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高一数学知识点归纳:集合与函数概念

高一数学知识点归纳:集合与函数概念 高一数学知识点归纳:集合与函数概念 集合是具有某种特定性质的事物的总体。这里的 “事物 ” 可以是 人,物品,也可以是数学元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一 起;使聚集:紧急~。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学 元素:有理数的~。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念, 如集合论:集合是现代数学的基本概念,专门研究集合的理论叫做集 合论。康托(antr,GFP,184 年—1918 年,德国数学家先驱,是集 合论的创始者, 目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领 域。 集合与函数概念结构图 集合,在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念 是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念,可通过直观、公理 的方法下“定义”。集合 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对 象汇合在一起,使之成为一个整体(或称为单体) ,这一整体就是集 合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元) 。 元素与集合的关系 元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。 集合与集合之间的关系 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号,含有有限 个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集,空集是不含任何元素的 集,记做 Φ。空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集。任何 集合是它本身的子集。子集,真子集都具有传递性。 『说明一下:如 果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素, 则 A 称作是 B 的子集, 写作 A?B。若 A 是 B 的子集,且 A 不等于 B,则 A 称作是 B 的真 子集,一般写作 A?B。中学教材本里将?符号下加了一个≠符号(如 右图) ,不要混淆,考试时还是要以本为准。所有男人的集合是所有 人的集合的真子集。 』 集合的几种运算法则 并集:以属于 A 或属于 B 的元素为元素的集合称为 A 与 B 的 并(集) ,记作 A∪B(或 B∪A) ,读作“A 并 B”(或“B 并 A”) ,即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}交集:以属于 A 且属于 B 的元差集表示 素为元素的集合称为 A 与 B 的交 (集) , 记作 A∩B (或 B∩A) , 读作“A 交 B”(或“B 交 A”) ,即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}例如,全 集 U={1,2,3,4,}A={1,3,}B={1,2,}。那么因为 A 和 B 中 都有 1, ,所以 A∩B={1,}。再看看,他们两个中含有 1,2,3,这 些个元素,不管多少,反正不是你有,就是我有。那么说 A∪B={1, 2,3,}。图中的阴影部分就是 A∩B。有趣的是;例如在 1 到 10 中 不是 3, ,7 的整倍数的数有多少个。结果是 3, ,7 每项减集合 1 再相乘。48 个。对称差集:设 A,B 为集合,A 与 B 的对称 差集 A?B 定义为:A?B=(A-B)∪(B-A)例如:A={a,b,}, B={b,d},则 A?B={a, ,d}对称差运算的另一种定义是:A?B=(A ∪B)-(A∩B)无限集:定义:集合里含有无限个元素的集合叫做无 限集有限集:令 N*是正整数的全体,且 N_n={1,2,3,……,n}, 如果存在一个正整数 n,使得集合 A 与 N_n 一一对应,那么 A 叫做 有限集合。差:以属于 A 而不属于 B 的元素为元素的集合称为 A 与 B 的差(集) 。记作 aB={x│x∈A,x 不属于 B}。注:空集包含于任 何集合, 但不能说“空集属于任何集合”补集: 是从差集中引出的概念, 指属于全集 U 不属于集合 A 的元素组成的集合称为集合 A 的补集, 记作 uA,即 uA={x|x∈U,且 x 不属于 A}空集也被认为是有限集合。 例如,全集 U={1,2,3,4,}而 A={1,2,}那么全集有而 A 中没 有的 3,4 就是 uA,是 A 的补集。uA={3,4}。在信息技术当中,常 常把 uA 写成~A。 集合元素的性质 1 确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有 确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成 集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。2 独立性: 集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。3 互异性:集 合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1,1,2},等同于{1, 2}。互异性使集合中的元素是没有重复,两个相同的对象在同一个集 合中时,只能算作这个集合的一个元素。4 无序性:{a,b,}{,b, a}是同一个集合。纯粹性:所谓集合的纯粹性,用个例子表示。集合 A={x|x<2},集合 A 中所有的元素都要符合 x<2,这就是集合纯 粹性。6 完备性:仍用上面的例子,所有符合 x<2 的数都在集合 A 中,这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。 集合有以下性质 若 A 包含于 B,则 A∩B=A,A∪B=B 集合的表示方法 集合常用大写拉丁字母表示,如: A,B,…而对于集合中的 元素则用小写的拉丁字母表示,如:a,b,…拉丁字母只是相当于集 合的名字,没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一 个等式表示的,例如:A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母, 右边花括号括起的,括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。1 列举法﹕常用于表示有限集合, 把集合中的所有元素一一列举出﹐写在大括号内﹐这种表示集合的 方法叫做列举法。{1,2,3,……}2 描述法﹕常用于表示无限集合, 把集合中元素的公共属性用字﹐符号或式子等描述出﹐写在大括号 内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x 为该集合的元素的一 般形式,P 为这个集合的元素的共同属性)如:小于 π 的正实数组成 的集合表示为:{x|0<x<π}3 图示法(Venn 图)﹕为了形象表示 集合,我们常常画一条封闭的曲


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