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2011年上海市静安区中考数学二模试卷


2011 年上海市静安区中考数学二模试卷
小题, 一、选择题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 选择题( 1.下列各数中与 A. B. 相等的是( ) C. D.

2.不等式组 A.x>﹣2

的解集是( B.x>﹣1

) C.x<﹣1 D.﹣2<x<﹣1

3.下列问题中,两个变量成反比例的是( ) A.长方形的周长确定,它的长与宽 B.长方形的长确定,它的周长与宽 的长与宽 D.长方形的长确定,它的面积与宽 4.一支篮球队准备购买 10 双运动鞋,各种尺码统计如下表: 尺码(厘米) 购买量(双) 25 1 25.5 1 26 2 26.5 4 27 2 C.26.5 厘米,26 厘米

C.长方形的面积确定,它

则这 10 双运动鞋尺码的众数和中位数分别为( ) A.26 厘米,26 厘米 B.26.5 厘米,26.5 厘米 5.三角形的重心是三角形的( ) A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 线的交点 6. (2002?泸州)下列图形中,不是中心对称图形的是(

D.26 厘米,26.5 厘米

C.三边垂直平分线的交点

D.三条高所在直



A.

B.

C.

D.

小题, 二、填空题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 填空题( 7.计算: = _________ .

8.化简:

= _________ .

9.如果方程 x ﹣(2m﹣1)x+m =0 有两个实数根,那么 m 的取值范围是 _________ . 10.将二元二次方程 x ﹣6xy+5x=0 化为二个一次方程为 _________ . 11.如果函数 y=kx(k 为常数)的图象经过点(﹣1,﹣2) ,那么 y 随着 x 的增大而 _________ .
2

2

2

12.如果

,那么

= _________ .

13. (2010?怀化)在一个袋中,装有五个除数字外其它完全相同的小球,球面上分别标有 1、2、3、4、5 这 5 个数 字,从中任摸一个球,球面数字是奇数的概率是 _________ . 14.为了了解某校九年级学生的身体素质情况,在该校九年级随机抽取 50 位学生进行一分钟跳绳次数测试,以测 试数据为样本,绘制出频数分布直方图(如图,每组数据可含最小值,不含最大值) ,如果在一分钟内跳绳次数少 于 120 次的为不合格,那么可以估计该校九年级 300 名学生中跳绳不合格的人数为 _________ .

15.正五边形每个外角的度数是 _________ .

16.在△ABC 中,点 D 在边 BC 上,BD=2CD,

,那么

= _________ .

17.已知⊙O1 与⊙O2 两圆内含,O1O2=3,⊙O1 的半径为 5,那么⊙O2 的半径 r 的取值范围是 _________ . 18.在△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=2,△ABC 绕着点 C 旋转后,点 B 落在 AC 边上的点 B′,点 A 落在点 A′,那么 tan∠AA′B′的值为 _________ . 小题, 三、解答题(共 7 小题,满分 78 分) 解答题( 19.化简: ,并求当 时的值.

20.解方程:



21.已知:如图,在梯形 ABCD 中,DC∥AB,AD=BC,BD 平分∠ABC,∠A=60°. 求: (1)求∠CDB 的度数; (2)当 AD=2 时,求对角线 BD 的长和梯形 ABCD 的面积.

22.A、B 两城间的公路长为 450 千米,甲、乙两车同时从 A 城出发沿这一公路驶向 B 城,甲车到达 B 城 1 小时后 沿原路返回.如图是它们离 A 城的路程 y(千米)与行驶时间 x(小时)之间的函数图象. (1)求甲车返回过程中 y 与 x 之间的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)乙车行驶 6 小时与返回的甲车相遇,求乙车的行驶速度.

23.已知:如图,在∴ ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,CE、AF 与对角线 BD 分别相交于点 G、H. (1)求证:DH=HG=BG; (2)如果 AD⊥BD,求证:四边形 EGFH 是菱形.

24. 如图, 二次函数 y=ax +bx+2 的图象与 x 轴、 轴的交点分别为 A、 点 C 在这个二次函数的图象上, y B, 且∠ABC=90°, ∠CAB=∠BAO, .

2

(1)求点 A 的坐标; (2)求这个二次函数的解析式.

25.如图,在半径为 5 的⊙O 中,点 A、B 在⊙O 上,∠AOB=90°,点 C 是弧 AB 上的一个动点,AC 与 OB 的延 长线相交于点 D,设 AC=x,BD=y. (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域; (2)如果⊙O1 与⊙O 相交于点 A、C,且⊙O1 与⊙O 的圆心距为 2,当 BD= OB 时,求⊙O1 的半径; (3)是否存在点 C,使得△DCB∽△DOC?如果存在,请证明;如果不存在,请简要说明理由.

2011 年上海市静安区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
小题, 一、选择题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 选择题( 1.下列各数中与 A. B. 相等的是( ) C. D.

考点:负整数指数幂。 专题:计算题。 分析:根据负指数幂的运算法则计算即可判断. = =

解答:解: 故选 C.



点评:本题主要考查了负整数指数幂的运算.需注意的知识点是:a =

﹣p



2.不等式组

的解集是(



A.x>﹣2 B.x>﹣1 C.x<﹣1 D.﹣2<x<﹣1 考点:不等式的解集。 专题:计算题。 分析:先解出不等式的解集,根据不等式组的解集的定义,即可作出选择. 解答:解:由不等式﹣x>1, 解得:x<﹣1, ∴不等式组的解集为﹣2<x<﹣1. 故选 D. 点评:本题考查了不等式组的解集,解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的 方向改变. 3.下列问题中,两个变量成反比例的是( ) A.长方形的周长确定,它的长与宽 B.长方形的长确定,它的周长与宽 C.长方形的面积确定,它 的长与宽 D.长方形的长确定,它的面积与宽 考点:反比例函数的定义。 专题:推理填空题。 分析:根据反比例函数的定义解答.例如:在本题中,长方形的面积=长×宽,即长和宽的乘积为定值,所以根据反 比例的概念应该是长和宽成反比例;长方形的周长=2×(长+宽) ,即长和宽的和为定值,所以根据正比例的概念应 该是长和宽成正比例. 解答: 解: 长方形的周长=2× A、 (长+宽) 即长和宽的和为定值, , 所以根据正比例的概念应该是长和宽成正比例. 故 本选项错误; B、长方形的周长=2×(长+宽) ,所以,长= ﹣宽,即周长的一半长和宽的和为定值,所以根据正比例的概念应

该是周长和宽成正比例.故本选项错误; C、长方形的面积=长×宽,即长和宽的乘积为定值,所以根据反比例的概念应该是长和宽成反比例;故本选项正确;

D、长方形的面积=长×宽,即长和宽的乘积为定值,所以根据正比例的概念应该是长和宽成正比例;故本选项错误; 故选 C. 点评:本题考查了反比例函数的定义和方程式的变形,涉及的知识面比较广.反比例函数解析式的一般形式 (k≠0) ,也可转化为 y=kx (k≠0)的形式,特别注意不要忽略 k≠0 这个条件. 4.一支篮球队准备购买 10 双运动鞋,各种尺码统计如下表: 尺码(厘米) 购买量(双) 25 1 25.5 1 26 2 26.5 4 27 2
﹣1

则这 10 双运动鞋尺码的众数和中位数分别为( ) A.26 厘米,26 厘米 B.26.5 厘米,26.5 厘米 C.26.5 厘米,26 厘米 D.26 厘米,26.5 厘米 考点:众数;中位数。 专题:计算题;图表型。 分析:由于众数是一组数据中出现次数最多的数据,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最 中间的那个数(最中间两个数的平均数) ,叫做这组数据的中位数,利用这两个定义即可求解. 解答:解:∵准备购买 10 双运动鞋, ∴根据表格数据知道这 10 双运动鞋尺码的众数和中位数分别为 2.65 厘米、26.5 厘米. 故选 B. 点评:本题为统计题,主要考查了众数与中位数的意义,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后, 最中间的那个数(最中间两个数的平均数) ,叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按 要求重新排列,就会出错. 5.三角形的重心是三角形的( ) A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边垂直平分线的交点 线的交点 考点:三角形的重心。 分析:根据三角形的重心的画法矩形判断. 解答:解:A、三条中线的交于一点,这一点是三角形的重心; B、三条角平分线的交于一点,这一点是三角形的内心; C、三边垂直平分线的交于一点,这一点是三角形的外心; D、三条高所在直线的交于一点,这一点是三角形的垂心. 故选 A. 点评:本题考查了三角形重心的概念,明确重心的画法是解题的关键. 6. (2002?泸州)下列图形中,不是中心对称图形的是(

D.三条高所在直



A.

B.

C.

D.

考点:中心对称图形;生活中的旋转现象。 分析:根据中心对称图形的概念,即可求解. 解答:解:中心对称图形,即把一个图形绕一个点旋转 180°后能和原来的图形重合,A、C、D 都符合; 不是中心对称图形的只有 B. 故选 B. 点评:本题考查中心对称图形的概念:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转 180 度,旋转后的图形能和原 图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形. 小题, 二、填空题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 填空题( 7.计算: = .

考点:零指数幂。 专题:计算题。 分析:分别根据零指数幂,绝对值的化简法则计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答:解:∵ >1, ∴1﹣ <0, ∴|1﹣ |=﹣(1﹣ )= ﹣1, ∴原式=1+ ﹣1= . 故答案为: . 点评:本题主要考查了零指数幂,绝对值的化简知识.负整数指数为正整数指数的倒数;负数的绝对值等于它的相 反数.

8.化简:

=



考点:分式的加减法。 专题:计算题。 分析:先通分,再按同分母的分式相减的法则进行即可. +

解答:解:原式=



=



故答案为:



点评:本题考查了分式的加减法,注:分式的加减运算中,如果是同分母分式,那么分母不变,把分子直接相加减 即可;如果是异分母分式,则必须先通分,把异分母分式化为同分母分式,然后再相加减.
2 2

9.如果方程 x ﹣(2m﹣1)x+m =0 有两个实数根,那么 m 的取值范围是 考点:根的判别式。 2 2 2 分析:根据方程 x ﹣(2m﹣1)x+m =0 有两个实数根,必须满足△=b ﹣4ac≥0. 解答:解:由题意得:[﹣(2m﹣1)] ﹣4m ≥0,解得 m≤ . 点评:本题考查了一元二次方程根的判别式的应用. 10.将二元二次方程 x ﹣6xy+5x=0 化为二个一次方程为 x=0,x﹣6y+5=0 . 考点:因式分解的应用。 专题:因式分解。 分析:把方程的左边提取公因式法分解因式即可求解.
2 2 2 2



解答:解:∵x ﹣6xy+5x=0, ∴x(x﹣6y+5)=0, ∴x=0,x﹣6y+5=0. 故答案为:x﹣6y+5=0,x=0. 点评:此题主要考查了因式分解的应用,解题时只要把方程利用提取公因式法分解因式即可解决问题.

11.如果函数 y=kx(k 为常数)的图象经过点(﹣1,﹣2) ,那么 y 随着 x 的增大而 增大 . 考点:正比例函数的性质。 分析:根据函数的图象经过点(﹣1,﹣2) ,用代入法,求出 k 的值,然后根据正比例函数的性质可判断增减性. 解答:解:∵函数 y=kx 的图象经过点(﹣1,﹣2) , ∴﹣2=﹣1×k 即 k=2, ∵k>0 ∴y 随着 x 的增大而增大. 故填:增大. 点评:本题主要考查的是用代入法确定一次函数的解析式,然后根据正比例函数的性质判断增减性.

12.如果

,那么

= 2 .

考点:换元法解一元二次方程。 专题:换元法。 分析:首先设 =t(t≥1) .然后解关于 t 的一元二次方程即可. 解答:解:设 =t(t≥1) .则 2 t ﹣t﹣2=0,即(t+1) (t﹣2)=0, ∴t+1=0,或 t﹣2=0, ∴t=﹣1(不合题意,舍去) ,或 t=2; =2. 即 故答案为:2. 点评:本题考查了换元法解一元二次方程.换元法是借助引进辅助元素,将问题进行转化的一种解题方法.这种方 法在解题过程中,把某个式子看作一个整体,用一个字母去代表它,实行等量替换.这样做,常能使问题化繁为简, 化难为易,形象直观. 13. (2010?怀化)在一个袋中,装有五个除数字外其它完全相同的小球,球面上分别标有 1、2、3、4、5 这 5 个数 字,从中任摸一个球,球面数字是奇数的概率是 .

考点:概率公式。 分析:让袋中奇数的个数除以数的总个数即为所求的概率. 解答:解:∵共有 5 个数字,这 5 个数字中是奇数的有:1、3、5 共 3 个, ∴从中任摸一个球,球面数字是奇数的概率是 . 点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果, 那么事件 A 的概率 P(A)= .

14.为了了解某校九年级学生的身体素质情况,在该校九年级随机抽取 50 位学生进行一分钟跳绳次数测试,以测 试数据为样本,绘制出频数分布直方图(如图,每组数据可含最小值,不含最大值) ,如果在一分钟内跳绳次数少 于 120 次的为不合格,那么可以估计该校九年级 300 名学生中跳绳不合格的人数为 72 .

考点:频数(率)分布直方图。 专题:数形结合。 分析:本题应先求出一分钟内跳绳次数少于 120 次的学生人数,进而求出这 50 名同学不及格的频率,在用样本估 计总体的方法求出该校九年级 300 名学生中跳绳不合格的人数即可解答. 解答:解:由频数分布直方图可知,这 50 名同学中不及格的学生数为 4+8=12, 频率为 12÷50=0.24. 该校九年级 300 名学生中跳绳不合格的人数约有 300×0.24=72. 故答案为:72. 点评:本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.本题用到的知识点是:频率=频数÷总数, 用样本估计整体让整体×样本的百分比即可. 15.正五边形每个外角的度数是 72° . 考点:多边形内角与外角。 专题:计算题。 分析:利用正五边形的外角和等于 360 度,除以边数即可求出答案. 解答:解:360°÷5=72°. 故答案为:72°. 点评:本题主要考查了多边形的外角和定理,任何一个多边形的外角和都是 360°.

16.在△ABC 中,点 D 在边 BC 上,BD=2CD, 考点:*平面向量。 专题:计算题;数形结合。 分析:首先利用平行四边形法则,求得 解答:解:∵ ,

,那么

=



的值,再由 BD=2CD,求得

的值,即可求得

的值.



=



= ﹣ ,

∵BD=2CD, ∴ = = + = ( ﹣ ) , = + ( ﹣ )= + +





故答案为:



点评:此题考查了平面向量的知识,解此题的关键是注意平行四边形法则与数形结合思想的应用. 17.已知⊙O1 与⊙O2 两圆内含,O1O2=3,⊙O1 的半径为 5,那么⊙O2 的半径 r 的取值范围是 0<r<2 或 r>8 . 考点:圆与圆的位置关系。 专题:常规题型。 分析:首先由题意知⊙O1 与⊙O2 两圆内含,则知两圆圆心距 d<R﹣r,分两种情况进行讨论. 解答:解:根据题意两圆内含, 故知 r﹣5>3 或者 5﹣r>3, 解得 0<r<2 或 r>8. 故答案为:0<r<2 或 r>8. 点评:本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法.两圆外离,则 P>R+r;外切,则 P=R+r;相交,则 R ﹣r<P<R+r;内切,则 P=R﹣r;内含,则 P<R﹣r. 18.在△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=2,△ABC 绕着点 C 旋转后,点 B 落在 AC 边上的点 B′,点 A 落在点 A′,那么 tan∠AA′B′的值为 .

考点:旋转的性质;锐角三角函数的定义。 专题:计算题。 分析:根据题意画出图形,利用旋转不变性得到相等的量,根据勾股定理和正切函数的定义解答. 解答:解:如图,作 B′D⊥AA′. 在 Rt△ACA′中, AA′= =4 ,

于是 AA′?DB′+ CB′?CA′= AC?CA′, ∴4 DB′+2×4=4×4, 解得 DB′= . 又∵A′B′=AB= =2 . =3 = .

∴A′D=



∴tan∠AA′B′=

故答案为 .

点评:此题考查了旋转的性质和勾股定理,利用面积法求出三角形的高是常用的方法,也是解答此题的关键. 小题, 三、解答题(共 7 小题,满分 78 分) 解答题( 19.化简: ,并求当 时的值.

考点:二次根式的化简求值。 专题:计算题。

分析:先将

,再进行加减,化为最简后,将

代入求值即可.

解答:解:原式=



=





时,原式=



点评:本题是基础题,考查了二次根式的化简和求值,是基础知识要熟练掌握,

20.解方程:



考点:解分式方程。 专题:计算题。 分析:观察可得最简公分母是(x+2) (x﹣2) ,方程两边乘以最简公分母,可以把分式方程化为整式方程,再求解. 2 解答:解:方程两边同乘(x+2) (x﹣2) ,得 3+2(x﹣2)=x ﹣4, 2 整理,得 x ﹣2x﹣3=0, ∴(x+1) (x﹣3)=0, ∴x1=﹣1,x2=3. 经检验:x=﹣1,x=3 都是原方程的根. 所以原方程的根是 x1=﹣1,x2=3. 点评: 本题考查解分式方程的能力. 解分式方程的基本思想是“转化思想”, (1) 把分式方程转化为整式方程求解. (2) 解分式方程一定注意要验根. 21.已知:如图,在梯形 ABCD 中,DC∥AB,AD=BC,BD 平分∠ABC,∠A=60°. 求: (1)求∠CDB 的度数; (2)当 AD=2 时,求对角线 BD 的长和梯形 ABCD 的面积.

考点:解直角三角形;梯形。 专题:计算题;数形结合。 分析: (1)由平行线及角平分线的性质可得∠CDB=∠ABD= ∠ABC,根据等腰梯形两底角相等的性质可得∠CDB 的具体度数; (2)利用 30°的正切值可得 BD 的长度,也就求得了 AB 的长度,利用 60°正弦值可得梯形的高,进而利用梯形的 面积公式可得梯形的面积. 解答:解: (1)∵在梯形 ABCD 中,DC∥AB,AD=BC,∠A=60°, ∴∠CBA=∠A=60°. 分) (1 ∵BD 平分∠ABC, ∴∠CDB=∠ABD= ∠CBA=30°, 分) (2

(2)

在△ABD 中,∵∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=90°. 分) (1 ∴BD=AD?tanA=2tan60°=2 . 分) (1 过点 D 作 DH⊥AB,垂足为 H, 分) (1 ∴DH=AD?sinA=2sin60°= . 分) (1 ∵∠CDB=∠CBD= ∠CBD=30°,∴DC=BC=AD=2. 分) (1 ∵AB=2AD=4, 分) (1 ∴S 梯形 ABCD= (AB+CD)DH= ×(4+2)× =3 (1 分) .

点评:综合考查了解直角三角形的知识及梯形的性质;利用或构造特殊的直角三角形是解决本题的关键. 22.A、B 两城间的公路长为 450 千米,甲、乙两车同时从 A 城出发沿这一公路驶向 B 城,甲车到达 B 城 1 小时后 沿原路返回.如图是它们离 A 城的路程 y(千米)与行驶时间 x(小时)之间的函数图象. (1)求甲车返回过程中 y 与 x 之间的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)乙车行驶 6 小时与返回的甲车相遇,求乙车的行驶速度.

考点:一次函数的应用。 分析: (1)设出一次函数解析式,代入图象上的两个点的坐标,即可解答; (2)把 x=6 代入(1)中的函数解析式,求得路程(甲、乙距 A 城的距离) ,进一步求得速度即可解答.

解答:解: (1)设甲车返回过程中 y 与 x 之间的函数解析式 y=kx+b, ∵图象过(5,450)(10,0)两点, ,





解得



∴y=﹣90x+900. 函数的定义域为 5≤x≤10; (2)当 x=6 时,y=﹣90×6+900=360, (千米/小时) . 点评:此题主要考查利用待定系数法求函数解析式,以及基本数量关系:路程÷时间=速度,解答时注意数形结合. 23.已知:如图,在∴ ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,CE、AF 与对角线 BD 分别相交于点 G、H. (1)求证:DH=HG=BG; (2)如果 AD⊥BD,求证:四边形 EGFH 是菱形.

考点:三角形中位线定理;平行四边形的性质;菱形的判定。 专题:证明题。 分析: (1)根据 AB∥CD,利用平行线分线段成比例定理即可求证 .则 DH= BD,BG= BD,即可

求证; (2)连接 EF,交 BD 于点 O,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形 EGFH 是平行四边形, 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求证. 解答:证明: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD. 分) (1 ∵点 E、F 分别是 AB、CD 的中点, ∴ . 分) (2

∴DH=

. 分) (1

同理:BG=

. 分) (1

∴DH=HG=GB=

. 分) (1

(2)连接 EF,交 BD 于点 O. 分) (1 ∵AB∥CD,AB=CD,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,



. 分) (1

∴FO=EO,DO=BO. 分) (1

∵DH=GB, ∴OH=OG. ∴四边形 EGFH 是平行四边形. 分) (1 ∵点 E、O 分别是 AB、BD 的中点,∴OE∥AD. ∵AD⊥BD,∴EF⊥GH. 分) (1 ∴∴ HEGF 是菱形. 分) (1

点评:本题主要考查了平行线分线段成比例定理,以及菱形的判定,正确理解定理是解决本题的关键. 24. 如图, 二次函数 y=ax +bx+2 的图象与 x 轴、 轴的交点分别为 A、 点 C 在这个二次函数的图象上, y B, 且∠ABC=90°, ∠CAB=∠BAO, .
2

(1)求点 A 的坐标; (2)求这个二次函数的解析式.

考点:二次函数综合题。 专题:数形结合。 2 分析: (1)首先根据二次函数 y=ax +bx+2 的 y 轴的交点 B,确定出 B 点的坐标值(即可知线段 OB 的长) .再利用 三角函数 ,求得线段 OA 的长,进而确定出 A 点的坐标值.

(2)由(1)知 A 点的坐标值,再求得 C 点的坐标值,联立组成方程组即可解得 a、b 的值.要求 C 点的值,因而 过点 C 作 CD⊥y 轴,垂足为 D.首先证得 Rt△CDB∽Rt△BOA,利用相似三角形的性质求得 CD、DB 的长,进而 得到 C 点的坐标值. 2 解答:解: (1)二次函数 y=ax +bx+2 的图象 y 轴的交点为 B(0,2)(1 分) , 在 Rt△AOB 中, ∵OB=2, , 分) (1

∴OA=4, ∴点 A 的坐标(4,0)(1 分) . (2)过点 C 作 CD⊥y 轴,垂足为 D, 分) (1 ∵∠CDB=∠ABC=∠AOB=90°, ∴∠CBD=180°﹣∠ABC﹣∠ABO=90°﹣∠ABO=∠BAO. 分) (1 ∴△CDB∽△BOA, 分) (1 ∵∠CAB=∠BAO, ∴ , 分) (1



. 分) (1

∵OB=2, ∴CD=1,BD=2, ∴OD=4. ∴C(1,4)(1 分) . ∵点 A、C 在二次函数 y=ax +bx+2 的图象上, ∴ (1 分)
2



(1 分)

∴二次函数解析式为

. 分) (1

点评:本题是一道二次函数的综合题,主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、相似三角形的判 定与性质、三角函数等知识点.另外巧妙添加辅助线 CD 构造直角三角形,也是解题成功的一个关键因素;该题也 是数形结合数学思想的典型题例. 25.如图,在半径为 5 的⊙O 中,点 A、B 在⊙O 上,∠AOB=90°,点 C 是弧 AB 上的一个动点,AC 与 OB 的延 长线相交于点 D,设 AC=x,BD=y. (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域; (2)如果⊙O1 与⊙O 相交于点 A、C,且⊙O1 与⊙O 的圆心距为 2,当 BD= OB 时,求⊙O1 的半径; (3)是否存在点 C,使得△DCB∽△DOC?如果存在,请证明;如果不存在,请简要说明理由.

考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆与圆的位置关系。 专题:代数几何综合题;分类讨论。 分析: (1)过⊙O 的圆心作 OE⊥AC,垂足为 E.通过证明△ODE∽△AOE 求得 代入求得 y 关于 x 的函数解析式,再由函数的性质求其定义域; (2)当 BD= OB 时,根据(1)的函数关系式求得 y= ,x=6.分两种情况来解答 O1A 的值①当点 O1 在线段 OE 上时,O1E=OE﹣OO1=2;②当点 O1 在线段 EO 的延长线上时,O1E=OE+OO1=6; ,然后将相关线段的长度

(3)当点 C 为 AB 的中点时,∠BOC=∠AOC= ∠AOB=45°,∠OCA=∠OCB=

,然后由三角

形的内角和定理求得 ∠DCB=45°,由等量代换求得∠DCB=∠BOC.根据相似三角形的判定定理 AA 证明△DCB∽△DOC. 解答:解: (1)过⊙O 的圆心作 OE⊥AC,垂足为 E, ∴AE= ,OE= .

∵∠DEO=∠AOB=90°,∴∠D=90°﹣∠EOD=∠AOE,∴△ODE∽△AOE. ∴ ,∵OD=y+5,∴ .

∴y 关于 x 的函数解析式为: 定义域为: . 分) (1



(2)当 BD= OB 时, ∴x=6. ∴AE= ,OE=







当点 O1 在线段 OE 上时,O1E=OE﹣OO1=2, 当点 O1 在线段 EO 的延长线上时,O1E=OE+OO1=6, ⊙O1 的半径为 或 .





(3)存在,当点 C 为 证明如下:∵当点 C 为

的中点时,△DCB∽△DOC. 的中点时,∠BOC=∠AOC= ∠AOB=45°,

又∵OA=OC=OB,∴∠OCA=∠OCB= ∴∠DCB=180°﹣∠OCA﹣∠OCB=45°. ∴∠DCB=∠BOC.又∵∠D=∠D,∴△DCB∽△DOC. ∴存在点 C,使得△DCB∽△DOC.



点评:本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理.此题很复杂,解答此题的关键是作出辅助线 OE⊥AC,利用 相似三角形的判定定理及性质解答,解答(2)时注意分两种情况讨论,不要漏解.

参与本试卷答题和审题的老师有: 张海;zhjh;137-hui;73zzx;lbz;bjy;liumei;Liuzhx;HLing;nhx600;zhangCF;lanchong;王金铸;zcx;zhqd; 疯跑的蜗牛;CJX;ZJX。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 4 月 6 日


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