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中学人教版高中数学必修四教案 3-1-1两角差的余弦公式

《两角差的余弦公式》教学设计 课题 项目 两角差的余弦公式 内 容 理论依据或设计意图 《两角差的余弦公式》 是普通高中课程 标准实验教科书人教 A 版数学 4(必修)中 的第三章的 3.1.1 节内容,教学课时为 1 课时。 前两章学生已经学习了任意角的三角 函数和平面向量等知识, 对三角函数有了一 定的认识, 有利于学生接受两角差的余弦公 课程标准 式. 《两角差的余弦公式》 是三角恒等变换这 一章中的一个重要内容, 只有对两角差的余 弦公式有了认识, 才能够以此为基础推导其 他三角恒等变换公式。 这是一个逻辑推理过 程也是一个认识三角函数式的特征, 体会三 角恒等变换特点的过程. 1.知识与技能 (1)通过对两角差的余弦公式的推导, 分 教 学 析 目 标 使学生体会应用向量解决数学问题的技能. (2) 通过公式的灵活应用,使学生掌握 两角差的余弦公式的作用. 2.过程与方法 (1)利用两角差的余弦公式推导过程, 使学生体会向量在代数几何方面运用的方 式方法. (2) 在公式的灵活运用过程中进一步培 养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数 形结合思想. 3.情感态度与价值观 通过引导学生主动参与、 大胆猜想独立 探索、 激发学生学习兴趣, 形成探究、 证明、 应用的获取知识的方式。 从应用中去体会数 学的严谨, 形成理性思维,体会向量及两角 差的余弦公式的运用价值。 根据新课程标准 的要求, 从提高学生的 数学素质和能力出发, 结合学生心理发展的 需求, 以及人格、 情感、 价值观的具体要求制 订. 教 教 材 地 位 及 作 用 材 重 难 点 数学教学不仅使 重点:两角差的余弦公式的运用. 难点: 用两角差余弦公式进行简化、计算及 学生理解知识的发生 过程, 更重要是培养学 逆用公式等技能. 生对知识的应用能力. 我们已经知道 cos 45? ? 一 以 境 激 情 2 3 , cos30? ? 2 2 通过学生熟知的 特殊角余弦值引入问 题,引发认知冲突,引 出本节课题. 由此我们能否得到 cos 15 ? 的值呢? 教 对于 cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? 你们同意这个观点吗?说说理由? 使学生明确数学是一 门严谨的科学, 激励学 生探索新知. 学 活动 1: (教师活动)提出问题: 究竟该如何计算 设 cos(? ? ? ) ?对于求角的余弦值这种问题, 通过设问, 激发学生 自觉回顾三角函数和 向量的相关知识, 为公 我们有哪些方法? 计 (学生活动) 回忆三角函数定义、 三角函 式的探索提供思路. 数线以及平面向量数量积运算等相关知识. 二 研 探 论 证 活动 2: (教师活动) 引导学生尝试用向量的方法来 探究如何计算 cos(? ? ? ) . 先复习两个向量数量积的定义与坐标运 算公式; 通过带有指向性的问 ? ? ? ? 定义式: a ? b ? a ? b ? cos? ; 题,使学生意识到,向 ? 量方法可能是解决问 ? 坐标式: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 . 题的工具, 引导学生建 (学生活动)在平面直角坐标系中作单位 立向量使用的数学环 境, 培养学生自主探索 圆,以 x 轴非负半轴为始边作角 ? , ? ,它 和数形结合的能力. 们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A 、 B , 则 A?cos? , sin ? ?, B?cos? , sin ? ? ; 试用 A 、 B 两点的坐标表示 ?AOB 的余弦 值。 (教师活动) 引导学生经历用向量方法探索 在教师的引导下, 通过 求两个已知向量的夹 求 cos(? ? ? ) ,结合图形,明确应选择哪几 角问题以及三角函数 个向量, 它们怎么用坐标表示?怎样利用数 定义的应用得出新的 结论, 使学生体会和认 量积计算公式得到推导结果? 识严格的推导过程是 获取数学结论的方法。 由学生得到结论, 让学 生在数学课上体会成 ( 学 生 活 动 ) 计 算 OA ? OB , 得 到 功. OA? OB ? cos? cos? ? sin ? sin ? ; 另 一 方 面 , 从 定 义 式 计 算 OA ? OB ? OA ? OB cos?? ? ? ? 二 研 探 论 证 ? cos?? ? ? ? 得 出 ; 教 学 设 计 论 由于向量工具已被引 入, 因此将问题归结为 cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? 角度问题, 选用向量方 法推导公式, 使得公式 活动 3: 的得出成为一个纯粹 (教师活动)引导学生思考 ? , ? , ? ? ? 的 的代数运算过程, 大大 降低了思考难度.另 范围,完善公式的推导. 外, 在公式的完善过程 (学生活动)提出 ? ? ? 的任意性,而向量 中, 学生用对比、 联系、 化归的观点去分析问 夹角为 [0,? ] ,学生产生疑惑: ? ? ? 与向 题、处理问题,使他们 在建立公式的过程中 量之间的夹角 ? 有什么关系呢? 教师活动: 几何画板动态展示,引导学生结 发展逻辑推理能力和 对知识的迁移应用. 合计算机图形语言和三角函数诱导公式对 结 公式的严密性进行论证. (1)? ? ? ? [0,? ],? ? ? ? ? ? 2k? ; (2)? ? ? ? (? ,2? ],? ? ? ? 2k? ? ? 根据终边相 同的角的性质,?cos(? ? ? ) ? cos? 培养学生用自己的 活动 4: (教师活动) 引导学生说出两角差的余弦公 语言描述公式特征的 表达能力。 加深对公式 式的结构特点. (学生活动)发现公式左边是差角的余弦, 的印象,掌握公式特 右边是单角同名三角函数值乘积之和. 点, 为下一步公式的应 用做好铺垫. 活动 5:例题分析 (教师活动) 讲评例 1.利用两角差的余弦公式求 cos 15 ? 的值. 这


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