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必修二 空间几何体的直观图 教案

1.2.3 空间几何体的直观图 三维目标 通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图,提高学生识图和画图的能力,培养 探究精神和意识,以及转化与化归的数学思想方法. 重点难点 教学重点:用斜二测画法画空间几何体的直观图. 教学难点:直观图和三视图的互化. 教学过程 一、复习: (1)什么叫中心投影、平行投影、斜投影、正投影? (2)三视图采用何种投影?三视图指哪三种视图?画三视图要注意什么? 说明:三视图在工程制图中被广泛采用,但其直观性较差,因此,在绘制物体的直观图时,一般采用 斜投影或中心投影。 二、合作探究 提出问题 ①如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图? ②上述画直观图的方法称为斜二测画法,请总结其步骤. ③探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体 ABCD —A′B′C′D′的直观图. ④用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同?并总结画几何体的直观图的步 骤. 活动:①和③教师首先示范画法,并让学生思考斜二测画法的关键步骤,让学生发表自己的见解,教师及时 给予点评. ②根据上述画法来归纳. ③让学生比较两种画法的步骤. 讨论结果:①画法:1°如图 1(1) ,在正六边形 ABCDEF 中,取 AD 所在直线为 x 轴,对称轴 MN 所在直线为 y 轴,两轴相交于点 O.在图 1(2)中,画相应的 x′轴与 y′轴,两轴相交于点 O′,使∠x′O′y′=45°. 1 2°在图 1(2)中,以 O′为中点,在 x′轴上取 A′D′=AD,在 y′轴上取 M′N′= 1 MN.以点 N′为中点 2 画 B′C′平行于 x′轴,并且等于 BC;再以 M′为中点画 E′F′平行于 x′轴,并且等于 EF. 3°连接 A′B′,C′D′,D′E′,F′A′,并擦去辅助线 x′轴和 y′轴,便获得正六边形 ABCDEF 水 平放置的直观图 A′B′C′D′E′F′〔图 1(3)〕. 图1 ②步骤是: 1°在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴, 两轴相交于点 O.画直观图时, 把它们画成对应的 x′ 轴与 y′轴,两轴交于点 O′,且使∠x′O′y′=45°(或 135°),它们确定的平面表示水平面. 2°已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y . 3°已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半. ③画法:1°画轴.如图 2,画 x 轴、y 轴、z 轴,三轴相交于点 O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°. 图2 2°画底面.以点 O 为中点,在 x 轴上取线段 MN,使 MN=4 cm;在 y 轴上取线段 PQ,使 PQ= 3 cm.分别过点 M 2 和 N 作 y 轴的平行线,过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交点分别为 A、B、C、D,四边形 ABCD 就是长 方体的底面 ABCD. 3°画侧棱.过 A、 B、 C、 D 各点分别作 z 轴的平行线, 并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA′、 BB′、 CC′、DD′. 4°成图.顺次连接 A′、B′、C′、D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线) ,就得到长 方体的直观图. 点评:画几何体的直观图时,如果不作严格要求,图形尺寸可以适当选取,用斜二测画法画图的角度也可 以自定,但是要求图形具有一定的立体感. ④画几何体的直观图时还要建立三条轴,实际是建立了空间直角坐标系,而画水平放置平面图形的直 观图实际上建立的是平面直角坐标系.画几何体的直观图的步骤是: 2 1°在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴 Ox、Oy,再作 Oz 轴,使∠xOy=90°,∠ yOz=90°. 2°画出与 Ox、 Oy、 Oz 对应的轴 O′x′、 O′y′、 O′z′, 使∠x′O′y′=45°, ∠y′O′z′=90°,x′ O′ y . 3°已知图形中,平行于 x 轴、y 轴和 z 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x′轴、y′轴和 z′轴 的线段,并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. 4°已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于 y 轴的线段,长度为原来 的一半. 5°擦除作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图. 斜二测画法的作图技巧: 1°在已知图中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都行,但实际作图时,一般建立特殊的 直角坐标系,尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂 直正交的直线为坐标轴等. 2°在原图中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中依然与 x′轴或 y′轴平行,原图中不与坐标轴平行 的线段可以先画出线段的端点再连线,画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一 些关键点,利用上述方法作出直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出. 3°在画一个水平放置的平面时,由于平面是无限延展的,通常我们只画出它的一部分表示平面,一般 地,用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图. 例 1 用斜二测画法画水平放置的圆的直观图. 活动:学生回顾讨论斜二测画法的步骤,自己画出来后再互相交流.教师适当点评. 解: (1)如图 3(1),在⊙O 上取互相垂直的直径 AB、CD,分别以它们所在的直线为 x 轴与 y 轴,将线段 AB n 等分.过各分点分别作 y 轴的平行线,交⊙O 于 E,F,G,H,…,画对应的 x′轴和 y′轴,使∠x′O′y′ =45°. 图3 (2)如图 3(2),以 O′为中点,在 x′轴上取 A′B′=AB,在 y′轴上取 C′D′= 1 CD,将 A′B′ n 等分, 2 3 分别以这些分点为中点, 画与 y′


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