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广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:立体几何


广东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 立体几何
一、选择题 1、(潮州市 2016 届高三上期末)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 A、

(8 ? ? ) 3 6 (8 ? 2? ) 3 6 (8 ? ? ) 3 6

B、

C、 6

D、

(9 ? 2? ) 3 6

2、(东莞市 2016 届高三上期末)已知一个几何体的三视图如图所示,图中小正方形的边长为 1, 则该几何体的体积为

(A)

10 3

(B)4

(C)6

(D)10

3、(佛山市 2016 届高三教学质量检测(一))某一简单几何体的三视图如图,则该几何体的外接 球的表面积为( ) A. 13? B. 16? C. 25? D. 27?

4、(广州市 2016 届高三 1 月模拟考试)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是 斜边长为 2 的直角三角形, 俯视图是半径为 1 的四分之一圆周和两条半径, 则这个几何体的体积为 (A)

3 ? 12 3 ? 6 3 ? 4 3 ? 3

(B)

(C)

(D)

5、(惠州市 2016 届高三第三次调研考试)某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长 为 2 的等腰直角三角形,侧视图是边长为 2 的正方形,则此四面体的 四个面中最大面积是( A. 2 2 B.4 C. 2 3 D. 2 6 6、 (揭阳市 2016 届高三上期末)如图 2,网格纸上小正方形是边 长为 1,粗线画出的是一正方 体被截去一部分后所得几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (A)54 (B)162 (C) 54 ? 18 3 (D) 162 ? 18 3 7、(茂名市 2016 届高三第一次高考模拟考试)若某几何体的三 视图(单位: cm )如图所示,则该几何体的体积( ) A. 10cm
3
3



正视图

侧视图

俯视图

B. 20cm C. 30cm

3 3

D. 40cm

8、 (清远市 2016 届高三上期末)一个几何体的三视图如图所示,正视图为直角三角形、侧视图为等 边三角形,俯视图为直角三角形,则该几何体的体积为 A、 3 B、2 3 C、3 3 D、4 3

9、(汕头市 2016 届高三上期末)已知 ? , ? 是两个不同的平面, m, n 是两条不同的直线,给出下列 命题: ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 m // ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; 则 n // ? , n // ? ,其中真命题的个数是 ( ②若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ; ④若 ? ? ? ? m, n // m ,且 n ? ? , n ? ? , )

A.0 B.1 C.2 D.3 10、(汕尾市2016届高三上期末)一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为 ( )

11、(韶关市 2016 届高三 1 月调研)如图,圆柱内有一个直三棱柱,三棱柱的底面在圆柱底面内, 且底面是正三角形.如果三棱柱的体积为 12 3 ,圆柱的底面直径与母线长相等,则圆柱的侧面积为 ( ) A. 12? B. 14? C. 16? D. 18?

12、(湛江市 2016 年普通高考测试(一))一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A、64+8 ? B、64+12 ? C、48+8 ? D、48+12 ?

13、(肇庆市 2016 届高三第二次统测(期末))若某圆柱体的上部挖掉一个半球,下部 挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图 中的正视图和俯视图如图 2 所示,则此 几何体的表面积是 (A) 24? (C) 24? ? 4 2? (B) 24? ? 8 2? (D) 32?

14、(珠海市 2016 届高三上期末)如图,是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图,则此 几何体的体积为( A. ) B.

8? 3 14? 3

16? 3 2? 3

正视图

2 3 左视图

C.

D.

4

俯视图

(第 11 题图)

选择题答案: 1、A 2、C 6、D 7、B 11、C 12、D

3、C 4、A 8、A 9、C 13、C 14、C

5、C 10、A

二、填空题 1、(潮州市 2016 届高三上期末)已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC, SA=AB=1,BC= 2 ,则球 O 的表面积等于____ 2、(揭阳市 2016 届高三上期末)已知正方形 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的一个面 A 1B 1C1 D 1 在半径为 3 的 半球底面上,A、B、C、D 四个顶点都在此半球面上,则正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的体积为 3、 (汕头市 2016 届高三上期末) 如图, 已知点 A、 B、C、 D 是球 O 的球面上四点,DA ? 平面 ABC, AB ? BC,DA=AB=BC= 3 ,则球 O 的体积等于___________.

填空题答案 1、 4? 2、 2 2 3、

9? 2

三、解答题 1、(潮州市 2016 届高三上期末)如图,在四棱锥 B-ACDE 中,AE⊥平面 ABC,CD∥AE,∠ABC =3∠BAC=90°,BF⊥AC 于 F,AC=4CD=4,AE=3。 (I)求证:BE⊥DF; (II)求二面角 B-DE-F 的平面角的余弦值。

2、(东莞市 2016 届高三上期末)已知多面体 ABC-A1B1C1 中,底面△ABC 为等边三角形,边长为 2,AA1⊥平面 ABC,四边形 A1ACC1 为直角梯形,CC1 与平面 ABC 所成的角为 (I)若 P 为 AB 的中点,求证:A1P∥平面 BC1C; (II)求二面角 A1-BC1-C 的余弦值。

? ,AA1=1。 4

3、 (佛山市 2016 届高三教学质量检测(一))如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1C1C ? 侧 面 ABB 1A 1 , AC ? AA 1 ?

2 AB ,

C

C1

?AA1C1 ? 60? , AB ? AA1 , H 为棱

CC1 的中点, D 在棱 BB1 上,
A1 D ? 面 AB1 H .
(1)求证: D 为 BB1 的中点; (2)求二面角 C1 ? A1 D ? A 的余弦值.

A B

A1

D

B1

4、(广州市 2016 届高三 1 月模拟考试)

?BAC ? 120 , 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,AB ? AC ? 2 AA 1,
?

D, D1 分别是线段 BC, B1C1 的中点,过线段 AD 的中点 P 作 BC 的平行线,分别交 AB , AC 于点
M ,N .
(Ⅰ)证明: MN ? 平面 ADD1 A1 ; (Ⅱ)求二面角 A ? A 1M ? N 的余弦值. C1 C N A D1 A1 B1 P D M B

5、(惠州市 2016 届高三第三次调研考试)

PA ? 平面 ABCD , ?ABC ? 60? , 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, E, F
分别是 BC, PC 的中点。 (Ⅰ)证明: AE ? 平面 PAD ; (Ⅱ)取 AB ? 2 ,若 H 为 PD 上的动点, EH 与面 PAD 所成最大 角的正切值为

P

F A B E D

6 ,求二面角 E ? AF ? C 的余弦值。 2

C

6、(揭阳市 2016 届高三上期末)如图 3,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的 等边三角形,D 为 AB 的中点。 (Ⅰ)求证: BC1 //平面 ACD 1 (Ⅱ)若四边形 BCC1B1 是正方形,且 A 1 D 与平面 CBB 1C1 所成角的正弦值。 1D ? 5 ,求直线 A

7、(茂名市 2016 届高三上期末) 如图, ABCD 是平行四边形, EA ? 平面 ABCD ,

PD //EA , BD ? PD ? 2 EA ? 4 ,
AD ? 3 , AB ? 5 . F , G , H 分别为 PB ,
EB , PC 的中点.
(1)求证: DB ? GH ; (2)求平面 FGH 与平面 EBC 所成锐二面角的余弦值。

8、 (清远市 2016 届高三上期末)已知: 如图,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC=BC=2,沿其中位 线 DE 将平面 ADE 折起, 使平面 ADE ⊥平面 BCDE , 得到四棱锥 A ? BCDE , 设 CD 、 BE 、AE 、

AD 的中点分别为 M 、 N 、 P 、 Q .
(1)求证: M 、 N 、 P 、 Q 四点共面; (2)求证:平面 ABC ⊥平面 ACD ; (3)求异面直线 BE 与 MQ 所成的角. A A A P E B C D M C N B

D

E D

Q E

C

E

B

9、(汕头市 2016 届高三上期末)如图,在 Rt△ACD 中,CD=4,AD= 2 3 ,

?CAD ? 90? , 以 CD 为轴, 将△ACD 按逆时针方向旋转 90° 到△BCD 位置,E 为 AD 的中点: (Ⅰ)证明:AB⊥CD (Ⅱ)求二面角 B-CE-D 的平面角的余弦值。

D E

A B C

10、 (汕尾市2016届高三上期末)如图,在四棱锥P—ABCD 中,侧面PAB 为正三角形,侧面PAB⊥ 底面ABCD,E 为PD 的中点,AB⊥AD, BC∥AD,且AB=BC= (1)求证CE⊥PA; (2)求二面角P—CD—A 的余弦值。

1 AD=2. 2

11、(韶关市 2016 届高三 1 月调研) 如图,四边形 ABCD 是矩形, AB ? 1, AD ? 2 , E 是 AD 的中点, BE 与 AC 交于点 F , GF ? 平 面 ABCD . (Ⅰ)求证: AF ? 面 BEG ; (Ⅱ)若 AF ? FG , 求直线 EG 与平面 ABG 所成角的正弦值.
B F D G

C

A

E

12、 (肇庆市 2016 届高三第二次统测 (期末) ) 如图 3, 在多面体 ABCD ? EFG 中,O 是菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点,四边形 ABGF , ADEF 都是矩形. (Ⅰ)证明:平面 ACF⊥平面 BDEG; (Ⅱ)若 ?ABC ? 120?, AB ? 2, AF ? 3 , 求直线 CG 与 AE 所成角的余弦值.

13、(珠海市 2016 届高三上期末)
0 如图,菱形 ABCD 中,?BAD ? 60 ,边长 AB ? 2 ,GE ? 平面 ABCD , HF ? ABCD E、F 分

别是边 AB 、CD 中点, AC 与 BD 交于 O , EG ? FH ? 2 , (1)求证: AB ? BH ; (2)求二面角 C ? OH ? F 的正弦值.
G

H

D O
A

F

C

E

B

解答题参考答案 1、 方法一: (Ⅰ)证明:∵AE⊥平面 ABC, BF ? 平面 ABC. ∴AE⊥BF, ∵BF⊥AC, AE ? AC ? A , ∴BF⊥平面 AEC, DF ? 平面 AEC, ∴BF⊥DF,……………………………………………..…2 分 ∵ ?ABC ? 3?BAC ? 90? ,又 AC ? 4CD ? 4 , ∴ ?BAC ? 30 . CD ? 1 . 1 ? ∴ BC ? AC sin 30 ? 4 ? ? 2 , 2
?

E

D A F B C

19 题图 1 又 BF⊥AC.∴ CF ? BC cos 60 ? 2 ? ? 1 ? CD , 2 又 CD∥AE,AE⊥平面 ABC,∴CD⊥平面 ABC. 又 AC ? 平面 ABC.∴CD⊥AC,∴ ?DFC ? 45? . ? 又 AF ? AC ? CF ? 3 ? AE ,∴ ?EFA ? 45 , ? ∴ ?EFD ? 90 ,即 DF⊥EF.……………………………..…4 分 又 BF ? EF ? F ,BF、 EF ? 平面 BEF. ∴DF⊥平面 BEF, BE ? 平面 BEF. ∴DF⊥BE;………………………………………………………6 分 E (Ⅱ)如图,过点 F 作 FG ? DE 于点 G ,连接 BG . 由(Ⅰ)知 BF⊥平面 AEC,又 DE ? 平面 AEC, (所以 BF ? DE . 又 BF ? FG ? F , BF 、 FG ? 平面 BFG , 所以 DE ? 平面 BFG .又 BG ? 平面 BFG ,) 所以 BG ? FG .(三垂线定理) 故 ?BGF 二面角 B ? DE ? F 的平面角.…………………8 分 A
?

G

D C

F B

在 Rt ?EAF 中, EF ? 在 Rt ?FCD 中, FD ? 在 Rt ?EFD 中, ED ?

EA ? AF ? 3 ? 3 ? 3 2 .
2 2 2 2

FC2 ? CD2 ? 12 ?12 ? 2 .………….……9 分
EF 2 ? FD 2 ? (3 2) 2 ? ( 2) 2 ? 2 5 .

由 EF ? FD ? FG ? ED 得 FG ? 在 Rt ?BFC 中, BF ?

EF ? FD 3 2 ? 2 3 5 .………10 分 ? ? ED 5 2 5

BC 2 ? FC 2 ? 22 ?12 ? 3 . 9 2 30 2 2 在 Rt ?BFG 中, BG ? BF ? FG ? 3 ? ? .……………11 分 5 5

3 5 FG 6 ? 5 ? 所以 cos ?BFG ? . BG 2 30 4 5
∴二面角 B ? DE ? F 的平面角的余弦值为

6 . …….………..………12 分 4

方法二: 过 F 作 Fz // AE ,由 AE⊥平面 ABC 可知 Fz⊥平面 ABC, 又 AC 、 BF ? 平面 ABC,于是 Fz ? AC , Fz ? BF , 又 BF⊥AC,∴BF、AC、Fz 两两垂直. 以 F 为原点,FA、FB、Fz 依次为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系(如图).…7 分 由(Ⅰ)可得 BF ? AF ? tan 30 ? ? 3 ?

3 ? 3. 3 于是 F ( 0 , 0 , 0) , B(0 , 3 , 0) , D( ? 1, 0 , 1) , E ( 3 , 0 , 3) , ??? ? ??? ? BD ? ( ?1, ? 3 ,1) , BE ? (3 , ? 3 , 3) , E ??? ? FB ? (0 , 3 , 0) .
由(Ⅰ)知 FB 是平面 DEF 的一个法向量. 设 n ? ( x , y , z ) 是平面 BDE 的一个法向量,则

z

?

D x F y B C

A ? ?n ? BD ? ? x ? 3 y ? z ? 0, ? ? ?n ? BE ? 3x ? 3 y ? 3z ? 0, ? 取 z ? 2 ,得到 n ? ( ?1, 3 , 2) .………………………………10 分 ?? ??? ? ?? ? ??? ? n ? FB 3 6 ? ? FB ? ? ?? ??? ? ∴ cos ? n , ,…………………11 分 | n | ? | FB | 2 2 ? 3 4
又二面角 B ? DE ? F 是锐二面角. ∴二面角 B ? DE ? F 的平面角的余弦值为

6 . …….……………12 分 4

方法二: (Ⅰ)证明:过 F 作 Fz // AE ,由 AE⊥平面 ABC 可知 Fz⊥平面 ABC, 又 AC 、 BF ? 平面 ABC,于是 Fz ? AC , Fz ? BF , 又 BF⊥AC,∴BF、AC、Fz 两两垂直. 以 F 为原点,FA、FB、Fz 依次为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系(如图).…1 分 ? ∵ ?ABC ? 3?BAC ? 90 , AC ? 4CD ? 4 , AE ? 3 , ? ∴ CD ? 1 , ?BAC ? 30 . ∴ BC ?

1 1 AC ? 2 , FC ? BC ? cos 60? ? 2 ? ? 1 , AF ? AC ? FC ? 3 , 2 2

BF ? BC 2 ? FC 2 ? 3 .……………………………………………………3 分
于是 F ( 0 , 0 , 0) , B(0 , 3 , 0) , D( ? 1, 0 , 1) ,

E

z

??? ? E ( 3 , 0 , 3) , FD ? ( ?1, 0 ,1) ,
D x A y F B C

??? ? BE ? (3 , ? 3 , 3) .
故 FD ? BE ? ?1? 3 ? 0 ? (? 3) ? 1? 3 ? 0 . 所以 DF⊥BE……………………..…………………6 分; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 FE ? (3 , 0 , 3) , BD ? ( ?1, ? 3 ,1) , BE ? (3 , ? 3 , 3) ,

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? FB ? (0 , 3 , 0) . ??? ? ??? ? 于是 FB ? FE ? 0 ? 3 ? 3 ? 0 ? 0 ? 3 ? 0 ,所以 FB ? FE ,又 FB⊥AC.
所以 FB 是平面 DEF 的一个法向量.…………………………………..…8 分 设 n ? ( x , y , z ) 是平面 BDE 的一个法向量,则

?

? ?n ? BD ? ? x ? 3 y ? z ? 0, ? ? ?n ? BE ? 3x ? 3 y ? 3z ? 0, ? 取 z ? 2 ,得到 n ? ( ?1, 3 , 2) .…………………………………....…10 分 ?? ??? ? ?? ? ??? ? n ? FB 3 6 ? ? FB ? ? ?? ??? ? ∴ cos ? n , . | n | ? | FB | 2 2 ? 3 4
又二面角 B ? DE ? F 是锐二面角. ∴二面角 B ? DE ? F 的平面角的余弦值为 2、

6 . …………………………12 分 4

3、【解析】[向量法](Ⅰ)连结 AC1 ,因为 ?ACC1 为正三角形, H 为棱 CC1 的中点,

? 面 ABB1 A1 , 所以 AH ? CC1 ,从而 AH ? AA1 ,又面 AAC 1 1C AH ? 面 AAC 面 AAC 1 1C ? 面 ABB 1, 1 1C , 1A 1 ? AA
所以 AH ? 面 ABB1 A 1 .………………………………1 分 以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz 如图所示,………2 分 不妨设 AB ? 2 ,则 AA 1 ?2, A 1 ? 0, 2,0? , B1 设D
C z H C1

?

2, 2, 0 ,

?

?

???? ? 2, t , 0 ,则 AB1 ?

?

? ?

???? ? 2, 2, 0 , A1D ?

?

? ?

2, t ? 2, 0 ,………3 分

?

A B x D B1

A1 y

因为 A1D ? 平面 AB1H , AB1 ? 平面 AB1H ,所以 A1D ? AB1 , 所以 AB1 ? A1D ? 2 ? 2 ? t ? 2? ? 0 ,解得 t ? 1 ,即 D (Ⅱ) C1 0,1, 3 , A1 D ?

???? ? ???? ?

?

2,1, 0 ,所以 D 为 BB1 的中点.………5 分

?

?

?

???? ?

???? ? 2, ?1, 0 , A1C1 ? 0, ?1, 3 ,

?

?

???? ? ? y ? 2x ? ? ? ?n ? A1 D ? 0 ? 2x ? y ? 0 设平面 C1 A1D 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ????? ,即 ? ,解得 ? 6 , n ? A C ? 0 ? y ? 3 z ? 0 z ? x ? ? ? ? ? 1 1 3 ?
令 x ? 3 ,得 n ? 3,3 2, 6 ,…………………………………9 分 显然平面 AA 1D 的一个法向量为 AH ? 0, 0, 3 ,……………………10 分

?

?

???? ?

?

?

???? ? ???? ? n ? AH 3 2 22 所以 cos ? n, AH ?? , ? ???? ? ? 11 33 ? 3 n AH
所以二面角 C1 ? A1D ? A 的余弦值为 [传统法](Ⅰ)设 AB ?

22 .…………………12 分 11

2a ,由 AC ? AA1 ? 2 AB ,所以 AC ? AA1 ? 2a ,

因为 A1D ? 平面 AB1H , AB1 ? 平面 AB1H ,所以 A1D ? AB1 , 从而 ?DA 1B 1 ? ?A 1B 1 A ? 90? ,所以 ?A 1 DB 1 ? ?AB 1A 1 ,所以 故 DB1 ? a ,所以 D 为 BB1 的中点.…………………5 分 (Ⅱ)连结 AC1 ,由 ?AAC 1 1 ? 60? 可得 ?AAC 1 1 为正三角形, 取 AA1 中点 M ,连结 C1M ,则 C1M ? AA 1,
M D N B1 A1

DB1 A1 B1 , ? B1 A1 AA1
C H C1

? 面 ABB1 A1 ,面 AAC 因为面 AAC 1 1C 1 1C ? 面 ABB 1, 1A 1 ? AA

A B

C1M ? 面 AAC 1 1C ,所以 C1M ? 面 ABB 1A 1 .…………………7 分
作 MN ? A 1D 于 N ,连结 C1 N ,则 C1 N ? A 1D ,

所以 ?MNC1 是二面角 C1 ? A1D ? A 的平面角.………………………………9 分

经计算得 C1M ? 3a , MN ?

22 6 33 , a , C1 N ? a , cos ?MNC1 ? 11 3 3 22 .…………………………………12 分 11

所以二面角 C1 ? A1D ? A 的余弦值为 4、

5、解:(Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 600 ,可得 ?ABC 为正三角形,因为 E 为

BC 的中点,所以 AE ? BC …………………………(1 分)
又 BC // AD ,因此 AE ? AD ……………………………………(2 分)

因为 PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,

所以 PA ? AE

………………………………………………………(3 分)

而 PA ? 平面 PAD, AD ? 平面 PAD, PA ? AD ? A , 所以 AE ? 平面 PAD …………………………………………………(5 分) (Ⅱ)(法 1: H 为 PD 上任意一点,连接 AH , EH 由(1)知 AE ? 平面 PAD,则 ?EHA 为 EH 与平面 PAD所成的角 ………………………………………………………(6 分) 在 RT ?EAH 中, AE ? 此时 tan?EHA ?

3 ,所以当 AH 最短时,即当 AH ? PD 时, ?EHA 最大,

AE 3 6 ,因此 AH ? 2 …………………(7 分) ? ? AH AH 2

又 AD ? 2 ,所以 ?ADH ? 450 ,所以 PA ? 2 ……(8 分) 因为 PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABCD , 过 E 作 EO ? AC 于 O ,则 EO ? 平面 PAC , 过 O 作 OS ? AF 于 S ,连接 ES , 则 ?ESO 为二面角 E ? AF ? C 的平面角,…(9 分) 在 RT ?AOE 中, EO ? AE ? sin 300 ?

z
P

F

S
A B E x

H

O C

D

y

3 3 , AO ? AE ? cos300 ? 2 2 3 2 4

又 F 是 PC 的中点,在 RT ?ASO 中, SO ? AO ? sin 450 ?

又 SE ?

EO 2 ? SO2 ?

30 …………………………………………(10 分) 4 SO 15 ,…………………………(11 分) ? SE 5

在 RT ?ESO 中, cos?ESO ?

即所求二面角的余弦值为

15 。………………………………………(12 分) 5

(2)法 2:由(1)可知 AE, AD, AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,以 AE, AD, AP 分别为 x, y, z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系。设 AP ? a ,…………………(6 分) 则 A(0,0,0), B( 3,?1,0), C ( 3,1,0), D(0,2,0), P(0,0, a), E ( 3,0,0), F (

3 1 a , , ) 2 2 2

H (0,2 ? 2? , a? ) (其中 ? ? [0,1] )? HE ? ( 3,2(? ? 1),?a?)
面 PAD的法向量为 n ? (1,0,0)

sin 2 ? ?| cos ? n, HE ?| 2 ?

3 3 ? 2 2 2 2 3 ? 4(? ? 1) ? a ? (a ? 4)?2 ? 8? ? 7

? EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 6
2
2 ? sin ? ?

3 (a ? 4)? ? 8? ? 7
2 2

的最大值为 ,

3 5

即 f (a) ? (a 2 ? 4)?2 ? 8? ? 7 在 ? ? [0,1] 的最小值为 5 ,

? 函数 f (a ) 对称轴 ? ?
所以 f (a) min ? f (
?
2

4 ? (0,1) , a ?4
2

4 ) ? 5 ,计算可得 a ? 2 …………………………(8 分) a ?4
?

所以 AE ? ( 3,0,0), AF ? (

3 1 , ,1) 2 2
?

?? ? ?m? AE ? 0 设平面 AEF 的一个法向量为 m ? ( x , y , z ) ,则 ? ? ? 1 1 1 ? ?m? AF ? 0
? 3 x1 ? 0 ? ? 因此 ? 3 ,取 z1 ? ?1 ,则 m ? (0,2,?1) …………(9 分) 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? 2 ? 2

BD ? (? 3,3,0) 为平面 AFC 的一个法向量. …………………………(10 分)
所以 cos ? m, BD ??

m ? BD | m || BD |

?

15 ………………………………(11 分) 5

所以,所求二面角的余弦值为

15 …………………………………(12 分) 5

6、 (I)证法 1:连结 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 E,连接 DE, 则 E 为 AC1 中点,-------------------------------2 分 ∵D 为 AB 的中点,∴DE∥BC1,------------------4 分 ∵BC1 ? 平面 A1CD,DE ? 平面 A1CD,-------------5 分 ∴BC1∥平面 A1CD. ------------------------------6 分
B D C B1 E C1 A A1

【证法 2:取 A1B1 中点 D1 ,连结 BD1 和 C1D1 ,------1 分 ∵ BD 平行且等于 A1D1 ∴ A1D / / BD1 ∴四边形 BD A1D1 为平行四边形 -----------------------------------------------------------------2 分
A D1 C B B1 C1 A1

∵ A1D ? 平面 ACD , BD1 ? 平面 ACD 1 1 ∴ BD1 / / 平面 ACD ,------------------------------3 分 1 同理可得 C1D1 / / 平面 ACD ------------------------4 分 1 ∵ BD1 ? C1D1 ? D1

/ / 平面 BD1C1 ∴平面 ACD 1

D

又∵ BC1 ? 平面 BD1C1 ∴BC1∥平面 A1CD. ------------------------------6 分】 (II) ? AD +A =A1D 1A = 5 又 B1B ^ BC, B1B / / A1 A 又 AD ? BC ? B
2 2 2

\ A1 A^ A D , -------------------------------------7 分
, \ A1 A^ B C

\ A1 A ^ 面 ABC -------------------------------------------8 分

法一:设 BC 的中点为 O, B1C1 的中点为 O1 ,以 O 为原点,OB 所在的直线为 x 轴, OO1 所在的直 线为 y 轴, OA 所在的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz .------------------9 分

骣 1 3÷ ÷ ? 则 A1 0, 2, 3 , D ? ? , 0, ÷.

(

)

z A A1

? 2 桫

2 ÷

???? ? ∴ A1D ? ( 1 ,?2,? 3 ),--------------------10 分 2 2

D
O

? 平面 CBB1C1 的一个法向量 n = (0,0,1),

C
O1

C1 y

?????? ??? ???? ? ? | A1 D ? n | 15 ??? ? | cos ? A1 D,n ?|? ?????? . 10 | A1 D | ? | n |

x

B

B1

所以直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值为

15 .-------------------------------12 分 10
A A1

【法二:取 B1C1 的中点 H ,连结 A1H ,则 A 1H ? B 1C1 -------------------------------7 分 ∵ AA1 ? 面 A1B1C1 ,故 AA 1 ? A 1H ,? BB 1 ? A 1H
D

? B1C1 ? BB1 ? B1 ,? A1H ? 面 BCC1B1 ------9 分
延长 A1D 、 B1B 相交于点 F ,连结 FH ,
F B

C H B1

C1

则 ?A 1FH 为直线 A 1 所成的角. ------------------------------------10 分 1 D 与平面 BCC1B 因为 D 为 AB 的中点,故 A 1F ? 2 5 ,又 A 1H ? 3

?sin ?A1FH ?

3 15 ? 2 5 10
15 .------------------------------12 分】 10

即直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角的正弦值为

【法三:取 B1C1 的中点 H ,连结 A1H ,则 A 1H ? B 1C1 -------------------------------7 分 ∵ AA1 ? 面 A1B1C1 ,故 AA 1 ? A 1H ,? BB 1 ? A 1H

? B1C1 ? BB1 ? B1 ,? A1H ? 平面 BCC1B1 ------------------------------------------9 分
MN ? 平面 BCC1B1 , 取 A1B1 中点 M,连结 BM,过点 M 作 MN / / A 1H ,则
连结 BN,∵ A 1 D / / BM , ∴ ?MBN 为直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角,---10 分
D C B B1 N H A A1 M C1

1 AH MN 2 1 3 15 ? ? ? ∵ sin ?MBN ? , BM A1 D 2 5 10
即直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角的正弦值为 7、解:(1)证明:如图 19-1

15 .------------------------------12 分】 10

? EA ? 平面ABCD ? EA ? BD ………1 分 ? AD ? 3, BD ? 4, AB ? 5 ? AD ? BD ………2 分 AD ? AE ? 点 A 而 ? BD ? 面ADPE ? BD ? PE ………………3 分 ?在?PEB中G, F分别为P, E的中点 ? PE // GF 同理BD ? GF 而GF ? FH ? 点F ? BD ? GF ? BD ? 面GFH ………5 分 ? BD ? GH ………6 分 (2)法 1:如图 19-2,设 PD 的中点为 Q ,连结 BQ , EQ , CQ . 易知 EQ//BC且EQ ? BC 所以 E, Q, B, C 四点共面 ? F , H 分别为 PB , EB , PC 的中点 ? FH // 面PEAD ? FH // AD ………7 分 同理 FG // 面PEAD 又? FG ? FH ? 点F ? 面FGH // 面PEAD…8 分 二面角 D ? EQ ? B 即为平面 FGH 与平面 EBC 所成的锐二面角 ……9 分 ……10 分 ? AD ? BD , AD ? PD , AD // EQ ? EQ ? 平面PDB ? EQ ? QD 且 EQ ? BQ ? ?DQB 就是平面 FGH 与平面 EBC 所成锐二面角的一个平面角 …11 分

? cos ?DQB ?

DQ ? BQ

2 5 ? 5 4 ? 16

………12 分

法 2:如图 19-3,设 PD 的中点为 Q ,连结 BQ , EQ , CQ .作 DM ? BQ 于点 M

易知 EQ//BC且EQ ? BC 所以 E, Q, B, C 四点共面 ………7 分 ? PD ? 平面ABCD ? PD ? BC ? BC ? 平面PBD ………8 分 又? BC ? BD且PD ? BD ? DM ? BC ? DM ? 平面EBC ………9 分 BD ? 面 GFH 又由(1)知

? DM, DB分别为平面 EBC和平面FGH 的法向量 在?BDQ中,BD ? 4,DQ ? 2,BQ ? 2 5
在?BDQ中,DM ? DQ ? BD 4 5 ? BQ 5

…10 分

………11 分

设平面 FGH 与平面 EBC 所成锐二面角的大小为 ? ,则

cos ? ? cos ?MDB ?

DM 5 ? BD 5

………12 分

法 3:如图 19-4,? EA ? 平面ABCD,BC // PD

? PD ? AD , PD ? DB 又? AD ? 3, BD ? 4, AB ? 5 ? AD ? BD

………1 分 ………2 分

, B(4,0,0), E(0,?3,2) G (2,? 建立如右图所示坐标系,则 D(0,0,0)

3 ,1) 2

3 P(0,0,4) , C (4,3,0) , F (2,0,2) , H ( 2, ,2) 2 3 DB ? (4,0,0) GH ? (0,3,1) FH ? (0, ,0) 2

BC ? (0,3,0) , BE ? (?4,?3,2)
(1) ? DB ? GH ? 4 ? 0 ? 0 ? 3 ? 0 ?1 ? 0

………4 分 ………5 分 ………6 分

? BD ? GH

(2) 设 平面EBC 的一个法向量为 n ? ( x, y,1) ,则 由?

? ?BC ? n ? 0 ? ?BE ? n ? 0

得?

?3 y ? 0 ………7 分 ?? 4 x ? 3 y ? 2 ? 0

?y ? 0 1 ? 解得 ? 1 ? n ? ( ,0,1) 2 x? ? 2 ?
又? DB ? FH ? 4 ? 0 ? 0 ?

………8 分

3 ? 0?0 ? 0 2

? BD ? FH 而 BD ? GH , FH ? GH ? H
………10 分

??? ? ? BD ? 平面 FGH , BD 为平面 FGH 的一个法向量

??? ? ? ??? ? ? BD ? n ? cos BD, n ? ??? ? ? ? BD n

2 5 4? 4

?

5 5

………11 分

平面 FGH 与平面 EBC 所成锐二面角的余弦值为

5 5

………12 分

8、解:(1)由条件有 PQ 为 ?ADE 的中位线,? PQ ∥ DE ……………………….1 分 又∵ MN 为梯形 BCDE 的中位线 ? MN ∥ DE ,……………………….2 分

? PQ∥MN

……………………….3 分

。 。 。 。 。 。 。4 分 ? M、N、P、Q 四点共面. (2)证明:在等腰直角三角形 ABC 中,其中位线 DE ,则有 AC⊥BC,DE∥BC, 沿其中位线 DE 将平面 ADE 折叠后有 AD ? DE ,CD ? DE 。 。 。 。 。 。5 分 又 AD ? CD ? D ,? DE ? 面 ACD, ………………….6 分 又 DE ∥ BC

? BC ? 平面 ACD ,

……………7 分

又∵ BC ? 平面 ABC , ? 平面 ABC ? 平面 ACD ………………….8 分 (3) 解法一 由条件知 AD=1,DC=1,BC=2,延长 ED 到 R,使 DR=ED,
A

连结 9分

RC

则 ER=BC, ER∥BC, 故 BCRE 为平行四边形 。 。 。 。 。

? RC∥BE,又 AC∥QM ? ?ACR 为异面直线 BE 与 QM 所成的角
(或 ? 的补角) 。 。10 分
Q D R E M C B

?

? DA=DC=DR,且三线两两互相垂直,
∴由勾股定理得 AC=AR=RC= 2 , 。 。 。 。 。 。11 分

? ? ACR 为正三角形? ?ACR = 60?
? 异面直线 BE 与 QM 所成的角大小为 60 .。 。 。 。12 分
?

解法二:设所求异面直线所成的角为 θ , 由(2)得 DA,DC,DE 两两互相垂直,如图以 ED 为 x 轴, 轴,DA 为 z 轴,D 为原点建立空间直角坐标系, 。 。 。 。 。9 分 由题意得 Q(0,0,1) ,M(0,1,0) ,E(-1,0,0),B(-2,1,0) DC 为 y

。 。 。 。10 分 ? BE ? (1,?1,0), MQ ? (0,?1,1) 。

cos? ?| cos MQ, BE |?|

MQ ? BE MQ ? BE

|?|

(1,?1,0) ? (0,?1,1) 2? 2

1 。11 分 |? 。 2

。 。 。 。 。 。12 分 ? 00 ? ? ? 900 ,?? ? 600 ,? 异面直线 BE 与 QM 所成的角大小为 60? .。

9、证明:(Ⅰ)? DC ? AH , DC ? BH , AH ? BH ? H …………1 分

DC ? 平面 ABH ,又因为 AB ? 平面 ABH ………………………3 分 所以 AB ? CD ………………………4 分
(Ⅱ)分别以 HA, HB, HD 为 x, y , z 轴,建立如图所示的直角坐标系 由已知条件不难求得: AH ? HB ? 3, HD ? 3, HC ? 1 ………………………5 分 所以 A( 3,0,0) , B(0, 3,0) , C (0,0,?1) , D(0,0,3) ………………………6 分 又因为点 E 为中点,所以点 E (

3 3 ,0, ) 2 2

所以 CE ? (

3 3 3 5 ,0, ) , BE ? ( ,? 3, ) , HB ? (0, 3,0) …………7 分 2 2 2 2

设平面 BCE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z)

? ?n ? CE ? ? 所以 ? ?n ? BE ? ? ?

3 5 x? z ?0 3 3 2 2 令 x ? 3 解得: y ? ,z ? ? 5 5 3 3 x ? 3y ? z ? 0 2 2
3 3 ,? ) …………9 分 5 5

所以平面 BCE 的一个法向量为 n ? ( 3 ,

又 HB ? 平面 DEC ,所以向量 HB ? (0, 3,0) 为平面 DEC 的一个法向量……10 分

设所求二面角是 ? ,所以 cos? ?

n ? HB n ? HB

? 3?

3 5 3 9 ? ? 3 25 25

?

29 ……12 分 29

10、

11、证法 1: ∵四边形 ABCD 为矩形,∴ ?AEF ∽ ?CBF , ∴

AF EF AE 1 ? ? ? CF BF BC 2

……………1 分

又∵矩形 ABCD 中, AB ? 1, AD ?

2 ,∴ AE ?
6 2

2 , AC ? 3 2
2 6 1 3 , BD ? BE ? AC ? 3 3 3 3

在 Rt ?BEA 中, BE ?

AB 2 ? AE 2 ?

∴ AF ?

在 ?ABF 中, AF ? BF ? (
2 2

3 2 6 ) ? ( ) 2 ? 1 ? AB 2 3 3
……………3 分 ∴ AC ? GF ∴ AF ? 平面 BEG ……………4 分 ……………5 分

? ∴ ?AFB ? 90 ,即 AC ? BE

∵ GF ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD 又∵ BE ? GF ? F , BE, GF ? 平面 BCE

证法 2:(坐标法)证明 K AC ? K BE ? ?1,得 AC ? BE ,往下同证法 1. 证法 3:(向量法)以 AD, AB 为基底,

1 AD ? AB , AD ? AB ? 0 2 2 2 1 1 1 ∴ AC ? BE ? ( AD ? AB ) ? ( AD ? AB ) ? AD ? AB ? ? 2 ? 1 ? 0 2 2 2
∵ AC ? AD ? AB , BE ? ∴ AC ? BE ,往下同证法 1. (2)在 Rt ?AGF 中, AG ?

AF 2 ? GF 2 ? (

3 2 3 6 ) ? ( )2 ? 3 3 3

在 Rt ?BGF 中, BG ?

BF 2 ? GF 2 ? (

6 2 3 ) ? ( ) 2 ? 1 ………… ……………7 分 3 3

在 ?ABG 中, AG ?

6 , BG ? AB ? 1 3

∴ S ?ABG ?

1 6 30 5 1 6 6 ………………………………9 分 ? ? ? ? 1 ? ( )2 ? ? 2 3 6 6 2 3 6

设点 E 到平面 ABG 的距离为 d ,则

1 2 3 ? ? 1? S ABF ? GF 2 2 1 1 3 ? 30 S ?ABG ? d ? S ?ABF ? GF ,∴ d ? ? 3 3 10 S ?ABG 5 6

EG ? GF 2 ? EF 2 ? (

3 2 6 2 ) ? ( )2 ? 3 6 2

…………………… ……………11 分

设直线 EG 与平面 ABG 所成角的大小为 ? ,则

30 15 d sin ? ? ? 10 ? . EG 5 2 2

……………………………………………… ……………12 分

另法:由(1)得 AD, BE, FG 两两垂直,以点 F 为原点, FA, FE, FG 所在直线分别为 x 轴, y 轴,

z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,………………………………………………6 分
则 A?

? ? 3 ? ? ? ? 3? 6 ? ? , E ? 0, 6 ,0 ? , ? , B? 0,? ? , G ? 0,0, , 0 , 0 , 0 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? 6 ?
G

z

? ? 3 6 ? 3 3? ? , AG ? ? ? ?, AB ? ? ? , ? , 0 , 0 , ? 3 ? ? 3 ? 3 3 ? ? ? ? ? 6 3? ?, EG ? ? 0 , ? , ? 6 3 ? ? ?
B

C F D

…………8 分
A

设 n ? ( x, y, z) 是平面 ABG 的法向量,则

E

? ? ? ? ? ? AB ? n ? 0 ,即 ? ? ? ?? ? AG ? n ? 0 ? ?
取x?

x

y

3 6 x? y?0 3 3 , 3 3 x? z?0 3 3

2 ,得 n ? ( 2,?1, 2 ) ……………………………………………………………10 分

设直线 EG 与平面 ABG 所成角的大小为 ? ,则

sin ? ?

EG ? n EG n

0? 2 ? ? 0?

6 3 ? (?1) ? ? 2 6 3 1 1 ? ? 2 ?1? 2 6 3

?

15 5

∴直线 EG 与平面 ABG 所成角的正弦值为

15 . ………………………………………12 分 5

12、 (Ⅰ)证明:∵四边形 ABGF,ADEF 都是矩形,

所以 AF?AB,AF?AD, 又 AB∩AD=A,且 AB、AD?平面 ABCD, 所以 AF?平面 ABCD. 又 BD ? 平面 ABCD , ∴BD⊥AF. 又∵ AC , BD 是菱形 ABCD 的对角线, ∴BD⊥AC .

(1 分)

(2 分) (3 分)

(4 分) (5 分) (6 分)

∵ AF , AC ? 平面 ACF , AF ? AC ? A ,∴BD⊥平面 ACF , 又∵ BD ? 平面 BDFG , ∴平面 ACF⊥平面 BDEG. (Ⅱ)法一: 解:以 O 为原点, OB, OC 所在直线分别为 x 轴,y 轴, 平行于 AF 所在直线为 z 轴,建立如图空间直角坐标系. ∵ABCD 是菱形,且 ?ABC ? 120?, AB ? 2, ∴ ?BCD 是等边三角形,OB=OD=1, OC ? OA ? 3 . (8 分) ∵ AF ? 3 ,∴ A, C , E, G 的坐标分别为 (7 分)

A(0, ? 3,0), C(0, 3,0), E(?1,0,3), G(1,0,3) .
∴ CG ? (1, ? 3,3), AE ? (?1, 3,3) , 所以 cos ? CG , AE ??

(9 分) (10 分)

??? ?

??? ?

CG ? AE | CG || AE |

?

?1? 3 ? 9 13 ? 13

?

5 , (11 分) 13
(12 分)

即直线 CG 与 AE 所成角的余弦值为

5 . 13

法二:(略解)延长 CB 至点 H,使得 BH=BC,连结 AH,GH, 可证得四边形 GHAE 为平行四边形,可得 GH//EA, 所以直线 GH 与 GC 所成的角就等于直线 CG 与 AE 所成的角.(9 分) 在 ?GHC 中,可求得 cos ?HGC ?

5 13

5 所以直线 CG 与 AE 所成角的余弦值为 . (12 分) 13 13、 (1)证明:连接 BF ,? HF ? 面 ABCD ,? CD ? FH
? 菱形 ABCD 中, ?BAD ? 600 , F 分别是边 CD 中点,

H

? ?BCD 是等边三角形,故 CD ? BF ? CD ? 平面 BFH
H G N D O
A

? CD ? BH ?菱形 ABCD 中, AB ? CD ? AB ? BH ………………4 分
(2) 解:在平面 ABCD 中,过 C 作 CM ? EF 的延长线于

M ,在 ?COH 中,过过 C 作 CN ? OH 于 N ,连接 MN
? CM ? FH ,? CM ? 平面 EFHG

F
B

M C

? OH ? CM ,又 CN ? OH ,? OH ? 平面 CMN ? MN ? OH ,? ?CNM
就是二面角 C ? OH ? F 的平面 角………………………………8 分

E

? 菱形 ABCD 中, ?BAD ? 600 ,边长 AB ? 2 , EFHG 是正方形,边长为 2

? OC ? 3 , ?COM ? 300 ,? CO ? 3 , HO ? HC ? 5 ,? CM ?

3 255 , CN ? 2 10

3 CM 85 85 ? 2 ? ,?二面角 C ? OH ? F 的正弦值为 ………………12 分 ? sin?CNM ? CN 17 17 255 10



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