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(学)必修1函数的应用


大理博奥教育精品资料系列

课时 7

函数的应用

一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函 数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2 、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有 零点. 3、函数零点的求法: ① (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ② (几何法) 对于不能用求根公式的方程, 可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点. 4、基本初等函数的零点: ①正比例函数 y ? kx(k ? 0) 仅有一个零点。

k (k ? 0) 没有零点。 x ③一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 仅有一个零点。
②反比例函数 y ? ④二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) .
2

(1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两 个交点,二次函数有两个零点.
2

(2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一 个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二 次函数无零点.
2

⑤指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 没有零点。 ⑥对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 仅有一个零点 1. ⑦幂函数 y ? x? ,当 n ? 0 时,仅有一个零点 0,当 n ? 0 时,没有零点。 例.零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图象: ① 在区间 [?2,1] 上有无零点______; f (?2) ? _______, f (1) ? _______, . f (?2) ·f (1) _____0(<或>=) ② 在区间 [2,4] 上有无零点______; f ( 2) ·f ( 4) ____0(<或>=) . (Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象
2

① 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点; f ( a ) ·f (b) _____0(<或>=) . ② 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; f (b) ·f (c) _____0(<或>=) . ③ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; f (c) ·f ( d ) _____0(<或>=) .

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5 、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数) ,函数先把 f ? x ? 转化成 个函数图像的交点个数就是函数 f ? x ? 零点的个数。 ,这另 f ? x ? ? 0 ,再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数 y1 , y2 (基本初等函数)

6、选择题判断区间 ? a, b ? 上是否含有零点,只需满足 f ? a ? f ? b ? ? 0 。 Eg:试判断方程 x ? x ? 2 x ? 1 ? 0在区间[0,2]内是否有实数解?并说明理由。
4 2

7、确定零点在某区间 ? a, b ? 个数是唯一的条件是 :① f ? x ? 在区间 上连续,且 f ? a ? f ? b ? ? 0 ②在区间 ? a, b ? 上单调。 8、函数零点的性质:
2 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 .

k 为常数,则一元二次方程根的 k 分布(即 x1 , x2 相对于 k 的位置)或根在区间上的
分布主要有以下基本类型: 表一: (两根与 0 的大小比较) 一正根一负根即一个根 小于 0,一个大于 0

分 布 情 况 大 致 图 象 ( )

两个负根即两根都小于 0

两个正根即两根都大于 0

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0 ? x2 ?

a?0

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

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得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0
? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0
? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

f ?0? ? 0

( 不 综 讨 合 论 结 a 论 )

a ? f ?0? ? 0

9、二分法的定义 对 于在 区间 [a , b ] 上 连 续不断 ,且 满足 f (a) ? f (b) ? 0 的 函数

y ? f ( x) ,通过不断地把函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二,
使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做 二分法. 10、给定精确度 ε,用二分法求函数 f ( x ) 零点近似值的步骤: (1)确定区间 [a , b ] ,验证 f ( a) ? f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; (2)求区间 (a , b) 的中点 x1 ; (3)计算 f ( x1 ) : ①若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; ②若 f ( a ) ? f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ;

③若 f ( x1 ) ? f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; (4) 判断是否达到精度 ? ; 即若 | a ? b |? ? , 则得到零点值 a (或 b ) ; 否则重复步骤(2)~(4) . 11、二分法的条件 f ( a ) ·f (b) ? 0 表明用二分法求函数的近似零点 都是指变号零点。 (三)函数模型及其应用 12、解决应用题的一般程序: ① 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; ② 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③ 解模:求解数学模型,得出数学结论; ④ 还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义. 13、函数的模型

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收集数据

画散点图

不 符 合 实 际

选择函数模型

求函数模型

符合实际 用函数模型解释实际问题 检验

14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: 一次函数模型: f ( x) ? kx ? b(k ? 0); 二次函数模型: g ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0);
2

幂函数模型: h( x) ? ax ? b(a ? 0); 指数函数模型: l ( x) ? ab ? c ( a ? 0, b >0, b ? 1 )
x

1 2

利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型

(四)例题分析 例 1. 用二分法求函数 f(x)=x3+x2 -2x-1 的一个正零点,可选作计算的初始区间的是 ( ). A. [-1,1] B. [0,1] C. [1,2] D. [2,3]

例 2. 某水果批发市场规定:批发水果不少于 100 千克时,批发价为每千克 2.5 元,小王携 带现金 3000 元到市场采购水果, 并以批发价买进水果 x 千克, 小王付款后剩余现金为 y 元, 则 x 与 y 之间的函数关系为( ). A.y=3 000-2.5x,(100≤x≤1 200)
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B.y=3 000-2.5x,(100<x<1 200) C.y=3 000-100x,(100<x<1 200) D.y=3 000-100x,(100≤x≤1 200)

例 3:用二分法求函数 f(x)=x3-2x-5 的一个零点时,若取区间[2,3]作为计算的初始 区间,则下一个区间应取为 ____

例 4.若函数 f ?x ? ? ax2 ? x ?1在 ?0,1? 内有一零点,求 a 的取值范围。

例 5. 已知方程 mx2 ? ?2m ? 3?x ? 4 ? 0 只有一个正根,且这个根小于 1,求实数 m 的取值 范围。

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课后练习
一.选择题(共 12 小题) 1. (2014?山东)已知函数 f(x)=丨 x﹣2 丨+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个 不相等的实根,则实数 k 的取值范围是( ) A. B. C.(1,2) D.(2,+∞) (0, ) ( ,1)

2. (2014?北京) 已知函数 f (x) = ﹣log2x, 在下列区间中, 包含 f (x) 零点的区间是 ( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)



3. (2014?江西) 已知函数 f (x) = A. B. C.1

(a∈R) , 若 f[f (﹣1) ]=1, 则 a= ( D.2



4. (2014?湖北模拟)已知函数 f(x)=x3﹣12x+a,其中 a≥16,则下列说法正确的是( A.f(x)有且只有一个零点 B. f(x)至少有两个零点 C. f(x)最多有两个零点 D.f(x)一定有三个零点 5. (2014?陕西模拟)已知函数 y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表 x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 35 14.5 ﹣74 ﹣56.7 ﹣123.6 则函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个



6. (2014?浙江模拟) 设 x0 为方程 2x+x=8 的解. 若 x0∈ (n, n+1) (n∈N*) , 则 n 的值为 ( A.1 B.2 C.3 D.4



7. (2014?南昌模拟)若函数 f(x)=x3+x2﹣2x﹣2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计 算,其参考数据如下: f (1)=﹣2 f (1.5)=0.625 f (1.25)=﹣0.984 f (1.375)=﹣0.260 f (1.4375)=0.162 f (1.40625)=﹣0.054 3 2 那么方程 x +x ﹣2x﹣2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5

8. (2014?虹口区一模)函数 A.此函数为偶函数 C. 此函数既有最大值也有最小值

,下列结论不正确的( B. 此函数是周期函数 D.方程 f[f(x)]=1 的解为 x=1



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9. (2010?湖南模拟)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( ) A. B. C. D.

10. (2006?嘉定区二模)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)+1,且 m、n 是方程 f(x)=0 的两根,则实数 a、b、m、n 的大小关系可能是( ) A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.m<a<n<b D.a<m<b<n 11. (2005?杭州二模)用 32m2 的材料制作一个长方体形的无盖盒子,如果底面的宽规定为 2m,那么这个盒子的最大容积可以是( ) 3 3 A.36m B.18m C.16m3 D.14m3 12.已知函数 f(x)=|log2|x﹣1||,且关于 x 的方程[f(x)]2+af(x)+b=0 有 6 个不同的实 数解,若最小实数解为﹣3,则 a+b 的值为( ) A.﹣3 B.﹣2 C.0 D.不能确定 二.填空题(共 4 小题) 13. (2014?大庆二模)设函数 f(x)= _________ . 14. (2010?衢州模拟)1980 年,我国人均收入 255 美元;到 2000 年,人民生活达到小康水 平,即人均收入达到 817 美元,则年平均增长率是 _________ . 15.如图,利用一面墙(墙长 18m) ,用 30m 长的篱笆,怎样围成一个面积为 100m2 的矩形 ,则方程 f(x)= 的解集为

场地? 16.已知二次函数 f(x)=x2﹣2mx+1,若对于[0,1]上的任意三个实数 a,b,c,函数值 f (a) ,f(b) ,f(c)都能构成一个三角形的三边长,则满足条件的 m 的值可以是 _________ . (写出一个即可) 三.解答题(共 4 小题) 17. (2014?辽宁)已知函数 f(x)=π(x﹣cosx)﹣2sinx﹣2,g(x)=(x﹣π) ﹣1.
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+

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证明: (Ⅰ)存在唯一 x0∈(0, (Ⅱ)存在唯一 x1∈ ) ,使 f(x0)=0;

,π) ,使 g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的 x0,有 x0+x1>π.

18. (2014?呼伦贝尔二模)已知 f(x)=|2x﹣1|+ax﹣5(a 是常数,a∈R) ①当 a=1 时求不等式 f(x)≥0 的解集. ②如果函数 y=f(x)恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围.

19. (2013?湖南模拟)某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投 资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如表: (单位:万美元) 年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多可生产的件数 20 m 10 200 A 产品 40 8 18 120 B 产品
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其中年固定成本与年生产的件数无关,m 是待定常数,其值由生产 A 产品的原材料决定, 预计 m∈[6,8],另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x2 万美元的特别关税,假设生产出 来的产品都能在当年销售出去. (1)求该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的件数 x 之间的 函数关系,并求出其定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案.

20.用二分法求函数 y=x3﹣3 的一个正零点(精确度 0.1) .

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