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初中数学——数形结合思想(初二)


数形结合思想
“数 (代数) 与 ” “形 (几何) 是中学数学的两个主要研究对象,而这两个方面是紧密联系的.体 ” 现在数学解题中, 包括 “以数助形” “以形助数” 和 两个方面. “数” “形” 与 好比数学的 “左右腿” 全 . 面理解数与形的关系,就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会.此外还应该注意体会 “数”与“形”各自的优势与局限性,相互补充. “数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百 般好,隔离分家万事非. ”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要, “数形结 合”是一种非常重要的数学方法,也是一种重要的数学思想,在以后的数学学习中有重要的地位. 一、以数助形 要在解题中有效地实现“数形结合” ,最好能够明确“数”与“形”常见的结合点, ,从“以数 助形”角度来看,主要有以下两个结合点: (1)利用数轴、坐标系把几何问题代数化(在高中我 们还将学到用“向量”把几何问题代数化)(2)利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问 ; 题,例如:利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等. 例 1、如图,在正△ABC 的三边 AB、BC、CA 上分别有点 D、E、F.若 DE⊥BC, C EF⊥AC,FD⊥AB 同时成立,求点 D 在 AB 上的位置. F E 例 2、如图,△ABC 三边的长分别是 BC=17,CA=18,AB=19. 过△ABC 内的点 P A 向△ABC 的三边分别作垂线 PD、PE、PF(D、E、F 为垂足). 若
B D ? C E ? A F ? 2 7 . 求: B D ? B F 的长.

B D A

F 例 3、已知 ? A B C 的三边长分别为 m 2 整数,且
m ? n) 。求 ? A B C
?n
2

E P

、 2 mn 及 m 2

?n

2

( m 、 n 为正 B

的面积(用含 m 、 n 的代数式表示) 。
a ?b? c 2

C D
p ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) 。 】

【海伦公式: 如果一个三角形的三边长分别是 a ,b ,c , p ? 设

, S ? 则

例 4、将如图的五个边长为 1 的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形.

例 5、如图, ? ABC 是一块锐角三角形余料,边 AD

? 80

毫米, BC

? 120

毫 米,

要把它加工成一个矩形零件,使矩形的一边在 BC 上,其余两个定点分 别在 AB , AC 上,设该矩形的长 QM
? y

毫米,宽 MN

? x

毫米.当 x 与 y

分别取什么值时,矩形 PQMN 的面积最大?最大面积是多少?

例 6、如图,点 P 是矩形 ABCD 内一点, PA

? 3

,PB=4,PC=5,求 PD 的长.
1

二、以形助数 几何图形在数学中所具有的最大的优势就是直观易懂,所以在谈到“数形结合”思想时,就更偏 好于“以形助数”的方法,利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。几何图形直观的运用于 代数中主要体现在几个方面: (1)利用相关的几何图形帮助记忆代数公式,例如:完全平方公式与平方差公式; (2)利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义,通过构造几何图形,进而帮 助求解相关的代数问题,或者简化相关的代数运算。 例 1、在等腰 ? ABC 中, AB
? AC ? 5

, BC

? 6

, P 是底边上任一点,求 P 到两腰的距离的和.
a
2

例 2、已知 a 、 b 均为正数,且 a

? b ? 2 。求

? 4 ?

b

2

?1

的最小值。

例 3、若将数轴折叠,使得 A 点与-2 表示的点重合,若数轴上 M、N 两点之间的距离为 2012(M 在 N 的左侧), M、 两点经过折叠后互相重合, M、 两点表示的数分别是: 且 N 则 N M: B A
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

N:

例 4、数轴上标出若干个点,每相邻两点相距一个单位,点 A,B,C,D 分别表示整数 a,b,c,d, 且 d-2a=10,则原点在( A. 点 A B. 点 B )的位置

C.点 C D.点 D ? ?x-a>0 例 5、已知关于 x 的不等式组? 的整数解共有 2 个,则 a 的取值范围是___________. ?2-x>0 ? 例 6、如图一根木棒放在数轴上,木棒的左端与数轴上的点 A 重合,右端与点 B 重合.

(1) 若将木棒沿数轴向右水平移动, 则当它的左端移动到 B 点时, 它的右端在数轴上所对应的数为 20; 若将木棒沿数轴向左水平移动,则当它的右端移动到 A 点时,则它的左端在数轴上所对应的数为 5(单位:cm) ,由此可得到木棒长为 cm. (2) 由题(1)的启发,请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题: 一天,小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄,爷爷说: “我若是你现在这么大,你 还要 40 年才出生;你若是我现在这么大,我已经 125 岁,是老寿星了,哈哈!,请求出爷爷现在 ” 多少岁了? 1 例 7、如图,图①是一块边长为 1,周长记为 P1 的正三角形纸板,沿图①的底边剪去一块边长为2的 正三角形纸板后得到图②,然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板(即其边长为前 1 一块被剪掉正三角形纸板边长的2)后,得图③,④,?,记第 n(n≥3) 块纸板的周长为 Pn,则 Pn-Pn-1= .

?
① 2 ② ③ ④



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