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高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.8知识点总结含同步练习及答案


高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 导数及其应用 1.8利用导数研究函数的图像与性质(补充)

一、学习任务
巩固和加深导数在函数中的应用,掌握利用导数研究函数的图象与性质.

二、知识清单
利用导数研究函数的图象与性 质

三、知识讲解
1.利用导数研究函数的图象与性质 描述: 利用导数来处理两个函数的位置关系、交点个数及函数的零点等问题. 例题: 设 L 为曲线 C :y =

(1)求 L 的方程; (2)证明:除切点 (1, 0) 之外,曲线 C 在直线 L 下方. 解:(1)设

ln x 在点 (1, 0) 处的切线. x

f (x) =


ln x , x

f ′ (x) =

1 ? ln x . x2

所以 f ′ (1) = 1,所以 L 的方程为 y = x ? 1 . (2)证明:法一:令 f (x) = x(x ? 1) ? ln x,(x > 0). 曲线 C 在直线 L 的下方,即

f (x) = x(x ? 1) ? ln x > 0,


f ′ (x) = 2x ? 1 ?

(2x + 1)(x ? 1) 1 = , x x

所以 f (x) 在 (0, 1) 上单调递减,在 (1, +∞) 上单调递增,又 f (1) = 0 ,所以 x ∈ (0, 1)

(0, 1) (1, +∞) f (1) = 0 x ∈ (0, 1) ln x ln x 时,f (x) > 0 ,即 < x ? 1 ;x ∈ (1, + ∞) 时,f (x) > 0 ,即 < x ? 1. x x 即除切点 (1, 0) 之外,曲线 C 在直线 L 的下方.
法二:

f (x)

g(x) = x ? 1 ? f (x),
则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于

g(x) > 0(?x > 0, x ≠ 1). g(x) 满足 g(1) = 0 ,且 g ′ (x) = 1 ? f ′ (x) = x2 ? 1 + ln x . x2
单调递减;当 x > 1

当 0 < x < 1 时,x 2 ? 1 < 0,ln x < 0,所以 g ′ (x) < 0,故 g(x) 时,x2 ? 1 > 0,ln x > 0,所以

g ′ (x) > 0,
故 g(x) 单调递增.所以

g(x) > g(1) = 0(?x > 0, x ≠ 1).
所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 设函数 f (x) = x 3 ? 6x + 5 ,(x ∈ R). (1)求函数 f (x) 的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f (x) = a 有三个不同实根,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f ′ (x) = 3x 2 ? 6,令

f ′ (x) = 0,
解得

x1 = ?√2 , x2 = √2 .
因为当 x > √2 或 x < ?√2 时,f ′ (x) > 0 ;当 ?√2 < x < √2 时,f ′ (x) < 0 ,所以 f (x) 的单调递增区间为 (?∞, ?√2 ),(√2 , +∞) ;单调递减区间为 (?√2 , √2 ). 当 x = ?√2 时,f (x) 有极大值 5 + 4√2 ;当 x = √2 时,f (x) 有极小值 5 ? 4√2 . (2)由(1)知 y = f (x) 的图象的大致形状及走向如图所示,当 5 ? 4√2 < a < 5 + 4√2 时,直线 y = a 与 y = f (x) 的图象有三个不同交点,即方程 f (x) = a 有三个不同的解.

求方程 2x 3 ? 6x 2 + 7 = 0 在区间 (0, 2) 上的根的个数. 解:设

f (x) = 2x3 ? 6x2 + 7, x ∈ (0, 2),


f ′ (x) = 6x2 ? 12x = 6x(x ? 2) < 0(x ∈ (0, 2)),
所以 f (x) = 2x 3 ? 6x 2 + 7 在 (0, 2) 上单调递减,又

f (0) = 7 > 0, f (2) = ?1 < 0,
所以在区间 (0, 2) 上f (x) 的图象与 x 轴只有 1 个交点,即方程 2x3 ? 6x2 + 7 = 0 在区间 (0, 2) 上只有 1 个根.

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 已知函数 y = x 3 ? 3x + c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c = ( A.?2 或 2
答案: A 解析: 记

)
D.?3 或 1

B.?9 或 3

C.?1 或 1

f (x) = x3 ? 3x + c ,则有 f ′ (x) = 3x2 ? 3 .当 x < ?1 或 x > 1 时,f ′ (x) > 0 ;当 ?1 < x < 1 时,f ′ (x) < 0 ,因此函数 f (x) 在 (?∞, ?1) , (1, +∞) 上分别是增函数,在 (?1, 1) 上是减函数,且 f (?1) = c + 2, f (1) = c ? 2.要使函数 f (x) 的图象与 x 轴恰有两个 公共点,结合图形分析可知 f (?1) = 0 或 f (1) = 0 ,即 c = ?2 或 c = 2 .


2. 已知定义在 R 上的函数 y = f (x) 的导函数 f ′ (x) 在 R 上也可导,且其导函数 [f ′ (x)] < 0,则

y = f (x) 的图象可能是下图中的 (

)

A.①②
答案: C 解析: 由


B.①③

C.②③

D.③④

率递减,不难看出图象②③满足这一要求. 3. 函数 y =

[f ′ (x)] < 0,知 f ′ (x) 在 R 上递减,即函数 y = f (x) 的图象上从左到右各点处的切线斜 x ? 2 sin x 的图象大致是 ( 2

)

A.

B.

C.

D.
答案: C 解析: 据已知解析式可得

f (0) = 0 ,即图象经过坐标原点,故排除 A ; x x 又当 x > 2π 时, > π , 2 sin x ? 2 ,即当 x > 2π 时, f (x) = ? 2 sin x > 0 ,故排 2 2
除D; 又当 x > 2π 时, f ′ (x) = 排除B.

1 ? 2 cos x 的符号不确定,即函数在区间 (2π, +∞) 上不单调,故 2

4. 方程 x3 ? 3x + a + 1 = 0 在 x ∈ [?2, +∞) 上有三个不同的实根,则实数 a 的取值范围为 .
答案: 解析:

?3 < a < 1

方程 x 3 ? 3x + a + 1 = 0 对应的函数 f (x) = x3 ? 3x + a + 1 需满足 ? f (?1) > 0, (其中

? f (?2) ? 0, ? f (1) < 0.

?1,1 分别是函数 f (x) 的极大值点和极小值点)

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