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高二数学选修2-2~2[1].1.1


本节知识结构

推 理
合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理)





(部分到整体、 特殊到一般)

类 比 三段论 (特殊到特殊) (一般到特殊)

归纳推理
哥德巴赫猜想的提出过程:
3+7=10,3+17=20,13+17=30,
10=3+7,20=3+17,30=13+17.

偶数=奇质数+奇质数
6=3+3, 8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=5+11,…,

1 000=29+971,…

注⑴ 一个偶数(不小于6)总可表示成两个奇质数之和;

⑵ 没有发现反例 .

归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物

的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实
概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

(部分

归纳法又分为不完全归纳法和完全归纳法. 不完全归纳推理得到的结论是否正确还有待严 格的证明,但它可以为我们的研究提供一种方向.

? 整体)

(个别

? 一般)

示例1: 金受热后体积膨胀, 银受热后体积膨胀, 铜受热后体积膨胀, 铁受热后体积膨胀, 金、银、铜、铁是金属的部分小类对象,它们受热 后分子的凝聚力减弱,分子运动加速,分子彼此距 离加大,从而导致体积膨胀. 所有的金属受热后都体积膨胀 所以,_____________________________;

示例3.观察下图,可以发现怎样的结论: 1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, ……
2 1+3+…+(2n-1)=n

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理;
⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想;

⑶ 检验猜想.即:
试验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

归纳推理的几个特点:
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性.

3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析 的基础上,提出带有规律性的结论(需证明),由此可 作为进一步研究的起点,从而发现问题和提出问题.

练1.已知数列{an}的第1项a1=1,且 an ?1

an ? 1 ? an

(n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.

an a n ?1 ? 解法:分别把n=1,2,3,4代入 得: 1 ? an 1 1 1 1 a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? 2 3 4 5

1 归纳: a n ? n

(可用数学归纳法证明这个猜想是正确的.)

练2.如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分,画两 条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4 部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将 圆分割成7部分.则有: (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 16 条线段? 同时将圆分割成 11 部分?

(2)猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分
割成 条线段 ?同时将圆分割成 n
2

1 2 ( n ? n ?部分 2) ? 2

分析: f (2) ? f (1) ? 2 f (3) ? f (2) ? 3 f (4) ? f (3) ? 4
………

f (n) ? f (n ? 1) ? n
累加得: f ( n) ? f (1) ? 2 ? 3 ? 4 ?

?n

课堂小结与作业
1.什么是归纳推理(简称归纳)? 部分 整体
个别

? ? 一般

2.归纳推理的一般思路: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).



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