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1.1.3.2 球的体积和表面积


1.3.2

球的体积和表面积

1.掌握球的体积、表面积公式. 2.会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题,培养学 生应用数学的能力.

3.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与
“外切”的几何体问题. 重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基 本思想方法. 难点:推导球的体积和面积公式中空间想象能力的形成.

地球我们可以近似看成一个球体

圆柱

S ? 2?r (r ? l )

柱体、锥体、台体的 表面积

r ? r?
圆台 S

? ? (r ?2 ? r 2 ? r ?l ? rl )

展开图

圆锥

r? ? 0 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和

柱体 V ? Sh

S ? S'
柱体、锥体、台 体的体积
1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 台体 3

S' ? 0
1 锥体V ? Sh 3

球是一个旋转体,它也有表面积和体积,怎样求一个球的 表面积和体积也就是我们学习的内容.

怎样求球的体积?

怎样求球的体积?

m m ? rV ?V ? r

实验:排液法测小球的体积

h

实验:排液法测小球的体积

h

实验:排液法测小球的体积

h

实验:排液法测小球的体积

h

实验:排液法测小球 的体积

h

实验:排液法测小球的体积

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实验:排液法测小球的体积

h

实验:排液法测小球的体积

小球的体积
等于它排开 H h 液体的体积

割圆术 早在公元三世纪,我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而 发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式不断增加圆内接正

多边形的边数,使其面积与圆的面积之差更小,即所谓“割之
弥细,所失弥小”.这样重复下去,就达到了“割之又割,以 至于不可再割,则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的 “极限”思想.

A

球体的分割

O

球体由N个这样的形状组成

这样可以求出球体体积为

4 3 V ? ?R 3

球的表面积
球面被分割成n个网格,表面积分别为:

?S1,?S2,?S3 ,?, ?Sn
则球的表面积: O

S ? ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ? ? ?Sn

?Si
O

?Vi

球的表面积是大圆 面积的4倍

半径是

R 的球的表面积:

S ? 4? R

2

球的体积与表面积
1.球的体积公式: V ?

4? 3 R . 3

2 2.球的表面积公式: S ? 4?R .

例1:如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证: (1)球的体积等于圆柱体积的 2 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.
3

证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R.

4 3 2 因为 V球 = p R ,V 圆柱 = p R ?2 R 3 2 所以, V球 = V 圆柱 3
(2)因为 S球 = 4p R2 ,

2p R3

S 圆柱侧= 2p R ?2 R
所以, S球 = S 圆柱侧.

4p R 2 ,

(2010·新课标全国卷)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所 有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面 积为( )

(A)π a2
(C) 11π a2 3

(B) 7 π a2
(D)5π a2
3

【解题提示】这是一个组合体问题,解答此题只需画出 三棱柱的直观图,弄清球心位置求出球的半径即可.

【解析】选B.由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱 与底面边长相等,均为a.

如图,设O、O1分别为下、上底面中心,且球心O2为
O1O的中点,
3 又AD= 3 a,AO= a,

a ,设球的半径为R, 2 1 2 1 2 7 2 则 R 2 =AO2 = a + a = a . 2 3 4 12 ∴S球= 4?R 2 =4?? 7 a 2 = 7 ?a 2 . 12 3

2

3

OO2=

1.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4 cm,这个球 的体积为___ 32 3? cm3. 2.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各

侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比
_________. 1: 2 2 :3 3

3.(2010·湖北高考)圆柱形容器内部盛有高度
为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径 与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上 面的球(如图所示),则球的半径是 ______cm. 【解析】设球的半径为r,则 4 3 2 ?r ? 6r= ?r ? 3+8 ? ?r 2 , 3 解得r=4. 答案:4

4.一个球的半径扩大到原来的3倍,则其表面积扩大到

原来的 ______倍,体积扩大到原来的 ______倍.
解:设球原来的半径为R,表面积为S表,体积为V,则

扩大后的半径为3R,表面积为S′表,体积为V′,



S? 4?(3R) 表 = =9, 2 S表 4?R
2

答案:9

27

4 3 ? (3R) V? 3 = =27. 4 3 V ?R 3

熟练掌握球的体积、表面积公式:

4 3 V ? ?R 3 S ? 4?R 2



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