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高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用热点探究课1导数应用中的高考热点问题学案文北师大版(数学教案)

热点探究课(一) 导数应用中的高考热点问题 (对应学生用书第 36 页) [命题解读] 函数是中学数学的核心内容,导数是研究函数的重要工具,因此,导数的应用 是历年高考的重点与热点,常涉及的问题有:讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极 值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等,涉及 的数学思想有:函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等,中、高档难度均有. 热点 1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板) 函数的单调性、极值是局部概念,函数的最值是整体概念,研究函数的性质必须在定义 域内进行,因此,务必遵循定义域优先的原则,本热点主要有三种考查方式:(1)讨论函数 的单调性或求单调区间;(2)求函数的极值或最值;(3)利用函数的单调性、极值、最值,求 参数的范围. (本小题满分 12 分)(2015·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围. [思路点拨] (1)求出导数后对 a 分类讨论,然后判断单调性;(2)运用(1)的结论分析函 数的最大值,对得到的不等式进行等价转化,通过构造函数并分析该函数的单调性求 a 的范围. 1 [规范解答] (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= -A. x 2分 3分 若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上是增加的. ? 1? 若 a>0,则当 x∈?0, ?时,f′(x)>0; ? a? ?1 ? 当 x∈? ,+∞?时,f′(x)<0. ?a ? ? 1? ?1 ? 所以 f(x)在?0, ?上是增加的,在? ,+∞?上是减少的. ? a? 5分 6分 7分 ?a ? (2)由(1)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上无最大值; 1 当 a>0 时,f(x)在 x= 取得最大值,最大值为 a f? ?=ln? ?+a?1- ?=-ln a+a-1. ?a? ?a? ? a? ?1? ?1? ? 1? 9分 10 分 ?1? 因此 f? ?>2a-2 等价于 ln a+a-1<0. ?a? 令 g(a)=ln a+a-1,则 g(a)在(0,+∞)上是增加的,g(1)=0. 于是,当 0<a<1 时,g(a)<0;当 a>1 时,g(a)>0. 因此,a 的取值范围是(0,1). 12 分 1 [答题模板] 讨论含参函数 f(x)的单调性的一般步骤 第一步:求函数 f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定). 第二步:求函数 f(x)的导数 f′(x). 第三步:根据 f′(x)=0 的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论. 第四步:求解(令 f′(x)>0 或令 f′(x)<0). 第五步:下结论. 第六步:反思回顾,查看关键点、易错点、注意解题规范. 温馨提示:1.讨论函数的单调性,求函数的单调区间、极值问题,最终归结到判断 f′(x) 的符号问题上,而 f′(x)>0 或 f′(x)<0,最终可转化为一个一元一次不等式或一元二 次不等式问题. 2.若已知 f(x)的单调性,则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立 问题求解. ?2? 3 2 [对点训练 1] 已知函数 f(x)=x +ax -x+c,且 a=f′? ?. ?3? (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=(f(x)-x )·e ,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增,求实数 c 的取 值范围. [解] (1)由 f(x)=x +ax -x+c, 得 f′(x)=3x +2ax-1. 2 2 ?2? ?2?2 当 x= 时,得 a=f′? ?=3×? ? +2a× -1, 3 3 3 3 ? ? ? ? 解得 a=-1. (2)由(1)可知 f(x)=x -x -x+c, 3 2 2 3 2 3 x 【导学号:00090072】 ? 1? 2 则 f′(x)=3x -2x-1=3?x+ ?(x-1),列表如下: ? 3? x f′(x) f(x) ?-∞,-1? ? 3? ? ? + ? 1 - 3 0 极大值 ?-1,1? ? 3 ? ? ? - ? 1 0 极小值 (1, +∞) + ? 1? ? 所以 f(x)的单调递增区间是?-∞,- ?和(1,+∞); 3? ? ? ? f(x)的单调递减区间是?- ,1?. 3 1 ? ? (3)函数 g(x)=(f(x)-x )·e =(-x -x+c)·e , 3 x 2 x 2 有 g′(x)=(-2x-1)e +(-x -x+c)e =(-x -3x+c-1)e , 2 x 2 x x 因为函数 g(x)在 x∈[-3,2]上是增加的, 所以 h(x)=-x -3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立, 只要 h(2)≥0,解得 c≥11, 所以 c 的取值范围是[11,+∞). 热点 2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题 研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负, 为此, 我们可以通过讨论函数的单调 性来解决,求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用,其主要考查方式有:(1)确定函 数的零点、图像交点的个数;(2)由函数的零点、图像交点的情况求参数的取值范围. (2016·北京高考节选)设函数 f(x)=x3+ax2+bx+C. (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)设 a=b=4,若函数 f(x)有三个不同零点,求 c 的取值范围. [解] (1)由 f(x)=x +ax +bx+c,得 f′(x)=3x +2ax+B. 因为 f(0)=c,f′(0)=b, 所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切


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