互斥事件.即 B、C 不正确. A 与 D 是互斥事件,但不是对立事件,故 D 正确, 故选:D. 点评: 本题主要考查对立事件和互斥事件的关系,不可能同时发生的两个事件叫做互斥事 件,也叫互不相容事件,其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件. 6. (5 分) 如图所示, 将若干个点摆成三角形图案, 每条边 (包括两个端点) 有n (n>1, n∈N ) 个点,相应的图案中总的点数记为 an,则 =()
*

A.

B.

C.

D.

考点: 归纳推理;数列的求和. 专题: 规律型.

分析: 根据图象的规律可得出通项公式 an, 根据数列{

}的特点可用列项法求其前 n

项和的公式,而

是前 2011 项的和,代入前 n 项和公式

即可得到答案. 解答: 解:每个边有 n 个点,把每个边的点数相加得 3n,这样角上的点数被重复计算了一 次,故第 n 个图形的点数为 3n﹣3,即 an=3n﹣3. 令 Sn= +…+ ∴ ﹣ = = = + + …+ =1﹣ + ﹣

故选 B. 点评: 本题主要考查简单的和清推理,求等差数列的通项公式和用裂项法对数列进行求和 问题,同时考查了计算能力,属中档题. 7. (5 分)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,则()

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 C. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数和方差,然后进行比较,从而可得到结论. 解答: 解:由图象可得 s
2


; ; ,



=

故选 B. 点评: 本题主要考查了由条形统计图计算比较数据的平均数及其方差公式,考查了计算能 力,属于基础题. 8. (5 分)如图是计算 t=1 ×2 ×…×i 的程序,程序中循环体执行的次数为()
2 2 2

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 伪代码. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序依次写出每次循环得到的 i,t 的值,当 t=576 时第 4 次执行循环体,满足条 件 t>100,退出执行循环体. 解答: 解:执行程序,有 i=0,t=1 第 1 次执行循环体,i=1,t=1 第 2 次执行循环体,i=2,t=4 第 3 次执行循环体,i=3,t=4×9=36 第 4 次执行循环体,i=4,t=36×16=576 满足条件 t>100,退出执行循环体,输出 t 的值 故选:B. 点评: 本题主要考察了程序框图和伪代码,属于基础题. 9. (5 分)已知 k∈,则 k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x +y +kx﹣2y﹣ k=0 相切的概率等于() A. B. C. D.
2 2

考点: 几何概型;直线与圆的位置关系. 专题: 概率与统计. 分析: 把圆的方程化为标准方程后,根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于 0,列出关 于 k 的不等式,求出不等式的解集,然后由过已知点总可以作圆的两条切线,得到点在圆外, 故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式, 让其大于 0 列出关于 k 的不等式, 求出不等式 的解集,综上,求出两解集的并集即为实数 k 的取值范围.最后利用几何概型的计算公式求解 即得. 解答: 解:把圆的方程化为标准方程得: (x+ k) +(y﹣1) = k + k+1, 所以 k + +1>0,解得:k>﹣1 或 k<﹣4, 又点(1,1)应在已知圆的外部,
2 2 2 2

把点代入圆方程得:1+1+k﹣2﹣1.25k>0,解得:k<0, 则实数 k 的取值范围是(﹣∞,﹣4)∪(﹣1,0) . 任取 k∈, 2 2 则 k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆 x +y +kx﹣2y﹣1.25k=0 相切的概率为 P= ,

故选:A. 点评: 此题考查了几何概型,点与圆的位置关系,二元二次方程为圆的条件及一元二次不 等式的解法. 理解过已知点总利用作圆的两条切线, 得到把点坐标代入圆方程其值大于 0 是解 本题的关键. 10. (5 分)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y﹣2=0 与圆(x﹣1) +(y﹣1) =1 相切, 则 mn 的取值范围是() A. B. (﹣∞,3﹣2 ]∪ D. (﹣∞,1﹣ ]∪ 整理得:m+n+1=mn, 2 2 ∴(m+n) =(mn﹣1) ≥4mn, 2 设 mn=x,则有 x ﹣6x+1≥0, 解得:x≥3+2 或 x≤3﹣2 , 则 mn 的取值范围为(﹣∞,3+2 ]∪上随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率为 ,m=3.
2 2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 根据区间的长度为 7,可得当 x 满足|x|≤m 的概率为 时,x 所在的区间长度为 5. 解不等式|x|≤m 得解集为,从而得到与的交集为,由此可解出 m 的值. 解答: 解:∵区间的区间长度为 5﹣(﹣2)=7, ∴随机地取一个数 x,若 x 满足|x|≤m 的概率为 , 则满足条件的区间长度为 7× =5. 因此 x 所在的区间为, ∵m>0,得|x|≤m 的解集为{m|﹣m≤x≤m}=, ∴与的交集为时,可得 m=3. 故答案为:3 点评: 本题给出几何概型的值,求参数 m.着重考查了绝对值不等式的解法、集合的运算 和几何概型计算公式等知识,属于基础题. 14. (5 分)因乙肝疫苗事件,需要对某种疫苗进行检测,现从 800 支中抽取 60 支进行检验, 利用随机数表抽取样本时,先将 800 支按 000,001,…,799 进行编号,如果从随机数表第 7 行第 10 列的数开始向右读,则得到的第 6 个样本个体的编号是 245(下面摘取了随机数表第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 42 45 76 72 76 33 50 25 83 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54. 考点: 随机数的含义与应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 找到第 7 行第 10 列的数开始向右读,第一个符合条件的是 157,第二个数 245,第 三个数 506,第四个数 887 不合题意舍去,第五个数 704 符合题意,第 4,5,6 个样本个体的 编号是 704,744,245,由此可得答案. 解答: 解:找到第 7 行第 10 列的数开始向右读,第一个符合条件的是 157, 第二个数 245, 第三个数 506, 第四个数 887 不合题意舍去, 第五个数 704 符合题意. ∴第 4,5,6 个样本个体的编号是 704,744,245 故答案为 245. 点评: 在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的,所以每个数被抽到的概率是 一样的.

15. (5 分)如图,给出的是计算 的条件是 i≤1007 或 i<1008.

的值的一个程序框图,则判断框内应填入

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由题意可知,首先是判断框中的条件满足,所以框图依次执行循环,框图执行第一 次循环后,S 的值为 ,执行 第二次循环后,s 的值为 ,满足 ,框图应执行 1007 次循环,i 的值为 1008,判断框中的条件应该不

满足,算法结束,由此得到判断框中的条件. 解答: 解:执行程序框图,有 s=0, 第 1 次循环:i=1,s= ,

第 2 次循环:i=2,s= 第 3 次循环:i=3,s= …

, ,

第 1007 次循环:i=1007,s=



i=1008,不满足条件,退出循环,输出 s 的值, 故答案为:i≤1007 或 i<1008. 点评: 本题考查了循环结构,是直到型循环,区别当型和直到型的关键在于是满足条件执 行循环还是不满足条件执行循环, 满足条件执行循环的是当型结构,不满足条件执行循环的是直到型结构,是基础题.

16. (5 分)若数列{an}的通项公式

,记 f(n)=(1﹣a1) (1﹣a2)…

(1﹣an) ,试通过计算 f(1) ,f(2) ,f(3)的值,推测出 f(n)=



考点: 归纳推理;数列的应用;数列递推式. 专题: 规律型. 分析: 本题考查的主要知识点是:归纳推理与类比推理,根据题目中已知的数列{an}的通项 公式 ,及 f(n)=(1﹣a1) (1﹣a2)…(1﹣an) ,我们易得 f(1) ,

f(2) ,f(3)的值,观察 f(1) ,f(2) ,f(3)的值的变化规律,不难 得到 f(n)的表达式. 解答: 解:∵

∴ 又∵f(n)=(1﹣a1) (1﹣a2)…(1﹣an) ∴ ,

… 由此归纳推理:



=

= 故答案为:

=

点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 17. (5 分)如果函数 y=|x|﹣2 的图象与曲线 C:x +y =λ 恰好有两个不同的公共点,则实数 λ 的取值范围为{2}∪(4,+∞) . 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意画出函数 y=|x|﹣2 与曲线 C:x +y =λ 的图象,当圆 O 与两射线相切时,两 函数图象恰好有两个不同的公共点.过 O 作 OC⊥AB,由三角形 AOB 为等腰直角三角形,求 出 OC 的长,平方即可确定出此时 λ 的值;当圆 O 半径为 2 时,两函数图象有 3 个公共点, 半径大于 2 时,恰好有 2 个公共点,即半径大于 2 时,满足题意,求出此时 λ 的范围,即可确 定出所有满足题意 λ 的范围. 解答: 解:根据题意画出函数 y=|x|﹣2 与曲线 C:x +y =λ 的图象,如图所示, 当 AB 与圆 O 相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点,过 O 作 OC⊥AB, ∵OA=OB=2,∠AOB=90°, ∴根据勾股定理得:AB=2 , ∴OC= AB= ,此时 λ=OC =2;
2 2 2 2 2 2 2

当圆 O 半径大于 2,即 λ>4 时,两函数图象恰好有两个不同的公共点, 综上,实数 λ 的取值范围是{2}∪(4,+∞) . 故答案为:{2}∪(4,+∞) .

点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,利用了数形结合的思想,灵活运用数形结合思想 是解本题的关键,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.

18. (12 分)某市对排污水进行综合治理,征收污水处理费,系统对各厂一个月内排出的污水 量 x 吨收取的污水处理费 y 元,运行程序如图所示: (Ⅰ)写出 y 与 x 的函数关系; (Ⅱ)求排放污水 120 吨的污水处理费 用.

考点: 分段函数的应用;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)这个程序反映的是一个分段函数,利用程序,可得解析式; (Ⅱ)利用解析式,由于 x=120>100,即可求排 放污水 120 吨的污水处理费用.

解答: 解: (Ⅰ)y 与 x 的函数关系为:

…(8

分) (Ⅱ)因为 x=120>100 所以 y=150+25(120﹣100)=650 故该厂应缴纳污水处理费 650 元. …(12 分) 点评: 本题考查程序框图,考查分段函数,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

19. (13 分)

,先分别求 f(0)+f(1) ,f(﹣1)+f(2) ,f(﹣2)+f(3) ,

然后归纳猜想一般性结论,并给出证明. 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 证明题;函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)计算各和式,得出结论然后归纳猜想,再证明一般性结论. 解答: 解:∵ ,

∴f(0)+f(1)=

+

=

=



同理可得:f(﹣1)+f(2)=

,f(﹣2)+f(3)= .



证明:设 x1+x2=1, 则 f(x1)+f(x2)= + = = .

点评: 本题主要考查归纳推理, 一般思路是从具体到一般, 得到一般性结论, 然后再证明. 属 中档题. 20. (13 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+4b ,a,b∈R,若 a 从集合{3,4,5}中任取一个元素, b 从集合{1,2,3}中任取一个元素,代入 f(x)中形成函数. (1)试列出所有的 a 与 b 的组合; (2)求方程 f(x)=0 有两个不相等实根的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)列举出从 a 从集合{3,4,5}中任取和 b 从集合{1,2,3}中任取的基本事件个 数,及满足条件方程 y=0 有两个不相等实根(△ >0)的基本事件个数,代入古典概型概率计 算 公式,可得答案. (2)根据古典概型的概率公式可得答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵a 取集合{3,4,5}中任一个元素,b 取集合{1,2,3}中任一个元素, ∴a,b 的取值的情况有(3,1) , (3,2) , (3,3) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (5,1) , (5, 2) , (5,3) .其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.…(6 分) (Ⅱ)设“方程 f(x)=0 有两个不相等的实根”为事件 A, 当 a>0,b>0 时,方程 f(x)=0 有两个不相等实根的充要条件为 a>2b. 当 a>2b 时,a,b 取值的情况有(3,1) , (4,1) , (5,1) , (5,2) , 即 A 包含的基本事件数为 4,而基本事件总数为 9. ∴方程 f(x)=0 有两个不相等实根的概率 …(13 分)
2 2

点评: 本题考查的知识点是几何概型,古典概型,其中分析出满足条件的基本事件的实质, 方程 y=0 有两个不相等实根(△ >0)与方程 y=0 没有实根(△ <0)是解答的关键. 21. (13 分)从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,据测量被测学生身 高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组;第一组 分析: (1)先求出圆心坐标,可得圆的方程,再设出切线方程,利用点到直线的距离公式, 即可求得切线方程; (2)设出点 C,M 的坐标,利用 MA=2MO,寻找坐标之间的关系,进一步将问题转化为圆 与圆的位置关系,即可得出结论. 解答: 解: (1)由题设,圆心 C 在 y=x﹣3 上,也在直线 y=2x﹣4 上,2a﹣4=a﹣3,∴a=1, ∴C(1,﹣2) . 2 2 ∴⊙C: (x﹣1) +(y+2) =1,

由题,当斜率存在时,过 A 点切线方程可设为 y=kx+3,即 kx﹣y+3=0,则

,解得:

,…(4 分) 又当斜率不存在时,也与圆相切,∴所求切线为 x=0 或 即 x=0 或 12x+5y﹣15=0…(6 分) (2)设点 C(a,a﹣3) ,M(x0,y0) ,则 ∵MA=2MO,A(0,3) ,O(0,0) , ∴ 又点 M 在圆 C 上,∴ ∴M 点为 若存在这样的点 M,则 即圆心之间的距离 d 满足:1≤d≤3,∴ 解得: …(14 分) 与 与
2



,即 ,



的交点,…(9 分) 有交点, ,即 1≤2a ﹣8a+16≤9,

点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查圆与圆的位置关系,考查学生的计算能力,考 查分类讨论的数学思想,属于中档题.


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