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2009届高考数学概念方法题型易误点技巧总结学生用13


概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(十三) 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(十三)

导 数
(2)瞬时速度; (3)边际成本。 如一物体的 1、导数的背景: 导数的背景 (1)切线的斜率; 2 运动方程是 s = 1 t + t ,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 t = 3 时的瞬 时速度为_____(答:5 米/秒) 导函数的概念:如果函数 f ( x ) 在开区间(a,b)内可导,对于开区间(a,b)内 2、导函数的概念 的每一个 x0 ,都对应着一个导数 f


( x0 )

,这样 f ( x ) 在开区间(a,b)内构成一个新 记作

的 函 数 , 这 一 新 的 函 数 叫 做 f ( x ) 在 开 区 间 ( a,b ) 内 的 导 函 数 ,

f ′ ( x ) = y′ = lim

f ( x + x ) f ( x ) y = lim ,导函数也简称为导数。 x → 0 x x → 0 x 3 、 求 y = f ( x) 在 x0 处 的 导 数 的 步 骤 :( 1 ) 求 函 数 的 改 变 量

y = f ( x0 + x ) f ( x0 ) ; (2)求平均变化率
限,得导数 f ′ ( x0 ) = lim

y 。 △ x → 0 x 导数的几何意义:函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y = f ( x) 4、导数的几何意义

y f ( x0 + x ) f ( x0 ) = ; (3)取极 x △x

在点 P x0, f ( x0 ) 处的切线的斜率,即曲线 y = f ( x) 在点 P x0, f ( x0 ) 处的切线的斜 率是 f ′ ( x0 ) ,相应地切线的方程是 y y0 = f ′ ( x0 )( x x0 ) 。特别提醒 (1)在求曲 特别提醒: 特别提醒 线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线 区分所求切线是曲线上某点处的切线, 区分所求切线是曲线上某点处的切线 还是过某点的切线: 曲线上某点处的切线只有一条, 而过某点的切线不一定只有一条, 即使此点在曲线上也 不一定只有一条; 2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线上,还是 ( 不在曲线上,只有当此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是 f ′( x0 ) 。 (1)P 在曲线 y = x x +
3

(

)

(

)

围是______(答: [0,

3π ,π ) ) ; 2 4 (2)直线 y = 3 x + 1 是曲线 y = x 3 a 的一条切线,则实数 a 的值为___(答:-3 ) ∪[
3

π

2 上移动,在点 P 处的切线的倾斜角为α ,则α的取值范 3

或 1) ;

1 2 x + m ( m 为常数)图象上 A 处的切线与 2 π 1 x y + 3 = 0 的夹角为 ,则 A 点的横坐标为_____(答:0 或 ) ; 4 6 3 ; (4)曲线 y = x + x + 1 在点 (1,3) 处的切线方程是_______(答:4 x y 1 = 0 ) 2 3 2 ' (5)已知函数 f ( x ) = x + ax + 4 x ,又导函数 y = f ( x ) 的图象与 x 轴交于 3 (k , 0), (2k , 0), k > 0 。①求 a 的值;②求过点 (0,0) 的曲线 y = f ( x) 的切线方程(答: 35 ①1;② y = 4 x 或 y = x) 。 8 导数的运算法则: ; 5、导数的运算法则 (1)常数函数的导数为 0,即 C ′ = 0 (C 为常数)
( 3 ) 已 知 函 数 f ( x) = 2 x
1

(2) x

( ) ′ = nx ( n ∈ Q ) ,
n n 1

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(十三) 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(十三)
′ ′

1 1 1 1 1 与此有关的如下: = ( x ) ′ = 2 , x ′ = x 2 = ; x x 2 x ( 3 ) 若 f ( x ), g ( x ) 有 导 数 , 则 ① [ f ( x ) ± g ( x )]′ = f ′( x ) ± g ′( x ) ; ② [C i f ( x )]′ = Cf ′( x ) 。 1 n m n 3 的导数为 f ′( x) = 8 x ,则 m = _____(答: ) ; (1)已知函数 f ( x) = mx 4 2 2 ; (2)函数 y = ( x 1)( x + 1) 的导数为__________(答: y′ = 3 x + 2 x 1 ) 4 若对任意 x ∈ R , f ′( x) = 4 x3 , f (1) = 1 , f ( x ) 是______ 则 (答: f ( x ) = x 2 ) ( 3)

( )

恒成立,则 f ( x ) 为常数函数;若 f ′( x ) 的符号不确定,则 f ( x ) 不是单调函数。

6、多项式函数的单调性: 多项式函数的单调性: 多项式函数的导数与函数的单调性: (Ⅰ)多项式函数的导数与函数的单调性 若 若 ①若 f ′( x ) > 0 ,则 f ( x ) 为增函数; f ′( x ) < 0 ,则 f ( x ) 为减函数; f ′( x ) = 0

反之等号不成立; ②若函数 y = f ( x) 在区间( a, b )上单调递增,则 f ′( x ) ≥ 0 ,反之等号不成立 反之等号不成立 反之等号不成立。 若函数 y = f ( x) 在区间( a, b )上单调递减,则 f ′( x ) ≤ 0 ,反之等号不成立 反之等号不成立 函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c , 其中 a, b, c 为实数, a 3b < 0 时,f ( x ) 当 ( 1) 的单调性是______(答:增函数) ;
2 3 (2) 设 a > 0 函数 f ( x ) = x ax 在 [1,+∞) 上单调函数,则实数 a 的取值范围 ______(答: 0 < a ≤ 3 ) ; 3 ( 3 ) 已知函数 f ( x ) = x + bx (b 为常数)在区间 (0,1) 上单调递增,且方程 f ( x) = 0 的根都在区间 [2,2] 内,则 b 的取值范围是____________(答: [3, 4] ) ; 2 4 2 ( 4 ) 已知 f ( x ) = x + 1 , g ( x ) = x + 2 x + 2 ,设 ( x ) = g ( x ) λf ( x ) ,试 问是否存在实数 λ ,使 (x ) 在 ( ∞,1) 上是减函数,并且在 (1,0) 上是增函数?(答:

λ = 4)

(2)求方程 f ′( x ) = 0 的 (Ⅱ)利用导数求函数单调区间的步骤: 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)求 f ′( x ) ;

子 区 间 内 判 断 f ′( x ) 的 符 号 , 由 此 确 定 每 一 子 区 间 的 单 调 性 。 如 设 函 数 递增区间(-1,1) ,递减区间 ( ∞, 1) , (1, +∞) )

根,设根为 x1 , x2 , xn ; (3) x1 , x2 , xn 将给定区间分成 n+1 个子区间,再在每一个

f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx 在 x = 1,1 处有极值, f (2) = 2 , f (x) 的单调区间。 且 求 (答:
函数的极值: 7、函数的极值 ( 1 ) 定义:设函数 f ( x ) 在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近所有的点,都有 定义

f ( x) < f ( x0 ) ,就说是 f ( x0 ) 函数 f ( x) 的一个极大值。记作 y极大值 = f ( x0 ) ,如果对

x0 附近所有的点,都有 f ( x) > f ( x0 ) ,就说是 f ( x0 ) 函数 f ( x) 的一个极小值。记作 y极小值 = f ( x0 ) 。极大值和极小值统称为极值。
在某个区间上的极值的步骤: (ii)求方 (2)求函数 y = f ( x) 在某个区间上的极值的步骤 (i)求导数 f ′( x ) ; 程 f ′( x ) = 0 的根 x0 ; (iii)检查 f ′( x ) 在方程 f ′( x ) = 0 的根 x0 的左右的符号: “左正
2

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(十三) 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(十三) 右负” f ( x ) 在 x0 处取极大值; “左负右正” f ( x ) 在 x0 处取极小值。

0, f ′ ( x0 ) =0 是 x0 为极值点的必要而不充分条件。 2)给出函数极大(小)值的条件, ( 一定要既考虑 f ′( x0 ) = 0 ,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条 件没有用完,这一点一定要切记! 函数 y = ( x 2 1) 3 + 1 的极值点是 A、 极大值点 x = 1 ( 1) ; C、极小值点 x = 0 D、极小值点 x = 1 (答:C)
3 2

特别提醒: 特别提醒 (1) x0 是极值点的充要条件是 x0 点两侧导数异号,而不仅是 f ′ ( x0 ) =

B、 极大值点 x = 0

(2)已知函数 f ( x ) = x + ax + ( a + 6) x + 1 有极大值和极小值,则实数 a 的取 ; 值范围是_____(答: a > 6 或 a < 3 )
3 2 2

函数 f ( x ) = x + ax + bx + a 在x = 1 处有极小值 10, a+b 的值为____ 答: 则 ( ( 3)

-7) ;
3 2 (4)已知函数 f ( x ) = x + bx + cx + d 在区间[-1,2 ]上是减函数,那么 b+c 有

最___值___(答:大,

15 ) 2

函数的最大值和最小值: 8、函数的最大值和最小值 (Ⅰ)定义:函数 f ( x ) 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其 定义: 端点值中的“最大值” ;函数 f ( x ) 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小 值与其端点值中的“最小值” 。 上的最大值与最小值的步骤 大值与最小值的步骤: 求函数 y = f ( x) (Ⅱ) 求函数 y = f ( x) 在[ a, b ]上的最大值与最小值的步骤 (1) 在( a, b )内的极值(极大值或极小值)(2)将 y = f ( x) 的各极值与 f ( a ) , f (b) 比 ; 较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。 函数 y = 2 x 3 3 x 2 12 x + 5 在[0, 3]上的最大值、 最小值分别是______ (答: ( 1) 5; 15 ) ; (2)用总长 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的 一边比另一边长 0.5m。那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积。 (答: 高为 1.2 米时,容积最大为

9 3 cm ) 5

y

特别注意: 特别注意 (1)利用导数研究函数的单调性与最值(极值) 时, 要注意列表! (2) 要善于应用函数的导数, 考察函数单调性、 最值(极值),研究函数的性态,数形结合解决方程不等式等相关 问题。 (1) f ′( x ) 是 f ( x ) 的导函数, f ′( x ) 的图象如右图所示, 则 f ( x ) 的图象只可能是
y y

y = f ′( x)

O

a

b

x

( 答:D )
y y

O

a A、

b
3

x
2

O

a B、

b

x

O

a C、

b

x

O

a D、

b

x

; (2)方程 x 6 x + 9 x 10 = 0 的实根的个数为______(答:1) )

3

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(十三) 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(十三) 3 2 2 ) 已知函数 f ( x) = x ax x , 抛物线 C : x = y , x ∈ (1,2) 时, 当 函数 f (x ) 的 (3) 图象在抛物线 C : x 2 = y 的上方,求 a 的取值范围(答: a ≤ 1 ) 。

4


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