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2005-2011年贵州省高考理科数学试题及答案


贵州 2005-2011 高考数学真题

2005 年高考全国卷Ⅲ数学(理)试题
贵州、四川、陕西、云南等地区用 2005 年普通高等学校招生全国统一考试(贵州) 理科数学(必修+选修 II)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 共 150 分. 考试时间 120 分钟.

第I卷
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A) ·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 k - Pn(k)=C n Pk(1-P)n k 一、选择题: (1)已知 ? 为第三象限角,则 球的表面积公式 2 S=4 ?R 其中 R 表示球的半径, 球的体积公式 V= ?R ,
3

4 3

其中 R 表示球的半径

? 所在的象限是 2

(A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限 (2)已知过点 A(-2,m)和 B(m,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为 (A)0 (B)-8 (C)2 (D)10 (3)在 ( x ?1)

(x?1)

8

的展开式中

x

5

的系数是

(A)-14 (B)14 (C)-28 (D)28 (4)设三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V,P、Q 分别是侧棱 AA1、CC1 上的点,且 PA=QC1,则 四棱锥 B-APQC 的体积为

1 1 (C) V 3 4 1 1 (5) l im ( 2 ? 2 ) ? __________ _ x ?1 3 x ? 3 x ? 2 x ? 4x ? 3 1 1 1 1 (A) ? (B) (C) ? (D) 2 6 2 6 ln 2 ln 3 ln 5 (6)若 a ? ,则 ,b ? ,c ? 2 3 5
(A) V

1 6

(B) V

(D) V

1 2

(A)a<b<c

(B)c<b<a

(C)c<a<b

(D)b<a<c

(7)设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则

贵州 2005-2011 高考数学真题
(A) 0 ? x ? ? (B)
2

?
4

?x?

7? 4

(C)

?
4

?x?

5? 4

(D)

?
2

?x?

3? 2

2sin 2? cos ? ? ? (8) 1 ? cos 2? cos 2?
(A) tan ? (B)

tan 2?

(C) 1

(D)

1 2

(9)已知双曲线 x 轴的距离为 (A)

x

2

y ?

2

2

????? ????? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF 1 ? MF 2 ? 0, 则点 M 到

4 3

(B)

5 3

(C)

2 3 3

(D) 3

(10)设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 (A)

2 2

(B)

2 ?1 2

(C) 2 ? 2

(D) 2 ? 1

(11)不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有 (A)3 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)7 个 (12)计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0~9 和字母 A~F 共 16 个计 数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 16 进制 10 进制 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15

例如,用十六进制表示:E+D=1B,则 A×B= (A)6E (B)72 第Ⅱ卷 二.填空题(16 分)

(C)5F

(D)B0

(13)已知复数 Z 0 ? 3 ? 2i ,复数 Z 满足 Z=3Z+ Z 0 ,则复数 Z=_________________ (14)已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A、B、C 三点共线,则 k= (15)高 l 为平面上过(0,1)的直线, l 的斜率等可能地取 ? 2 2 ,? 3 ,?

??? ?

??? ?

????

5 5 ,0, , 3 , 2 2 ,用 2 2

? 表示坐标原点到 l 的距离,由随机变量 ? 的数学期望 E ? =___________
(16)已知在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC、BC 的距离乘积的最大值是 三.解答题: (17) (本小题满分 12 分) 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内,甲、乙都需要照

贵州 2005-2011 高考数学真题
顾的概率为 0.05,甲、丙都需要照顾的概率为 0.1,乙、丙都需要照顾的概率为 0.125, (Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少; (Ⅱ)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. (18)(本小题满分 12 分) 在四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 V VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明 AB⊥平面 VAD. C D (Ⅱ)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小.

A

B

(19)在 ?ABC ,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.已知 a,b,c 成等比数列,且 cosB= ①求 cotA+cotB 的值。 ②设 BA? BC ?
? ?

3 . 4

3 ,求 a + c 的值。 2

(20)(本小题满分 12 分) 在等差数列 在等差数列{ 已知数列

a }中, 公差d ? 0, a 是a 与a 的等差中项,
n 2 1 4

a ,a ,a ,a
1 3 k1

k2

,? a kn ? 成等比数列,求数列 {k n} 的通项 k n

(21) (本小题满分 14 分) 设 A(

x , y ), B( x , y ) 两点在抛物线 y ? 2 x
1 1 2 2

2

上, l 是 AB 的垂直平分线,

(Ⅰ)当且仅当 (Ⅱ)当

x ?x
1

2

取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论;

x

1

? 1, x 2 ? ?3 时,求直线 l 的方程.

(22)已知函数 f ( x) ?

4x 2 ? 7 , x ? [0,1] 2? x

①求 f ( x) 的单调区间和值域。 ②设 a ? 1,函数 g ( x) ? x ? 3ax ? 2a, x ? [0,1] ,若对于任意 x1 ? [0,1] ,总存在 x0 ? [0,1] ,
3

使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围。

2005 年高考理科数学(贵州)参考答案

贵州 2005-2011 高考数学真题
一.DBBCA,CCBCD,BA 二.13、 1 ?

3 2 4 i ,14、 ? ,15、 ,16、3 2 3 7

三.解答题: (17)解: (Ⅰ)记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A、B、C,??1 分 则 A、B、C 相互独立, 由题意得: P(AB)=P(A)P(B)=0.05 P(AC)=P(A)P(C)=0.1 P(BC)=P(B)P(C)=0.125??????????????????????4 分 解得:P(A)=0.2;P(B)=0.25;P(C)=0.5 所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2、0.25、0.5??6 分

、、 B C 相互独立,??????????????7 分 (Ⅱ)∵A、B、C 相互独立,∴ A
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为

P( A ? B ? C ) ? P( A) P( B) P(C ) ? 0.8 ? 0.75 ? 0.5 ? 0.3 ???????????10 分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为 p ? 1 ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? 0.3 ? 0.7 ??12 分

(18)证明: (Ⅰ)作 AD 的中点 O,则 VO⊥底 面 ABCD.??????????1 分 建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为 1,??????????2 分

Z V D A X O B C Y

1 1 1 则 A( ,0,0) ,B( ,1,0) ,C(- ,1,0) , 2 2 2
D(-

3 1 ,0,0) ,V(0,0, ) , 2 2

∴ AB ? (0,1, 0), AD ? (1, 0, 0), AV ? (? , 0,

??? ?

????

????

1 2

3 ) ????????????3 分 2

由 AB ? AD ? (0,1, 0) ? (1, 0, 0) ? 0 ? AB ? AD ??????????????4 分

??? ? ????

??? ?

????

??? ? ???? ??? ? ???? 1 3 AB ? AV ? (0,1, 0) ? (? , 0, ) ? 0 ? AB ? AV ??????????????5 分 2 2
又 AB∩AV=A ∴AB⊥平面 VAD????????????????????????????6 分

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(Ⅱ)由(Ⅰ)得 AB ? (0,1, 0) 是面 VAD 的法向量????????????7 分 设 n ? (1, y, z ) 是面 VDB 的法向量,则

??? ?

?

? ??? ? x ? ?1 ? 1 3 ? ? 3 )?0 ? ? n ?VB ? 0 ?(1, y, z ) ? (? ,1, ? ?? ?? ? ? ? ??? 2 2 3 ? n ? (1, ?1, ) ??9 分 3 ?n ? BD ? 0 ? (1, y, z ) ? (?1, ?1, 0) ? 0 ?z ? ? ? 3 ? ?

3 (0,1, 0) ? (1, ?1, ) ??? ? ? 3 ? ? 21 ,??????????????11 分 ∴ cos ? AB, n ?? 7 21 1? 3
又由题意知,面 VAD 与面 VDB 所成的二面角,所以其大小为 arccos

21 ????12 分 7

(19) (I)由 cosB=

3 2 7 3 得 sin B ? 1 ? ( ) ? , 4 4 4

于是

cot A ? cot B ?

1 1 ? tan A tan B

cos A cosC sin C cos A ? cosC sin A ? ? sin A sin C sin A sin C sin(A ? C ) sin B 1 4 = ? ? ? 7 2 2 sin B sin B sin B 7 ? ? 3 3 3 2 (II)由 BA? BC ? 得 ca ? cos B ? ,由cos B ? , 可得ca ? 2,即b ? 2 2 2 4 ?
由余弦定理

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B 得 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac ? cos B ? 5

?a+c=3
(20)解:由题意得: 即
2

a ?a a
2 1

2

4

????????????????????1 分

(a1?d ) ? a (a ? 3d ) ???????????????????????3 分
1 1

又 d ? 0, ∴ 又

a
k1

1

? d ????????????????????????????4 分
k2

a ,a ,a ,a
1 3

,? a kn ? 成等比数列,

∴该数列的公比为 q ?

a a

3 1

?

3d ? 3 ,????????????????????6 分 d

所以

a

kn

? a1 ? 3

n ?1

????????????????????????????8 分

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又 ∴

a

kn

? a1 ? (k n ? 1)d ? k na1 ??????????????????????10 分
n ?1

k ?3
n

所以数列 {

k

n

} 的通项为 k n ? 3

n ?1

??????????????????????12 分
2

(21)解: (Ⅰ)∵抛物线 y ? 2

x

,即

x

2

?

y 1 ,∴ p ? , 2 4

∴焦点为 F (0, ) ????????????????????????1 分 (1)直线 l 的斜率不存在时,显然有

1 8

x ?x
1

2

=0????????????3 分

(2)直线 l 的斜率存在时,设为 k, 截距为 b 即直线 l :y=kx+b 由已知得:

?y ? y ? 2 ? 1 ? k ? x1 x 2 ? b 2 ? 2 ????????????????????5 分 ? ? y y 1 ? 1 2 ?? ? x1 ? x 2 k ?
2 2 ? ? 2x 2 ? 2 x 1 ? k ? x1 x 2 ? b ? 2 2 ? ?? 2 2 ? 2 x1 ? 2 x 2 ? ? 1 ? k x1 ? x 2 ?

? 2 2 x1 ? x 2 ? b ? ? k ? ? ? x1 x 2 2 ?? ??????????????????7 分 1 ? x 1 ? x 2 ? ? 2k ? ?

1 2 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? b ? 0 4 1 ?b? 4
即 l 的斜率存在时,不可能经过焦点 F (0, ) ??????????????8 分 所以当且仅当 (Ⅱ)当

1 8

x ?x
1

2

=0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F??????????9 分

x

1

? 1, x 2 ? ?3 时,

直线 l 的斜率显然存在,设为 l :y=kx+b????????????10 分 则由(Ⅰ)得:

贵州 2005-2011 高考数学真题
? 2 2 x1 ? x 2 ? b ? ? k ? ? x x 2 ? 1 2 ? 1 ? ? x2 ? ? x 1 ? 2k ?
? x1 ? x 2 k? ? b ? 10 ? ? 2 ?? ??????????????????11 分 1 ? ? ? ?2 ? 2k ?

1 ? k? ? ? 4 ?? ????????????????????????13 分 41 ?b ? ? ? 4
所以直线 l 的方程为 y ?

1 41 x ? ,即 x ? 4 y ? 41 ? 0 ??????14 分 4 4

(22)解:(I)对函数 f ( x) 求导,得

f `( x) ?
令 f `( x) ? 0 解得

? 4 x 2 ? 16 x ? 7 ? (2 x ? 1)( 2 x ? 7) ? (2 ? x) 2 (2 ? x) 2

x?

1 2

或x ?

7 2

当 x 变化时。 f `( x) , f ( x) 的变化情况如下表: x 0 (0,

1 ) 2

1 2
0 -4

()

1 ,1 2
+

1

f `( x)
f ( x)

_

? 1 2

7 2 1 2

-3

所以,当 x ? (0, ) 时, f ( x) 是减函数;当 x ? ( ,1) 时, f ( x) 是增函数。 当 x ? (0,1) 时, f ( x) 的值域为[-4,-3]。
(II)对函数 g ( x ) 求导,得图表 1

g `( x) ? 3( x 2 ? a 2 )

? a ? 1,当 x ? (0,1) 时, g `( x) ? 3(1 ? a 2 ) ? 0

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因此当 x ? (0,1) 时。 g ( x) 为减函数,从而当 x ? [0,1] 时有

g ( x) ? [ g (1), g (0)]
又 g (1) ? [1 ? 2a ? 3a ,?2a, g (0) ? ?2a ,即当 x ? [0,1] 时有
2

g ( x) ? [1 ? 2a ? 3a 2 ,?2a]
任给 x1 ? [0,1] , f ( x1 ) ? [?4,?3] ,存在 x0 ? [0,1] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) ,则

[1 ? 2a ? 3a 2 ,?2a] ? [?4,?3]
即?

?1 ? 2a ? 3a 2 ? ?4 ? ? 2 a ? ?3

解得 a ?

3 2

又 a ? 1,所以 a 的取值范围为 1 ? a ?

3 2

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2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国 卷Ⅱ)

理科数学(必修+选修Ⅱ)
注意事项:

贵州 2005-2011 高考数学真题
1. 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,总分 150 分, 考试时间 120 分钟. 2. 答题前,考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位 置上. 3. 选择题的每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 4. 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写,字体工整,笔迹清 楚 5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答. 超出答题区域或在 其它题的答题区域内书写的答案无效;在草稿纸、本试题卷上答题无效. 6. 考试结束,将本试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题)
本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

S ? 4πR2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) ? Cn p (1 ? p) n ?k (k ? 0, 1, 2, …,n)

4 3 πR 3 其中 R 表示球的半径 V?

一、选择题 1. sin 210 ? (
?

) B. ?

A.

3 2

3 2

C.

1 2


D. ?

1 2

2.函数 y ? sin x 的一个单调增区间是( A. ? ? , ? 3.设复数 z 满足

? ? ?? ? ? ??

B. ? , ?

? ? 3? ? ?? ? ?

C. ? ?, ?

? ?

?? ? ? ?

D. ?

? 3? ? , 2? ? ? ? ?

A. ?2 ? i 4.下列四个数中最大的是( A. (ln 2)
2

1 ? 2i ) ? i ,则 z ? ( z B. ?2 ? i C. 2 ? i
) C. ln 2 B. ln(ln 2)

D. 2 ? i

D. ln 2

贵州 2005-2011 高考数学真题
5.在 △ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB, CD ? A.

????

??? ? ??? ?
D. ?

? ??? ? 1 ??? CA ? ? CB ,则 ? ?( 3



2 3

B.

6.不等式 A. (?2, 1)

x ?1 ? 0 的解集是( x2 ? 4
B. (2, ? ?)

1 3

C. ? )

1 3

2 3

C. (?2, 1) ? (2, ? ?) D. (??, ? 2) ? (1, ? ?)

7. 已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长与底面边长相等, 则 AB1 与侧面 ACC1 A1 所成角的正 弦值等于( A. ) B.

6 4

10 4

C.

2 2

D.

3 2


8.已知曲线 y ? A.3
x

x2 1 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 4 2
B.2 C .1 D.

1 2


9.把函数 y ? e 的图像按向量 a ? (2, 3) 平移,得到 y ? f ( x) 的图像,则 f ( x) ? ( A. e
x ?3

?2

B. e

x ?3

?2

C. e

x?2

?3

D. e

x?2

?3

10.从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星 期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法共有( ) A.40 种 B.60 种 C.100 种 D.120 种 11.设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y2 ? 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 ?F1 AF2 ? 90? a 2 b2


且 AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为(

A.

5 2

B.
2

10 2

C.

15 2

D. 5

12.设 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点, A ,B,C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则 FA ? FB ? FC ? ( A.9 B.6

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

) C .4 D.3

第Ⅱ卷(非选择题)
本卷共 10 题,共 90 分 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

贵州 2005-2011 高考数学真题
13. (1 ? 2 x ) ? x ?
2

? ?

1? ? 的展开式中常数项为 x?
2

8

. (用数字作答)

14.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1 ,? )(? ? 0) .若 ? 在 (0, 1) 内取值的概率 为 0.4,则 ? 在 (0, 2) 内取值的概率为 .

15.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为 1cm, 那么该棱柱的表面积为 cm .
2

16.已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,其前 n 项和为 S n ,则 lim

Sn ? n→? n 2



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 △ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 18. (本小题满分 12 分) 从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A : “取出的 2 件产品 中至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 . (1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; (2) 若该批产品共 100 件, 从中任意抽取 2 件,? 表示取出的 2 件产品中二等品的件数, 求? 的分布列. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, 侧棱 SD ⊥底面 ABCD,E,F 分别为 AB,SC 的中点. (1)证明 EF ∥平面 SAD ; (2)设 SD ? 2DC ,求二面角 A ? EF ? D 的大小.

S

F

C D 20. (本小题满分 12 分) A 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程; E B

PO , PB 成等比数列, (2) 圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点, 圆内的动点 P 使 PA , 求 PA?PB

??? ? ??? ?

贵州 2005-2011 高考数学真题
的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,, 1) an ? (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? an 3 ? 2an ,证明 bn ? bn ?1 ,其中 n 为正整数. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? x .
3

3 ? an ?1 ,n ? 2, 3, 4,… . 2

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; (2)设 a ? 0 ,如果过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,证明: ?a ? b ? f (a) .

2007 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案
评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度. 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题 1.D 2.C 3.C 4.D 5.A 6.C 7.A 8.A 9.C 10.B 11.B 12.B 二、填空题 13. ?42 三、解答题 14. 0.8 15. 2 ? 4 2 16. ?

5 2

贵州 2005-2011 高考数学真题
17.解: (1) △ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知

? 2? . ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? ? ?

AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?
BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

AB ?

因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ??2 3 ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

?? ? ? 4 3 s i?nx ? ? ? ?? ?
所以,当 x ?

? 5? ? ?? 2? 3 ? x? ? ?, ? ? ? ??

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?

18.解: (1)记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” ,

A1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” .
则 A0,A1 互斥,且 A ? A0 ? A1 ,故

P( A) ? P( A0 ? A1 )

? P( A0 ) ? P( A1 ) ? (1 ? p)2 ? C1 2 p (1 ? p ) ? 1 ? p2
于是 0.96 ? 1 ? p .
2

解得 p1 ? 0.2,p2 ? ?0.2 (舍去) . (2) ? 的可能取值为 0, 1, 2. 若该批产品共 100 件,由(1)知其二等品有 100 ? 0.2 ? 20 件,故

P (? ? 0) ?

2 C80 316 ? . 2 C100 495

贵州 2005-2011 高考数学真题
P(? ? 1) ?
1 C1 160 80 C 20 ? . 2 C100 495

P (? ? 2) ?

C2 19 20 ? . 2 C100 495

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

316 495

160 495

19 495
S

19.解法一: (1)作 FG ∥DC 交 SD 于点 G ,则 G 为 SD 的中点. 连结 AG,FG ∥

1 CD ,又 CD ∥ AB , 2
F G H D A E B

故 FG ∥ AE,AEFG 为平行四边形.

EF ∥ AG ,又 AG ? 平面 SAD,EF ? 平面 SAD . 所以 EF ∥平面 SAD . (2)不妨设 DC ? 2 ,则 SD ? 4,DG ? 2, △ADG 为等
腰直角三角形. 取 AG 中点 H ,连结 DH ,则 DH ⊥ AG . 又 AB ⊥ 平面 SAD ,所以 AB ⊥ DH ,而 AB ? AG ? A , 所以 DH ⊥面 AEF . 取 EF 中点 M ,连结 MH ,则 HM ⊥ EF . 连结 DM ,则 DM ⊥ EF . 故 ?DMH 为二面角 A ? EF ? D 的平面角

M

C

tan ?DMH ?

DH 2 ? ? 2. HM 1
z S

所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arctan 2 . 解法二: (1)如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz . 设 A(a, 0,, 0) S (0, 0,b) ,则 B(a,a,, 0) C (0,a,, 0)

F

? a ? ? a b? E ? a, , 0 ?,F ? 0, , ? , ? 2 ? ? 2 2? ??? ? ? b? EF ? ? ?a, 0, ? . 2? ?
A x

G

M D E B A C y

贵州 2005-2011 高考数学真题
取 SD 的中点 G ? 0, 0, ? ,则 AG ? ? ?a, 0, ? .

? ?

b? 2?

????

? ?

b? 2?

??? ? ???? EF ? AG,EF ∥ AG,AG ? 平面 SAD,EF ? 平面 SAD ,
所以 EF ∥平面 SAD . (2)不妨设 A(1 , ,, 0) C (0, 1,, 0) S (0, 0,, 2) E ?1, , 0 ?,F ? 0, , 1? . , 0, 0) ,则 B(11

? 1 ? 2

? ?

? ?

1 ? 2 ?

? ? 1 1 1 ? ??? ? ???? ? ??? ? ? 1 1 1 ? ???? MD ? ? ? , ? , ? ?, EF ? (?1, 0,, 1) MD?EF ? 0,MD ⊥ EF EF 中点 M ? , , ?, ?2 2 2? ? 2 2 2?
又 EA ? ? 0, ? , 0 ? , EA?EF ? 0,EA ⊥ EF , 所以向量 MD 和 EA 的夹角等于二面角 A ? EF ? D 的平面角.

??? ?

? ?

1 2

? ?

??? ? ??? ?

???? ?

??? ?

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? MD?EA 3 . cos ? MD, EA ?? ???? ? ??? ? ? 3 MD ?EA
所以二面角 A ? EF ? D 的大小为 arccos

3 . 3

20.解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离, 即

r?

4 ? 2. 1? 3
2 2

得圆 O 的方程为 x ? y ? 4 .

0) B( x2,, 0) x1 ? x2 .由 x ? 4 即得 (2)不妨设 A( x1,,
2

A(?2,, 0) B(2, 0) .
PO , PB 成等比数列,得 设 P( x,y ) ,由 PA ,
( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,


x2 ? y 2 ? 2 .
??? ? ??? ? PA?PB ? (?2 ? x, ? y )? (2 ? x, ? y)

? x2 ? 4 ? y2 ? 2( y 2 ? 1).

贵州 2005-2011 高考数学真题
由于点 P 在圆 O 内,故 ? 由此得 y ? 1 .
2

? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2 2 ? ? x ? y ? 2.

所以 PA?PB 的取值范围为 [?2, 0) . 21.解: (1)由 an ?

??? ? ??? ?

3 ? an ?1 ,n ? 2, 3, 4,…, 2 1 整理得 1 ? an ? ? (1 ? an ?1 ) . 2
又 1 ? a1 ? 0 ,所以 {1 ? an } 是首项为 1 ? a1 ,公比为 ?

1 的等比数列,得 2

? 1? an ? 1 ? (1 ? a1 ) ? ? ? ? 2?
(2)方法一: 由(1)可知 0 ? an ? 那么, bn ?1 ? bn
2 2

n ?1

3 ,故 bn ? 0 . 2

2 2 ? an ?1 (3 ? 2an ?1 ) ? an (3 ? 2an )

3 ? an ? 2 ? 3 ? an ? ? ?? ? ?3 ? 2? ? ? an (3 ? 2an ) 2 ? ? 2 ? ? 9a ? n (an ? 1) 2 . 4
又由(1)知 an ? 0 且 an ? 1 ,故 bn ?1 ? bn ? 0 ,
2 2

2

因此 方法二:

bn ? bn ?1,n 为正整数.

由(1)可知 0 ? an ? 因为 an ?1 ?

3 ? an , 2

3 ,an ? 1 , 2

所以

bn ?1 ? an ?1 3 ? 2an ?1 ?

(3 ? an ) an 2
3



? 3 ? an ? 由 an ? 1 可得 an (3 ? 2an ) ? ? ? , ? 2 ?


? 3 ? an ? 2 an (3 ? 2an ) ? ? ? ?an ? 2 ?

2

贵州 2005-2011 高考数学真题
两边开平方得 即

an 3 ? 2an ?

3 ? an ? an . 2

bn ? bn ?1,n 为正整数.
2

22.解: (1)求函数 f ( x) 的导数; f ?( x) ? 3x ? 1 . 曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程为:

y ? f (t ) ? f ?(t )( x ? t ) ,


y ? (3t 2 ? 1) x ? 2t 3 .

(2)如果有一条切线过点 (a,b) ,则存在 t ,使

b ? (3t 2 ? 1)a ? 2t 3 .
于是,若过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则方程

2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0
有三个相异的实数根. 记 则

g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b , g ?(t ) ? 6t 2 ? 6at

? 6t (t ? a) .
当 t 变化时, g (t ),g ?(t ) 变化情况如下表:

t
g ?(t )

(??, 0)

0 0

(0,a)

a
0

(a, ? ?)

?

?

?

?

极大值 a ? b

?

极小值 b ? f (a)

?

g (t )
由 g (t ) 的单调性,当极大值 a ? b ? 0 或极小值 b ? f ( a) ? 0 时,方程 g (t ) ? 0 最多有一 个实数根; 当 a ? b ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? 0,t ? 根;

3a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的实数 2

贵州 2005-2011 高考数学真题
当 b ? f (a) ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? ? ,t ? a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异的 实数根. 综上,如果过 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 三条切线,即 g (t ) ? 0 有三个相异的实数根,则

a 2

? a ? b ? 0, ? ?b ? f (a ) ? 0.


?a ? b ? f (a ) .

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅱ)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷 1 至 2 页. 第Ⅱ卷 3 至 10 页. 考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上. 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.

参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么

球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

S ? 4πR2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k Pk (k ) ? Cn p (1 ? p) n?k (k ? 0, 1, 2, ?,n)

4 3 πR 3 其中 R 表示球的半径 V?

贵州 2005-2011 高考数学真题
一、选择题 1.设集合 M ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2} , N ? {n ? Z | ?1≤ n ≤ 3},则M ? N ? ( )

1? A. ?0,

0, 1? B. ??1,

1, 2? C. ?0,
3

, 0, 1, 2? D. ??1

2 2

2.设 a,b ? R 且 b ? 0 ,若复数 (a ? bi ) 是实数,则( A. b ? 3a
2 2

B. a ? 3b
2

2

C. b ? 9a
2

2

D. a ? 9b

1 ) ? x 的图像关于( x A. y 轴对称 B. 直线 y ? ?x 对称 C. 坐标原点对称 D. 直线 y ? x 对称
3.函数 f ( x) ?

1) a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln x ,则( 4.若 x ? (e ,,
3

?1

) D. b < c < a )

A. a < b < c

B. c < a < b

C. b < a < c

? y ≥ x, ? 5.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2, ,则 z ? x ? 3 y 的最小值( ? x ≥ ?2. ?

A. ?2 B. ?4 C. ?6 D. ?8 6.从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学 又有女同学的概率为( ) A.

9 29

B.

10 29

C.

19 29

D.

20 29


7. (1 ? A. ?4

x )6 (1 ? x ) 4 的展开式中 x 的系数是(
B. ?3 C.3 D.4

8.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M,N 两点,则 MN 的最大值为( A.1 ) C. 3 D.2 )

B. 2

9.设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围是( a 2 (a ? 1) 2
C. (2, 5) D. (2,5)

2) A. ( 2,

B. ( 2,5)

10.已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所 成的角的余弦值为( ) A.

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

贵州 2005-2011 高考数学真题
11.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? 7 y ? 4 ? 0 ,原点在等腰三角 形的底边上,则底边所在直线的斜率为( A.3 B.2 C. ? )

1 3

D. ?

1 2

12.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为 2, 则两圆的圆心距等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅱ) 第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.设向量 a ? (1 ,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ?a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线,则 ? ? 14.设曲线 y ? e 在点 (0, 1) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ?
ax 2





15 .已知 F 是抛物线 C:y ? 4 x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A,B 两点.设

FA ? FB ,则 FA 与 FB 的比值等于



16.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写 出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 △ABC 中, cos B ? ? (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ABC 的面积 S△ ABC ?

5 4 , cos C ? . 13 5 33 ,求 BC 的长. 2

贵州 2005-2011 高考数学真题
18. (本小题满分 12 分) 购买某种保险, 每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元, 若投保人在购买保险的一年度内 出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险,且各投 保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为

1 ? 0.99910 .
(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p ; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保证盈利的期望不小 于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元) . 19. (本小题满分 12 分) 如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB ? 4 ,点 E 在 CC1 上且 C1 E ? 3EC . (Ⅰ)证明: A1C ? 平面 BED ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? DE ? B 的大小. D1 A1 B1 C1

4

E D A 20. (本小题满分 12 分)
* 设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? a , an ?1 ? Sn ? 3 , n ? N .
n

C B

(Ⅰ)设 bn ? S n ? 3 ,求数列 ?bn ? 的通项公式;
n

(Ⅱ)若 an ?1 ≥ an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

21. (本小题满分 12 分) 设椭圆中心在坐标原点, A(2,, 0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于 点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6 DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.

??? ?

????

贵州 2005-2011 高考数学真题
22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

sin x . 2 ? cos x

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围.

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(必修 ? 选修Ⅱ)参考答案和评分参考
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如 果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题 1.B 2.A 7.B 8.B 二、填空题 13.2 14.2

3.C 9.B

4.C 10.C

5.D 11.A

6.D 12.C

5. 3 ? 2 2

16. 两组相对侧面分别平行; 一组相对侧面平行且全等; 对角线交于一点; 底面是平行四边形. 注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分. 三、解答题 17.解:

5 12 ,得 sin B ? , 13 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5
(Ⅰ)由 cos B ? ? 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? (Ⅱ)由 S△ ABC ?

33 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 65

33 得 2

贵州 2005-2011 高考数学真题
1 33 , ? AB ? AC ? sin A ? 2 2 33 由(Ⅰ)知 sin A ? , 65 故 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 AB ? AC ? 65 , · AB ? sin B 20 又 AC ? ? AB , sin C 13 20 13 故 AB 2 ? 65 , AB ? . 2 13 AB ? sin A 11 所以 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 BC ? ? .· sin C 2
18.解: 各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 p ,记投保的 10 000 人中出险的人数为 ? , 则 ? ~ B(10 ,p) .
4

(Ⅰ)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金,则 A 发生当且仅当 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? ? 0 ,·

P( A) ? 1 ? P( A)

? 1 ? P(? ? 0)
? 1 ? (1 ? p )10 ,
又 P( A) ? 1 ? 0.999
104
4



故 p ? 0.001 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 盈利 盈利的期望为
4

10 000? ? 50 000 ,

? ? 10 000a ? (10 000? ? 50 000) ,
E? ? 1 0 0 0 a 0 ?
?3

1 0 0E ? 0? 0
?3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 5, 00 0 0

10 ) 知, E? ? 10 000 ?10 , 由 ? ~ B(10 , E? ? 104 a ? 104 E? ? 5 ?104

? 104 a ? 104 ?104 ?10?3 ? 5 ?104 .

贵州 2005-2011 高考数学真题
E? ≥ 0 ? 104 a ? 104 ?10 ? 5 ?104 ≥ 0

? a ? 10 ? 5 ≥ 0
. ? a ≥15 (元) 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 19.解法一: 依题设知 AB ? 2 , CE ? 1 . (Ⅰ)连结 AC 交 BD 于点 F ,则 BD ? AC . 由三垂线定理知, BD ? A1C .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 在平面 A1CA 内,连结 EF 交 A1C 于点 G ,

AA1 AC 由于 ? ?2 2, FC CE
故 Rt△ A1 AC ∽ Rt△FCE , ?AA1C ? ?CFE ,

D1 A1 B1

C1

?CFE 与 ?FCA1 互余.
D 于是 A1C ? EF . A F

HE G B C

A1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直,
所以 A1C ? 平面 BED . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)作 GH ? DE ,垂足为 H ,连结 A1 H .由三垂线定理知 A1 H ? DE , 故 ?A1 HG 是二面角 A1 ? DE ? B 的平面角. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

EF ? CF 2 ? CE 2 ? 3 ,

CG ?

CE ? CF 2 3 2 2 ? , EG ? CE ? CG ? . EF 3 3

1 EF ? FD 2 EG 1 ? ? , GH ? ? . 3 DE EF 3 15
又 A1C ?

AA12 ? AC 2 ? 2 6 , A1G ? A1C ? CG ?

5 6 . 3

tan ?A1HG ?

A1G ?5 5. HG

贵州 2005-2011 高考数学真题
所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arctan 5 5 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解法二: 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz . z D1 A1 B1 C1

2,, 0) C (0, 2,, 0) E (0, 2,, 1) A1 (2, 0, 4) . 依题设, B(2,
???? ??? ? DE ? (0, 2,, 1) DB ? (2, 2, 0) ,
D x A B

E C y

???? ???? ? A1C ? (?2, 2, ? 4), DA1 ? (2, 0, 4) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
(Ⅰ)因为 A1C ?DB ? 0 , A1C ?DE ? 0 , 故 A1C ? BD , A1C ? DE . 又 DB ? DE ? D , 所以 A1C ? 平面 DBE .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)设向量 n ? ( x,y,z ) 是平面 DA1 E 的法向量,则

???? ??? ?

???? ????

???? ? ???? n ? DE , n ? DA1 .
故 2 y ? z ? 0 , 2x ? 4z ? 0 . 令 y ? 1,则 z ? ?2 , x ? 4 , n ? (4, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 1, ? 2) . ·

???? n, A1C 等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角,

???? ???? n?AC 14 1 . cos n, AC ? ???? ? 1 42 n AC 1
所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arccos 20.解: (Ⅰ)依题意, Sn ?1 ? Sn ? an ?1 ? Sn ? 3 ,即 Sn ?1 ? 2 Sn ? 3 ,
n n

14 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 42

由此得 Sn ?1 ? 3

n ?1

? 2( Sn ? 3n ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

因此,所求通项公式为

bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n ?1 , n ? N* .① · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

贵州 2005-2011 高考数学真题
(Ⅱ)由①知 Sn ? 3 ? (a ? 3)2
n n ?1

, n?N ,
*

于是,当 n ≥ 2 时,

an ? Sn ? Sn ?1 ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ,
an ?1 ? an ? 4 ? 3n ?1 ? (a ? 3)2n ?2
?2
n?2 n?2 ? ? ? 3? ?12 ? ? ? ? a ? 3? , ? 2? ? ? ? ?

当 n ≥ 2 时,

? 3? an ?1 ≥ an ? 12 ? ? ? ? 2?

n?2

? a ? 3≥ 0

? a ≥ ?9 .
又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 .

? ? ? .· 综上,所求的 a 的取值范围是 ? ?9, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分
21. (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1, 4

直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 如图,设 D( x0,kx0 ),E ( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k ) x ? 4 ,
2 2

y B O E D

F A x

故 x2 ? ? x1 ?

2 1 ? 4k
2

.①

由 ED ? 6 DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? 由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ?

??? ?

????

1 5 10 (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? ; 7 7 7 1 ? 4k 2

2 . 1 ? 2k

贵州 2005-2011 高考数学真题
所以

2 10 , ? 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2
2

化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,

2 3 或k ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3 8 ( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为
解得 k ?

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5 x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



h2 ?

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

又 AB ?

2 2 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 AB (h1 ? h2 ) 2

1 4(1 ? 2k ) ? ? 5? 2 5(1 ? 4k 2 )

?

2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2
1 ? 4k 2 ? 4k 1 ? 4k 2

?2

≤2 2 ,
当 2k ? 1 ,即当 k ?

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为

S ? S△BEF ? S△ AEF
? x2 ? 2 y2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
? ( x2 ? 2 y2 ) 2
2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2

贵州 2005-2011 高考数学真题
≤ 2( x22 ? 4 y22 )
?2 2,
当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 22.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 当 2kπ ?

(2 ? cos x) cos x ? sin x(? sin x) 2cos x ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? 2 (2 ? cos x) (2 ? cos x) 2

2π 2π 1 ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 ; ? x ? 2kπ ? 2 3 3 2π 4π 1 当 2kπ ? ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 . ? x ? 2kπ ? 2 3 3
因此 f ( x) 在每一个区间 ? 2kπ ?

? ?

2π 2π ? , 2kπ ? ? ( k ? Z )是增函数, 3 3 ?

2π 4π ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2kπ ? f ( x) 在每一个区间 ? 2kπ ? , ? ( k ? Z )是减函数. · 3 3 ? ?
(Ⅱ)令 g ( x) ? ax ? f ( x ) ,则

g ?( x) ? a ?

2 cos x ? 1 (2 ? cos x) 2

?a?

2 3 ? 2 ? cos x (2 ? cos x) 2
2

1 1? 1 ? ? 3? ? ? ?a? . 3 ? 2 ? cos x 3 ?
故当 a ≥

1 时, g ?( x ) ≥ 0 . 3

又 g (0) ? 0 ,所以当 x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ? 0 ,即 f ( x) ≤ ax . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 当0 ? a ?

1 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a . 3

arccos 3a ? 时, h?( x) ? 0 . 故当 x ? ? 0, arccos 3a ? 上单调增加. 因此 h( x ) 在 ? 0,
故当 x ? (0, arccos3a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , 即 sin x ? 3ax .

贵州 2005-2011 高考数学真题
于是,当 x ? (0, arccos3 a) 时, f ( x) ? 当 a ≤ 0 时,有 f ?

sin x sin x ? ? ax . 2 ? cos x 3

π ?π? 1 ? ? ? 0≥ a ? . 2 ? 2? 2 ?1 ?3 ? ?

因此, a 的取值范围是 ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? ? ? .·

2009 年全国高考理科数学试题及答案(全国卷Ⅱ)
一、选择题: 1.

10i ? 2-i
A. -2+4i B. -2-4i C. 2+4i D. 2-4i

解:原式 ?

10i(2+i) ? ?2 ? 4i .故选 A. (2-i)(2+i)
? ? x ?1 ? ? 0 ? ,则 A ? B = x?4 ?
C. ? ?2,1? D.

2. 设集合 A ? ? x | x ? 3? , B ? ? x | A. ? 解: B ? ? x | B.

? 3, 4 ?

? 4. ? ? ?

? ?

x ?1 ? ? 0? ? ? x | ( x ? 1)( x ? 4) ? 0? ? ? x |1 ? x ? 4? .? A ? B ? (3, 4) .故选 B. x?4 ?

12 , 则 cos A ? 5 12 5 5 A. B. C. ? 13 13 13 12 ? 解:已知 ?ABC 中, cot A ? ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2
3. 已知 ?ABC 中, cot A ? ?

D. ?

12 13

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 5 1 ? (? )2 12

??

12 13

故选 D.

4.曲线 y ?

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0

贵州 2005-2011 高考数学真题
解: y ? |x ?1 ?

2x ?1 ? 2x 1 |x ?1 ? [? ] |x ?1 ? ?1 , 2 (2 x ? 1) (2 x ? 1) 2
故选 B.

故切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0

5. 已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AA1 ? 2 AB, 则异面直线 BE 与 CD1 所 E 为 AA1 中点, 成的角的余弦值为 A.

10 10

B.

1 5

C.

3 10 10

D.

3 5

解:令 AB ? 1 则 AA1 ? 2 ,连 A1 B ? C1 D ∥ A1 B ?异面直线 BE 与 CD1 所成的角即 A1 B 与 BE 所成的角。在 ?A1 BE 中由余弦定理易得 cos ?A1 BE ? 6. 已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? A.

3 10 。故选 C 10

5

B.

10

C. 5
2

D. 25

b? | b | ? 5 ? 20? | b | ?| b |? 5 。故选 C 解:? 50 ?| a ? b | ?| a | ?2a?
2 2 2

? ?

?

? ?

?

?

?

7. 设 a ? log 3 ? , b ? log 2 3, c ? log3 A. a ? b ? c 解:? log 3

2 ,则
C. b ? a ? c D. b ? c ? a

B. a ? c ? b

2 ? log 2 2 ? log 2 3 ? b ? c 3 ? lo 2 g ?2
3

log 2

l o? g 3? ? ag ? b ? a 3 lo

? b

? c .故选 A.

8. 若 将 函 数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??

? ?? ? 0 ? 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 , 与 函 数 4? 6

?

?? ? y ? tan ? ? x ? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6? ?
A.

1 6
? ?

B.

1 4
?

C.

1 3

D.

1 2

解: y ? tan ? ? x ?

??

向右平移 个单位 ? ? ?? ? 6 ? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? ? ?????? 4? 6 4 6? ?

贵州 2005-2011 高考数学真题
?

?
4

?

?
6

? ? k? ?

又?? ? 0 ??min

1 ? ? ? 6k ? ( k ? Z ) , 6 2 1 ? .故选 D 2

?

2 9. 已知直线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交

于 A、B 两点, F 为 C 的焦点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ?

A.

1 3

B.

2 3
2

C.

2 3

D.

2 2 3

解 : 设 抛 物 线 C : y ? 8 x 的 准 线 为 l : x ? ?2 直 线

y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 恒过定点 P ? ?2, 0 ? .如图过 A、B 分 别作 AM ? l 于 M , BN ? l 于

N , 由 | FA |? 2 | FB | ,则 | AM |? 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点.连结 OB ,则 | OB |?
? | OB |?| BF | 点 B 的横坐标为 1 , 故点 B 的坐标为 (1, 2 2) ? k ?
选D

1 | AF | , 2

2 2 ?0 2 2 ? , 故 1 ? (?2) 3

10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共 有 A. 6 种 B. 12 种
2 2

C. 30 种
2

D. 36 种

解:用间接法即可. C4 ? C4 ? C4 ? 30 种. 故选 C

x2 y 2 11. 已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 a b

A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
m A.

6 5
x2 a

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5

解: 设双曲线 C: 2 ?

y2 ? 1的右准线为 l ,过 A、B 分 别 b2

作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 N , BD ? AM 于D , 由 直 线 AB 的 斜 率 为

3 , 知 直 线 AB 的 倾 斜 角 为

60???BAD ? 60?,| AD |?

1 | AB | , 2

贵州 2005-2011 高考数学真题
由 双 曲 线 的 第 二 定 义 有

? ??? ? ? ??? ? 1 ??? 1 1 ??? | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) ? | AB |? (| AF | ? | FB |) . e 2 2 ??? ? 5 ??? ? 1 6 又? AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? 故选 A e 2 5
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、 下、 东、 南、 西、 北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得 到右侧的平面图形,则标“ ? ”的面的方位是 A. 南 C. 西 B. 北 D. 下

解:展、折问题。易判断选 B

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡上。

?x 解: ? x
13.

y ? y x 的展开式中 x 3 y 3 的系数为 y?y
4

? x?

4

6



? x 2 y 2 ( x ? y )4 ,只需求 ( x ? y ) 4 展开式中的含 xy 项的系数:

2 C4 ?6

14. 设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? S5

9

.

解:??an ? 为等差数列,?

S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

15.设 OA 是球 O 的半径, M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面得

7? ,则球 O 的表面积等于 8? . 4 7? 7 2 解:设球半径为 R ,圆 C 的半径为 r ,由4? r ? ,得r 2 ? . 4 4
到圆 C 。若圆 C 的面积等于 因为 OC ? 积等于 8? .
2 2 16. 已知 AC、BD 为圆 O : x ? y ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M 1, 2 , 则四边形

2 R 2 2 2 1 7 ? ? R 。由 R 2 ? ( R) ? r 2 ? R 2 ? 得 R2 ? 2 .故球 O 的表面 2 2 4 4 8 4

?

?

ABCD 的面积的最大值为



贵州 2005-2011 高考数学真题
解:设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d 2 ,则 d1 +d 2 ? OM ? 3 .
2 2 2

四边形 ABCD 的面积 S ?

1 | AB | ? | CD |? 2 (4 ? d12 )(4-d 2 2 ) ? 8 ? (d12 ? d 2 2 ) ? 5 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分) 设 ?ABC 的内角 A 、 cos( A ? C ) ? cos B ? C 的对边长分别为 a 、 b、 B、 c, 求B。 分 析 : 由 c oA s ?( C ? )

3 2 , b ? ac , 2

3 B c? o, s 易 想 到 先 将 B ? ? ? ( A ? C) 代 入 2

c oA s ?( C ? )
开得 sin A sin C ? 进而得 sin B ?

3 3 得s 然后利用两角和与差的余弦公式展 B c? o cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 2 2。

3 2 2 ;又由 b ? ac ,利用正弦定理进行边角互化,得 sin B ? sin A sin C , 4

3 ? 2? 2? .故 B ? 或 。 大部分考生做到这里忽略了检验, 事实上, 当B ? 时, 2 3 3 3

由 cos B ? ? cos( A ? C ) ? ?

1 3 ,进而得 cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? ? 2 ? 1 ,矛盾, 应舍去。 2 2 2? 2 也可利用若 b ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ? 。不过这种方法学生不易想到。 3

评析:本小题考生得分易,但得满分难。

18(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC, D 、 E 分别 为 AA1 、 B1C 的中点, DE ? 平面 BCC1 (I)证明: AB ? AC (II)设二面角 A ? BD ? C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小。 (I)分析一:连结 BE,? ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱, ??B1BC ? 90?,

? E 为 B1C 的中点,? BE ? EC 。又 DE ? 平面 BCC1 ,
? BD ? DC (射影相等的两条斜线段相等)而 DA ? 平面 ABC ,
。 ? AB ? AC (相等的斜线段的射影相等) 分 析 二 :取 BC 的中点 F , 证四 边形 AFED 为 平行四边 形,进 而证 AF ∥ DE ,

贵州 2005-2011 高考数学真题
AF ? BC ,得 AB ? AC 也可。
分析三:利用空间向量的方法。具体解法略。 (II)分析一:求 B1C 与平面 BCD 所成的线面角,只需求点 B1 到面 BDC 的距离即可。 作 AG ? BD 于 G ,连 GC ,则 GC ? BD , ?AGC 为二面角 A ? BD ? C 的平面角,

? 4. 在 RT ?ABD 中 , 由 ?AGC ? 60? . 不 妨 设 AC ? 2 3 , 则 A G? 2 , G C

AD ? AB ? BD ? AG ,易得 AD ? 6 .
设点 B1 到面 BDC 的距离为 h , B1C 与平面

BCD











?







1 1 S?B1BC ? DE ? S?BCD ? h ,可求得 h ? 2 3 ,又可 3 3
求得 B1C ? 4 3

sin ??

h 1 ? ?? ? 3?0 . B1C 2

即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30?. 分析二:作出 B1C 与平面 BCD 所成的角再行求解。如图可证得 BC ? 面AFED ,所以 面 AFED ? 面BDC 。由分析一易知:四边形 AFED 为正方形,连 AE、DF ,并设交 点为 O ,则 EO ? 面BDC ,?OC 为 EC 在面 BDC 内的射影。??ECO即为所求 。 以下略。 分析三:利用空间向量的方法求出面 BDC 的法向量 n ,则 B1C 与平面 BCD 所成的角即 为 B1C 与法向量 n 的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。 总之在目前, 立体几何中的两种主要的处理方法: 传统方法与向量的方法仍处于各自半壁 江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。

?

????

?

19(本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn ?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。

贵州 2005-2011 高考数学真题
解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn ?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,? b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由 Sn ?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an ?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an ?1 ? 4an ? 4an ?1 ,? an ?1 ? 2an ? 2(an ? 2an ?1 ) 又? bn ? an ?1 ? 2an ,? bn ? 2bn ?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an ?1 ? 2an ? 3 ? 2
n ?1

,?

an ?1 an 3 ? ? 2n?1 2n 4

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 2 4 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ? 1) ? 2n ? 2 2 2 4 4 4

?数列 {

评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn ?1的关系即可 . 第(II)问中由(I)易得 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2
n n ?1

,这个递推式明显是一个构造新数列的模
n ?1

型: an ?1 ? pan ? q ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q



总体来说,09 年高考理科数学全国 I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数 列(全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) ,一改往年的将数列结合不等式放缩 法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方法基本技 能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

20(本小题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人,现 采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术 考核。 (I)求从甲、乙两组各抽取的人数; (II)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (III)记 ? 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ? 的分布列及数学期望。 分析: (I)这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层 抽样与性别无关。 (II)在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难。

贵州 2005-2011 高考数学真题
从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 P ? (III) ? 的可能取值为 0,1,2,3
1 1 1 1 2 2 1 C3 C4 C6 C3 C4 C4 C2 6 28 P (? ? 0) ? 2 ? 1 ? ? 1? 2 ? 1? , P (? ? 1) ? , 2 C10 C5 75 C10 C5 C10 C5 75 1 C62 C2 10 31 ? ? , P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 2 1 C10 C5 75 75 1 1 C4 ? C6 8 ? 2 C10 15

P (? ? 3) ?

分布列及期望略。 评析:本题较常规,比 08 年的概率统计题要容易。在计算 P(? ? 2) 时,采用分类的方法, 用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵活变通的能力。

21(本小题满分 12 分)

3 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 3 a b

A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为
(I)求 a , b 的值;

2 2

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 解:(I)设 F (c, 0) ,直线 l : x ? y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为

??? ?

??? ? ??? ?

2 2



|0?0?c| 2 c 3 ? ,? a ? 3, b ? 2 . ,解得 c ? 1 .又 e ? ? 2 a 3 2

(II)由(I)知椭圆的方程为 C :

x2 y 2 ? ? 1 .设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 3 2

由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1 代入椭圆的方程中整理得 (2m ? 3) y ? 4my ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 0 。
2 2

贵州 2005-2011 高考数学真题
4m 4 . . . . . . .① , y1 y2 ? ? 2 ,. 2 2m ? 3 2m ? 3 ??? ? ??? ? ??? ? .假设存在点 P,使 OP ? OA ? OB 成立,则其充要条件为:
由韦达定理有: y1 ? y2 ? ? 点 P的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,点 P 在椭圆上,即
2 2 2 2

( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 1。 3 2

整理得 2 x1 ? 3 y1 ? 2 x2 ? 3 y2 ? 4 x1 x2 ? 6 y1 y2 ? 6 。 又 A、B 在椭圆上,即 2 x1 ? 3 y1 ? 6, 2 x2 ? 3 y2 ? 6 .
2 2 2 2

故 2 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .②
2 将 x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? m y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1 及①代入②解得 m ?
2

1 2

? y1 ? y2 ?

4m 2 3 3 2 2 2 ). ? 2 ? ,即 P( , ? 或? , x1 ? x2 = ? 2 2 2 2 2 2m ? 3 2

当m ?

2 3 2 2 时, P( , ? ), l : x ? y ?1 ; 2 2 2 2 2 3 2 2 时, P( , ), l : x ? ? y ? 1. 2 2 2 2

当m ? ?

评析:处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算” ,主要讲的是算理和 算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是 表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如:三 角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来 算?在具体处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入 点。

22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2
2

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2 In2 4
a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x

解: (I) f ? ? x ? ? 2 x ?

贵州 2005-2011 高考数学真题
令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a , 其对称轴为 x ? ?
2

1 。 由题意知 x1、x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个均 2

大于 ?1 的不相等的实根,其充要条件为 ?

?? ? 4 ? 8a ? 0 1 ,得 0 ? a ? 2 ? g (?1) ? a ? 0

⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( ?1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数; ⑶当 x ? ( x2, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数; (II)由(I) g (0) ? a ? 0,??

1 ? x2 ? 0 , a ? ?(2 x 2 2 +2x2 ) 2

? f ? x2 ? ? x2 2 ? aln ?1 ? x2 ? ? x2 2 ? (2 x 2 2 +2x2 )ln ?1 ? x2 ?
设 h ? x ? ? x ? (2 x ? 2 x)ln ?1 ? x ? ( x ? ? ) ,
2 2

1 2

则 h? ? x ? ? 2 x ? 2(2 x ? 1)ln ?1 ? x ? ? 2 x ? ?2(2 x ? 1)ln ?1 ? x ? ⑴当 x ? (?

1 1 , 0) 时, h? ? x ? ? 0,? h( x) 在 [ ? , 0) 单调递增; 2 2

⑵当 x ? (0, ??) 时, h? ? x ? ? 0 , h( x ) 在 (0, ??) 单调递减。

1 1 1 ? 2ln 2 ?当x ? (? , 0)时, h ? x ? ? h(? ) ? 2 2 4 1 ? 2 In2 故 f ? x2 ? ? h( x2 ) ? . 4

2010 年高考大纲全国卷 II 理科数学试题及答案
(云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)

理科数学(必修+选修 II)[
第I卷
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相互独 立,那么

S ? 4? R2
其中 R 表示球的半径

贵州 2005-2011 高考数学真题
P( A ?B )? P ( A ? ) P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 球的体积公式

4 V ? ? R3 3
其中 R 表示球的半径

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) ? Cn p (1 ? p) n ?k (k ? 0,1, 2, …n)

源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com

一.选择题 (1)复数 ?

?3?i? ? ? ? 1? i ?
(B) ?3 ? 4i (C) 3 ? 4i (D) 3 ? 4i

2

(A) ?3 ? 4i (2)函数 y ? (A) y ? e (C) y ? e

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 的反函数是 2

2 x ?1

? 1( x ? 0) ? 1( x ? R)

(B) y ? e (D) y ? e

2 x ?1

? 1( x ? 0) ? 1( x ? R)

2 x ?1

2 x ?1

? x≥ ? 1, ? (3)若变量 x, y 满足约束条件 ? y≥x, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? 2 y≤5, ?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(4)如果等差数列 ? an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

(5)不等式

x2 ? x ? 6 >0 的解集为 x ?1

(A) x x< ? 2, 或x>3

?

? ?

(B) x x< ? 2,或1<x<3

?

?

1,或x>3 (C) x ?2<x<

?

(D) x ?2<x<1,或1<x<3

?

?

(6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种

(7)为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 3 6

?

贵州 2005-2011 高考数学真题
? 个长度单位 4 ? (C)向左平移 个长度单位 2
(A)向左平移

? 个长度单位 4 ? (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移

(8)VABC 中,点 D 在 AB 上, CD 平方 ?ACB .若 CB ? a ,CA ? b , a ? 1 , b ? 2 , 则 CD ? (A) a ?

uur

uur

uuu r

1 3

2 b 3

(B)

2 1 a? b 3 3

(C) a ?

3 5

4 b 5

(D)

4 3 a? b 5 5

(9)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 (A)1
? 1 2

(B) 3

(C)2

(D)3

1 ? ? ? (10)若曲线 y ? x 在点 ? a, a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ? ?

[来

(A)64

(B)32

(C)16

(D)8

(11)与正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A1 D1 所在直线的距离相等的点 (A)有且只有 1 个 (C)有且只有 3 个 (12)已知椭圆 C : (B)有且只有 2 个 (D)有无数个

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k (k>0) 的 2 2 a b

直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

??? ?

??? ?

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)已知 a 是第二象限的角, tan(? ? 2a) ? ?

4 ,则 tan a ? 3




(14)若 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数是 ?84 ,则 a ?
9
3

a x

2 (15)已知抛物线 C : y ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1,0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于

点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ?

???? ?

????



(16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦,

AB ? 4 .若 OM ? ON ? 3 ,则两圆圆心的距离 MN ?



贵州 2005-2011 高考数学真题

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分)

?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 ,sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD . 13 5

(18) (本小题满分 12 分)

3 . 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n ? n)?
2 n

(Ⅰ)求 lim

n ??

an ; Sn

(Ⅱ)证明:

a a1 a2 ? 2 ?…? n >3n . 2 1 2 n2

(19) (本小题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC ? BC ,AA1 ? AB ,D 为 BB1 的中点,E 为 AB1 上的一点, AE ? 3EB1 . (Ⅰ)证明: DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45° ,求二面角

A1 ? AC1 ? B1 的大小.
(20) (本小题满分 12 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流能通过 T1,T2, T3 的概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知 T1,T2, T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999. (Ⅰ)求 p; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (Ⅲ) ? 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的元件个数,求 ? 的期望.

贵州 2005-2011 高考数学真题

[

(21) (本小题满分 12 分) 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: 的中点为 M ?1, 3 ? . (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF ? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.

x2 y 2 ? ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、D 两点,且 BD a 2 b2

(22) (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? 1 ? e .
?x

(Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

2010 年高考大纲全国卷 II 理科数学参考答案
一.选择题

?3?i? (1)复数 ? ? ? ? 1? i ?
(A) ?3 ? 4i (B) ?3 ? 4i 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查复数的运算. (C) 3 ? 4i (D) 3 ? 4i

2

贵州 2005-2011 高考数学真题
【解析】 ?

?3?i? ? (3 ? i )(1 ? i ) ? ? (1 ? 2i ) 2 ? ?3 ? 4i . ? ?? ? 2 ? 1? i ? ? ?

2

2

(2)函数 y ? (A) y ? e (C) y ? e 【答案】D

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 的反函数是 2
? 1( x ? 0) ? 1( x ? R)
(B) y ? e (D) y ? e
2 x ?1

2 x ?1

? 1( x ? 0) ? 1( x ? R)

2 x ?1

2 x ?1

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得 x ? e
2 y ?1

? 1 , 即 f ?1 ( x) ? e2x ? 1? 1, 又 x ? 1 , ∴ x ? 1 ? 0 ; ∴

ln(x ? 1) ? R ,∴在反函数中 x ? R ,故选 D.
另法(一点定乾坤――反函数选择题最快捷的方法) :原函数过点( e ? 1 ,0),反函数必过点 (0, e ? 1 ),符合条件的只有选项 D.
?1 ?1

? x≥ ? 1, ? (3)若变量 x, y 满足约束条件 ? y≥x, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? 2 y≤5, ?
(A)1 (B)2 (C)3 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题. (D)4

【解析】可行域是由 A(?1, ?1), B(?1, 4),C(1,1) 构成的三角形,可知目标函数过 C 时最大, 最大值为 3,故选 C. (4)如果等差数列 ? an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? (5)不等式 (D)35

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

x2 ? x ? 6 >0 的解集为 x ?1

(A) x x< ? 2, 或x>3

?

? ?

(B) x x< ? 2,或1<x<3

?

?

1,或x>3 (C) x ?2<x<

?

(D) x ?2<x<1,或1<x<3

?

?

贵州 2005-2011 高考数学真题
【答案】C 【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法. 【解析】 C 另法:当 x ? 0 时不等式成立,所以排除 A、B;当 x ? 2 时不等式不成立,所以排除 D.故故 选C

x2 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) ?0? ? 0 ,利用数轴穿根法解得-2<x<1 或 x>3,故选 x ?1 x ?1

(6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种 【答案】B 【解析】本题考查了排列组合的知识,考察考生分析问题的能力. ∵先从 3 个信封中选一个放 1,2 有 3 种不同的选法,再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封 有 C4 ? 6 ,余下放入最后一个信封,∴共有 3C4 ? 18 ,故选 B.
2 2

(7)为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?

? 个长度单位 4 ? (C)向左平移 个长度单位 2
(A)向左平移

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 3 6 ? (B)向右平移 个长度单位 4 ? (D)向右平移 个长度单位 2

?

【答案】B 【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移. 【 解 析 】 y ? s i n (x2 ?

?
6

=)sin 2( x ?

? ? ? y ? sin(2 x ? ) 的图像向右平移 个长度单位得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像,故选 B. 4 6 3 uur r uur r r r (8)VABC 中,点 D 在 AB 上,CD 平分 ?ACB .若 CB ? a ,CA ? b , a ? 1 , b ? 2 ,
则 CD ? (A) a ?

) , y ? sin(2 x ? ) ? sin 2( x ? ) , 所 以 将 12 3 6

?

?

?

uuu r

1r 3

2r b 3

(B)

2r 1r a? b 3 3

(C) a ?

3r 5

4r b 5

(D )

4r 3r a? b 5 5

【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理. 【解析】因为 CD 平分 ?ACB ,由角平分线定理得

AD DB

=

CA CB

?

2 ,所以 D 为 AB 的三等分 1

贵州 2005-2011 高考数学真题
点,且 AD ? B. (9)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 (A)1 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察椎体的体积,考察告辞函数的最值问题. 【解析】设底面边长为 a,则高 h? (B)

????

? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 2 ??? ? 1 ??? ? 2? 1? 2 ??? AB ? (CB ? CA) ,所以 CD ? CA+AD ? CB ? CA ? a ? b ,故选 3 3 3 3 3 3

3

(C)2

(D)3

SA2 ? (

2 2 1 a ) ? 12 ? a 2 所 以 体 积 , 2 2

1 1 1 V ? a2h ? 12a 4? a 3 3 2
设 y ? 12a ?
4

6

1 6 a ,则 y? ? 28a3 ? 3a5 ,当 y 取最值时, y? ? 28a3 ? 3a5 ? 0 ,解得 a=0 或 2
1 2 a ? 2 ,故选 C. 2

a=4 时,体积最大,此时 h ? 12 ?

(10)若曲线 y ? x

?

1 2

在点 ? a, a

? ?

?

1 2

? ? 处的切线与两 个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ?

(A)64 (B)32 (C)16 (D)8 【答案】A 【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式, 考查考生的计算能力..
1 3 ? 1 ?3 1 ?3 1 ?2 2 2 2 【 解 析 】 y ' ? ? x ,? k ? ? a , 切 线 方 程 是 y ? a ? ? a ( x ? a ) , 令 x ? 0 , 2 2 2

y?
A.

3 ?1 1 3 ?1 a 2 ,令 y ? 0 , x ? 3a ,∴三角形的面积是 s ? ? 3a ? a 2 ? 18 ,解得 a ? 64 .故选 2 2 2

(11)与正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A1 D1 所在直线的距离相等的点 (A)有且只有 1 个 (C)有且只有 3 个 【答案】D 【解析】直线 上取一点,分别作 垂直于 于 则 (B)有且只有 2 个 (D)有无数个

贵州 2005-2011 高考数学真题
分别作 O1N⊥A1D1,O2M⊥CC1,O3Q⊥AB,垂足分别为 M,N,Q,连 PM,PN,PQ,由三垂线定理 可 得, PN ⊥ A1D1 , PM ⊥ CC1 ; PQ ⊥ AB , 由于正 方体中 各个表 面、对等 角全等 ,所 以 O1N=O2M =O3Q,∴PM=PN=PQ,即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的 距离相等所以有无穷多点满足条件,故选 D. (12)已知椭圆 C :

3 x2 y 2 ,过右焦点 F 且斜率为 k (k>0) 的 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 2 2 a b

直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ? (A)1 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线 l 为椭圆的有准线,e 为离心率,过 A,B 分别作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B 为垂足,过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E ,由第二定义得 | A1 A |? (B) 2 (C) 3 (D)2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? | BF | AF ? 3FB ,得 | A1 A |? 3 ,, e
∴ cos ?BAE ? B. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13)已知 a 是第二象限的角, tan(? ? 2a) ? ? 【答案】 ?

| AF | | BF | , | B1 B |? ,由 e e

| AE | 1 3 6 ? ? ,∴ sin ?BAE ? , tan ?BAE ? 2 ,即 k= 2 ,故选 | AB | 2e 3 3

4 ,则 tan a ? 3



1 2

【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生的 计算能力.

4 2 t a? n 4 , 又 t a na 2? ? ? ,解得 2 3 1? t a n ? 3 1 1 tan ? ?? 或 t? an ? ,又 2 a 是第二象限的角,所以 tan ? ? ? . 2 2 a 9 3 (14)若 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数是 ?84 ,则 a ? . x
【解析】由 tan ?(? a 2 ?) ? 得 tan 2a ? ?

4 3

【答案】1 【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.

贵州 2005-2011 高考数学真题
【解析】展开式中 x 3 的系数是 C9 (?a) ? ?84a ? ?84,? a ? 1 .
3 3 3

2 (15)已知抛物线 C : y ? 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1,0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交于

点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM ? MB , 则 p ? 【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.

???? ?

????



【解析】过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E,∵ AM ? MB ,∴M 为中点,∴ BM ? 率为 3 ,?BAE ? 300 ,∴ BE ?

???? ?

????

1 AB ,又斜 2

1 AB ,∴ BM ? BE ,∴M 为抛物线的焦点,∴ p ? 2. 2

(16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦,

AB ? 4 .若 OM ? ON ? 3 ,则两圆圆心的距离 MN ?
【答案】3 【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质,解三角形问题.



【解析】设 E 为 AB 的中点,则 O,E,M,N 四点共面,如图,∵ AB ? 4 ,所以

? AB ? OE ? R ? ? ? ? 2 3 ,∴ ME= 3 ,由球的截面性质,有 OM ? ME,ON ? NE ,∵ ? 2 ?
2

2

OM ?ON ? 3 ,所以 ?MEO 与 ?NEO 全等,所以 MN 被 OE 垂直平分,在直角三角形中,由
面积相等,可得, MN=2

ME?MO ?3 OE

------------------------------------------------------------------------------------------

2010 年高考数学解析(全国Ⅱ卷理)
题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 C 6 B 7 B 8 B 9 C 10 A 11 D 12 B

1.A 解析:本题考查了复数的运算。 (

3 ? i 2 8 ? 6i (8 ? 6i )i 6 ? 8i )= = = =-3-4i; 1? i 2i 2i ? i ?2 1 ? ln( x ? 1) - 得 2y=1+ln(x-1) ,即 ln(x-1)=2y-1,那么 x-1=e2y 1,即 x=e2y 2


2.D 解析:本题考查了反函数的求解、原函数与反函数的关系等。 由 y=
-1

-1,故对应的反函数为 y=e2x 1+1,由于原函数中 y∈R,则相应的反函数中 x∈R; 3.C 解析:本题考查了线性规划的知识与函数的最值问题。

贵州 2005-2011 高考数学真题
? x ? ?1 ? 作出可行域 ? y ? x ,如图所示,作出目标函数线,可得直线 y=x 与 3x+2y=5 的交 ?3 x ? 2 y ? 5 ?
点为最优解点,即为(1,1) ,当 x=1,y=1 时 z 的最大值为 1+2=3;

4.C 解析:本题考查了等差数列的通项及其基本性质等知识。 在等差数列{an}中,由于 a3+a4+a5=12,则 2a4=a3+a5=8,即 a4=4,那么根据等差数列的性 质知 a1+a2+?+a7=7a4=28; 5.C 解析:本题考查了分式不等式的求解。 由

x2 ? x ? 6 ( x ? 2)( x ? 3) >0,得 >0,根据不等式的性质可以求解对应的解为-2<x<1 x ?1 x ?1

或 x>3; 6.B 解析:本题考查了排列组合的知识。 先从 3 个信封中选一个放标号为 1,2 的卡片,有 3 种不同的选法;再从剩下的 4 张卡片 中选两张放到一个信封有 C4 种;余下的两张卡片放入最后一个信封,∴共有 3 C4 =18 种不同 的放法; 7.B 解析:本题考查了三角函数的图象的平移问题。
2 2

? ? ? ? )=sin[2(x+ )]=sin[2(x- + )],那么要得到函数 y=sin[2(x 6 12 6 4 ? ? ? - )]的图像,只要把 y=sin(2x+ )向右平移 个长度单位即可; 6 6 4
由于 y=sin(2x+ 8.B 解析:本题考查了三角形的基本性质与平面向量的基础知识。 由于 CD 为角平分线,则利用角平分线性质有 CB:CA=BD:AD=1:2,由于 BA = CA -

CB = b - a ,那么 CD = CB + BD = a +

1 1 1 2 BA = a + ( b - a )= a + b ; 3 3 3 3
2 a)2=SA2=12, 2

9.C 解析:本题考查了空间几何体的体积,导数的应用以及探究性问题。 设正四棱锥 S—ABCD 的高为 h,底面正方形的边长为 a,那么有 h2+( 那么 a2=24-2h2, 那么该几何体的体积为 V=

1 2 1 2 a h= (24-2h2) h=8h- h3, 则 V′=8-2h2, 3 3 3 16 令 V′=0,解得 h=2,即当 h=2 时,对应的体积最大,最大值为 ; 3

贵州 2005-2011 高考数学真题
10.A 解析:本题考查了导数的几何意义,直线的点斜式方程,直线与坐标轴围成三角形的特 征与公式,以及幂运算等。 由于 y= x
? 1 2

,那么 y′=-
1 2 3

1 ?2 1 ? x ,那么由导数的几何意义知 k=- a 2 ,则对应的切线 2 2
1

3

3

方程为 y- a
1

?

=-

1 ?2 3 ?2 , 令 x=0 , 得 y= a (x-a) a , 令 y=0 , 得 x=3a , 则 2 2
1

1 3 ? S= × a 2 × 3a=18,整理得 a 2 =8,解得 a=64; 2 2
11.D 解析:本题考查了空间想象能力。 由于到三条两两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴, 以正方体边长为半径的圆柱 面上,∴三个圆柱面有无数个交点; 12.B 解析:本题考查了椭圆的方程与几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,平面向量的相 关知识等。 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 由于 AF =3 FB , 则有 y1=-3y2, 而 e=

3 , 可设 a=2t, c= 3 t, 2

b=t,代入椭圆方程整理有 x2+4y2-4t2=0,而对应的直线 AB 的方程为 y=k(x- 3 t) ,即 x=sy+ 3 t(令 s=

1 ) ,代入 x2+4y2-4t2=0 消去 x 并整理可得(s2+4)y2+2 3 tsy-t2=0,那么 k

y1+y2=-

t2 t2 2 3ts 2 3ts 2 , y y = - ,把 y = - 3y 代入得- 2y = - ,- 3y = - , 1 2 1 2 2 2 s2 ? 4 s2 ? 4 s2 ? 4 s2 ? 4
2 ,故 k= 2 ; 2

解得 s= 13.-

1 解析:本题考查了三角函数的诱导公式,三角函数的恒等变换公式等。 2 4 2 tan? 4 由于 tan(π+2α)=tan2α=- ,又 tan2α= =- ,则有 2tan2α-3tanα-2=0, 2 3 3 1 ? tan ? 1 1 解得 tanα=2 或 tanα=- ,由于 α 是第二象限角,则取 tanα=- ; 2 2
14.1 解析:本题考查了二项展开式定理及其应用。 由于 Tr+1= C9 ?x9 r( ? -


r

a r r - 3 ) = C9 (-a)r?x9 2r,令 9-2r=3,解得 r=3,则有 C9 (-a) x

3

=-84,解得 a=1;
2

15. C : y ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,过 M (1,0) 且 斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A ,与 C 的一个

贵州 2005-2011 高考数学真题
交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ? 法一:2 解析:本题考查了抛物线的几何性质,以及平面向量的基本知识。 由于直线 AB 的方程为 y= 3 (x-1) ,代入 y2=2px 得 3x2-(6+2p)x+3=0,又由于
? ?

AM = MB ,那么结合图形特征可得点 B 的横坐标 x=
可得 p2+4p-12=0,解得 p=2 或 p=-6(负值舍去) ; 例题 5 (全国Ⅱ文理 15 题)已知抛物线 法二:如图所示,在 Rt?ABB1 中, ?BAB1 ? 30 ,
?

1 p+2,代入 3x2-(6+2p)x+3=0 整理 2
y B1 B

AB ? 2 BB1 ,又 AM ? MB ,则 M 是 A 、 B 中点,
则 BB1 ? BM ,则 M 与焦点 F 重合,则 p ? 2 . 16.3 解析:本题考查了球、直线与圆的基础知识。 M F

?

?

x

由于 ON=3,球半径为 4,∴小圆 N 的半径为 7 ,∵小圆 N 中弦长 AB=4,作 NE 垂直 A 于 AB,∴NE= 3 ,同理可得 ME= 3 ,在直角三角形 ONE 中,∵NE= 3 ,ON=3,∴∠ EON=30?,∴∠MON=60?,∴MN=3;

O B N

M E A

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分)

? ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD 。 13 5

【命题意图】 本试题主要考查同角三角函数关系、 两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应 用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由 ?ADC 与 ?B 的差求出 ?BAD ,根据同角关系及差角公式求出 ?BAD 的正弦,在三角形 ABD 中,由正弦定理可求得 AD。 解: 由 cos ?ADC ?

3 ? ? 0知B ? 5 2

贵州 2005-2011 高考数学真题
由已知得 cos B ? 从而

12 4 ,sin ?ADC ? , 13 5

sin ?BAD ? sin(?ADC ? B)

=sin ?ADC cos B ? cos ?ADC sin B
4 12 3 5 ? ? ? ? 5 13 5 13 33 . ? 65
由正弦定理得

AD BD , ? sin B sin ?BAD BD ? sin B 所以 AD ? sin ?BAD 5 33 ? 13 =25 . = 33 65
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现. 这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不 会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将 边角互化. (18) (本小题满分 12 分)

3 . 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n ? n)?
2 n

(Ⅰ)求 lim

an ; n ?? S n

(Ⅱ)证明:

a a1 a2 ? 2 ?…? n >3n . 2 2 1 2 n
? s1 ( n ? 1) ? sn ? sn ?1 (n ? 2)
的运用,数列极限和数列不

【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 an ? ?

等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【解析】 (Ⅰ) lim

an S ? Sn ?1 S S ? lim n ? lim(1 ? n ?1 ) 1 ? lim n ?1 , n ?? S n ?? n ?? n ?? S Sn Sn n n

lim

Sn ?1 n ?1 1 1 ? lim ? ? , n ?? S n ?? n ? 1 3 3 n an 2 ? . Sn 3

所以 lim

n ??

贵州 2005-2011 高考数学真题
a1 ? S1 ? 6 ? 3 ; 12 a a1 a2 当 n ? 1 时, 2 ? 2 ?? ? n 1 2 n2 S ?S a1 S2 ? S1 ? 2 ? ? ? ? n 2 n ?1 2 1 2 n
(Ⅱ)当 n ? 1 时,

【点评】2010 年高考数学全国 I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等 式放缩法问题作为押轴题的命题模式, 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方法 基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、 数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续. (19) (本小题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC ? BC ,AA1 ? AB ,

D 为 BB1 的中点, E 为 AB1 上的一点, AE ? 3EB1 .
(Ⅰ)证明: DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45° ,求二面角

A1 ? AC1 ? B1 的大小.
【命题意图】 本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解, 考查考生的空间想象与推理计 算的能力. 【解析】 解法一: (Ⅰ)连接 A1 B ,记 A1 B 与 AB1 的交点为 F. 因为面 AA1 B1 B 为正方形,故 A1 B ? AB1 ,且 AF ? FB1 . 又 AE ? 3EB1 ,所以 FE ? EB1 ,又 D 为 BB1 的中点, 故 DE / / BF , DE ? AB1 . 作 CG ? AB ,G 为垂足,由 AC ? BC 知,G 为 AB 中点. 又由底面 ABC ? 面 AA1 B1 B ,得 CG ? 面 AA1 B1 B .连接 DG,则 DG / / AB1 ,

贵州 2005-2011 高考数学真题
故 DE ? DG ,由三垂线定理,得 DE ? CD . 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. (Ⅱ)因为 DG / / AB1 ,故 ?CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角, ?CDG ? 45 .
?

设 AB ? 2 ,则 AB1 ? 2 2, DG ?

2, CG ? 2, AC ? 3 .

作 B1 H ? A1C1 ,H 为垂足.因为底面 A1 B1C1 ? 面 AA1C1C ,故 B1 H ? 面 AA1C1C ,又作

HK ? AC1 ,K 为垂足,连接 B1 K ,由三 垂线定理,得 B1 K ? AC1 ,因此 ?B1 KH 为二面角

A1 ? AC1 ? B1 的平面角.

1 A1 B1 ? A1C12 ? ( A1 B1 ) 2 2 2 2 B1 H ? ? , A1C1 3
HC1 ? B1C12 ? B1H 2 ? 3 , 3
AA1 ? HC1 2 3 ? , AC1 3 7

AC1 ? 22 ? ( 3) 2 ? 7 , HK ?

(Ⅱ)因为 B1 A, DC 等于异面直线 AB1 与 CD 的夹角, 故 B1 A ? DC ? B1 A ? DC cos 45 ,
?

???? ????

???? ????

???? ????

贵州 2005-2011 高考数学真题
即2 2? c ?2?
2

2 ? 4, 2
???? ????

解得 c ? 2 ,故 AC ? (?1, 0, 2) .又 AA1 ? BB1 ? (0, 2, 0) , 所以 AC1 ? AC ? AA1 ? (?1, 2, 2) . 设平面 AA1C1 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则 m ? AC1 ? 0, m ? AA1 ? 0 , 即 ? x ? 2 y ? 2 z ? 0 且 2 y ? 0 .令 x ?

????

???? ?

???? ????

?

? ? ????

? ????

? 2 ,则 z ? 1, y ? 0 ,故 m ? ( 2, 0,1) .

设平面 AB1C1 的法向量为 n ? ( p, q, r ) ,则 n ? AC1 ? 0, n ? B1 A ? 0 , 即 ? p ? 2q ? 2r ? 0, 2 p ? 2q ? 0 . 令p?

?

? ? ????

? ????

? 2 ,则 q ? 2, r ? ?1 ,故 n ? ( 2, 2, ?1) .

所以 cos m, n ?

m?n 1 ? . m n 15

由于 m, n 等于二面角 A1 ? AC1 ? B1 的平面角, 所以二面角 A1 ? AC1 ? B1 的大小为 arccos

15 . 15

【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一,是高考的的热点,它是处理线线垂直问题 的有效方法,同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量,用向量代数形 式来处理立体几何问题,淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法,从而降低了思维难 度,使解题变得程序化,这是用向量解立体几何问题的独到之处. (20) (本小题满分 12 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个组件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流能通过 T1,T2, T3 的概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各组件相互独立.已知 T1,T2, T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999. (Ⅰ)求 p; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (Ⅲ) ? 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的组件个数, 求 ? 的期望.

【命题意图】 本试题主要考查独立事件的概率、 对立事件的概率、 互斥事件的概率及数学期望, 考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【解析】记 A1 表示事件:电流能通过 Ti , i ? 1, 2,3, 4,

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A 表示事件: T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流, B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过,

A 2 ?A3,A1,A 2,A3 相互独立, (Ⅰ) A ? A1 ? P( A) ? P( A1 ?A2 ?A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? (1 ? p)3 ,
又 故

P( A) ? 1 ? P(A)=1 ? 0.999 ? 0.001 ,

(1 ? p)3 ? 0.001,p ? 0.9 ,

A1 ?A3 +A 4 ?A1 ?A 2 ?A 3 , (Ⅱ) B ? A 4 +A 4 ? P ( B? ) P( ? A3 A ? + A? ? 4 A + 4? A 1 4 1 A 2 A3 A )

? P(A 4 )+P(A 4 ?A1 ?A3 )+P(A 4 ?A1 ?A 2 ?A3 ) ? P(A 4 )+P(A 4 )P(A1 )P(A3 )+P(A 4 )P(A1 )P(A 2 )P(A 3 )
=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891 (Ⅲ)由于电流能通过各元件的概率都是 0.9,且电流能否通过各元件相互独立, 故 ? ~ B(4,0.9) , E? ? 4 ? 0.9 ? 3.6 . 【点评】概率与统计也是每年的必考题,但对考试难度有逐年加强的趋势,已经由原来解答题 的前 3 题的位置逐渐后移到第 20 题的位置,对考生分析问题的能力要求有所加强,这应引起 高度重视.

(21) (本小题满分 12 分) 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1? a>0,b>0 ? 相 a 2 b2

交于 B、D 两点,且 BD 的中点为 M ?1, 3 ? . (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF ? 17 ,证明: 过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质,考查直线与圆的关 系,既考查考生的基础知识掌握情况,又可以考查综合推理的能力. 【解析】

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解: (Ⅰ)由题设知, l 的方程为: y ? x ? 2 . 代入 C 的方程,并化简,得 (b ? a ) x ? 4a x ? 4a ? a b ? 0 .
2 2 2 2 2 2 2

设 B( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

4a 2 4a 2 ? a 2 b 2 ,① , x ? x ? ? 1 2 b2 ? a 2 b2 ? a 2

由 M (1,3) 为 BD 的中点知

x1 ? x2 ? 1, 2



1 4a 2 ? 2 ? 1,即 b2 ? 3a 2 ,② 2 2 b ?a
a 2 ? b 2 ? 2a ,所以 C 的离心率 e ?
2 2

故c ?

c ? 2. a
2

(Ⅱ)由①、②知,C 的方程为: 3x ? y ? 3a ,

4 ? 3a 2 A(a, 0), F (2a, 0), x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ? ? ? 0, 2
故不妨设 x1 ? ?a, x2 ? a .

BF ? ( x1 ? 2a ) 2 ? y12 ? ( x1 ? 2a ) 2 ? 3 x12 ? 3a 2 ? a ? 2 x1 ,
2 2 FD ? ( x2 ? 2a ) 2 ? y2 ? ( x2 ? 2a ) 2 ? 3x2 ? 3a 2 ? 2 x2 ? a ,

BF ? FD ? (a ? 2 x1 )(2 x2 ? a) ? ?4 x1 x2 ? 2a( x1 ? x2 ) ? a 2 ? 5a 2 ? 4a ? 8 .
2 又 BF ? FD ? 17 ,故 5a ? 4a ? 8 ? 17 ,解得 a ? 1, 或 a ? ?

9 (舍去). 5

故 BD ?

2 x1 ? x2 ? 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 6 .

连接 MA,则由 A(1,0), M (1,3) 知 MA ? 3 ,从而 MA ? MB ? MD ,且 MA ? x 轴,因此 以 M 为圆心,MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点,且在点A处于 x 轴相切. 所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. 【点评】 高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目, 命题者将好多考点以圆锥曲线为背 景来考查,如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定. (22) (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? 1 ? e .
?x

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(Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ? x ? ? (Ⅱ)设当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x ; x ?1

x ,求 a 的取值范围. ax ? 1

【命题意图】 本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式, 考查考生综合运用知识的能力 及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【解析】

于是 g ( x) 在 x ? 0 处达到最小值,因而当 x ? R 时, g ( x) ? g (0) ,即 e ? 1 ? x .
x

所以当 x ? ?1 时, f ( x) ?

x . x ?1

(Ⅱ)由题设 x ? 0 ,此时 f ( x) ? 0 . 当 a ? 0 时,若 x ? ?

1 x x ,则 不成立; ? 0 , f ( x) ? a ax ? 1 ax ? 1
源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com

贵州 2005-2011 高考数学真题

【点评】导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础 知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不 会减弱。作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等, 常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.

绝密★启用前

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II)

贵州 2005-2011 高考数学真题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证 号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2. 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。 .......... 3.第Ⅰ卷共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 一、选择题 (1)复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 z z ? z ? 1 ? (A) ?2i (B) ?i (C) i (D) 2i

(2)函数 y ? 2 x ( x≥0) 的反函数为

x2 ( x ? R) (A) y ? 4
(C) y ? 4 x ( x ? R)
2

x2 ( x≥0) (B) y ? 4
(D) y ? 4 x ( x≥0)
2

(3)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a>b ? 1 (B) a>b ? 1 (C) a 2>b2 (D) a3>b3

(4)设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , S A? 2 ? Sn ? 24 ,则 k ? (A)8 (B)7 (C)6 (D)5

(5)设函数 f ( x) ? cos ? x(?>0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 (A)

? 个单位长度后,所得 3

1 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

(6)已知直二面角α ? ι ? β ,点 A∈α ,AC⊥ι ,C 为垂足,B∈β ,BD⊥ι ,D 为垂 足.若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于 (A)

2 3

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

(7)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友 每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有

贵州 2005-2011 高考数学真题
(A)4 种 (B)10 种
?2 x

(C)18 种

(D)20 种

(8)曲线 y= e (A)

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围 成的三角形的面积为 (C)

1 3

(B)

1 2

2 3

(D)1

(9)设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x) = 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) = (A) -

5 2

1 2

(B) ?

1 4
2

(C)

1 4

(D)

1 2

(10)已知抛物线 C:y ? 4 x 的焦点为 F, 直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A, B 两点. 则 cos ?AFB = (A)

4 5

(B)

3 5

(C) ?

3 5

(D) ?

4 5
0

(11)已知平面α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与α 成 60 二面角的平面β 截该球面得圆 N.若 该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为 (A)7 ? (B)9 ? (C)11 ? (D)13 ? (12)设向量 a,b,c 满足 a = b =1, a? b=? (A)2 (B) 3 (c) 2 (D)1

1 0 , a ? c, b ? c = 60 ,则 c 的最大值等于 2

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2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II)

贵州 2005-2011 高考数学真题
第Ⅱ卷
注意事项: 1 答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填 写清楚,然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2 第Ⅱ卷共 2 页, 请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答,在试题卷上作答无 效。 3 第Ⅱ卷共 l0 小题,共 90 分。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上 (注意:在试卷 ... 上作答无效 ) ..... (13)x 的系数与 x 的系(1- x ) 的二项展开式中,数之差为:
9 20

. 2y

2

(14)已知 a∈(

5 ? , ? ),sinα = ,则 tan2α = 5 2

y2 x2 (15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C: =1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0), 27 9
AM 为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = . (16)己知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B2C3D4 的棱 BB1 、CC1 上,且 B1E=2EB, CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90°,a+c= 2 b,求 C.

(18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲 种 保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。 http://www.ylhxjx.com

( 19 ) 如 图 , 四 棱 锥 S ? A B C 中 D,

9 1 ? p ? ( )19 ? 2 A B 10 e

, BC 侧面 SAB 为等 C D ? CD ,

边三角形, AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1. (Ⅰ)证明: SD ? SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小.

贵州 2005-2011 高考数学真题

(20)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n

1 ? an ?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:S n ? 1.
k ?1

n

(21) 已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点, 过 F 且斜率为 - 2 2

的直线 l 与 C 交与 A、B 两点,点 P 满 足 OA ? OB ? OP ? 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.

??? ? ??? ? ??? ?

(22) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... (Ⅰ)设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

2x ,证明:当 x>0 时, f ( x)>0 ; x?2

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式 连续抽取 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证 明: p ? (

9 19 1 ) ? 2 10 e

答案
一、选择题

贵州 2005-2011 高考数学真题
(1)复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 z z ? z ? 1 ? (A) ?2i (B) ?i (C) i (D) 2i

解: z ? 1 ? i , z z ? z ? 1 ? (1 ? i) (1 ? i) - (1 ? i) ? 1 =1+1-1- i -1= ?i 故选 B (2)函数 y ? 2 x ( x≥0) 的反函数为 (A) y ?

x2 ( x ? R) 4
2

(B) y ?

x2 ( x≥0) 4
2

(C) y ? 4 x ( x ? R) 解:? y ? 2 x 得 y ? 4 x
2

(D) y ? 4 x ( x≥0)

?x?

y2 4

故反函数为 y ?

x2 ( x ? 0) 4

故选 B。

(3)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a>b ? 1 (B) a>b ? 1 (C) a 2>b2 (D) a3>b3

解: a>b ? 1 ? a ? b ? 1 ? a ? b ? 0

? a ? b, 反之a ? b不能推出a ? b ? 1 故选 A。

(4)设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , S A? 2 ? Sn ? 24 ,则 k ? (A)8 (B)7 (C)6 (D)5

解: Sk ? 2 ? Sk ? ak ? 2 ? ak ?1 ? a1 ? (k ? 2 ? 1)d ? a1 ? (k ? 1 ? 1)d ? 2a1 ? (2k ? 1)d

? 2 ?1 ? (2k ? 1) ? 2 ? 4k ? 4 ? 24 ? k ? 5 故选 D。
(5)设函数 f ( x) ? cos ? x(?>0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 (A)

? 个单位长 度后,所得 3

1 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

解: f ( x ?

?

??

??
3

) ? cos ? x ) ? cos[? ( x ? )] ? cos ? x 即 cos(? x ? 3 3 3
则 k ? ?1 时 ?min ? 6 故选 C ? 2k? ? 2 ? (k? Z ? ) ??? 6 k ? z6

?

??

(6)已知直二面角 α? ι?β,点 A∈α,AC⊥ι,C 为垂足,B∈β, BD⊥ι,D 为垂足.若 AB=2,AC= BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于 (A)

2 3

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

贵州 2005-2011 高考数学真题
(7)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋 友 1 本,则不同的赠送方法共有 (A)4 种 (B)10 种 (C)18 种 (D)20 种 解:选画册 2 本,集邮册 2 本,共有赠送方法 c4 ? 6 ,选画册 1 本,集邮册 3 本,共有赠送
2

方法 c4 ? 4 ,故共有赠送方法 4+6=10 种,故选 B
1

(8)曲线 y= e (A)

?2 x

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围 成的三角形的面积为 (C)

1 3

(B)

1 2
?2 x

2 3

(D)1

解:? y ' ? ?2e

,? k ? ?2 ,切线方程为 y ? 2 ? ?2 x

由?

?

y?x

? y ? ?2 x ? 2

2 ? x? ? ? 3 得? ?y ? 2 ? 3 ?

s?

1 2 2 ?2 ? ? 故选 C 2 3 3
5 2

(9)设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x) = 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) =

1 1 1 (C) (D) 4 4 2 5 5 1 1 1 1 1 解:? f (? ) ? f (? ? 2) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?2 ? ( )(1 ? ) ? ? 2 2 2 2 2 2 2
(A) (B) ?
2

1 2

故选 A

y ? 4 x 的焦点为 F, (10)已知抛物线 C: 直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A, B 两点. 则 cos ?AFB =
(A)

4 5

(B)
2

3 5

(C) ?

3 5

(D) ?

4 5
? y 2 ? 4x ? y ? 2x ? 4
得 A(1,?2), B(4,4)

解: C : y ? 4 x 得 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1, 由 ? 则 | AB |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 3 5 ,由抛物线的定义得 | AF |? 2, BF ? 5

由余弦定理得 cos ?AFB ?

5 2 ? 2 2 ? (3 5 ) 2 4 ? ? ,故选 D 2?5?5 5
0

(11)已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60 二面角的平面 β 截该球面得圆 N.若 该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为 (A)7 ? (B)9 ? (C)11 ? (D)13 ? 解: OM ? 4 ? 2 ? 12 ? OM ? 2 3 ,在 Rt? ONM中,?OMN ? 30
2 2 2

0

2 1 ? ON ? OM ? 3, 在Rt?ONB中,NB= 42 ? 3 ? 13 ? S圆N ? ? NB 2 ? 13? 2

贵州 2005-2011 高考数学真题
故选 D (12)设向量 a,b,c 满足 a = b =1, a? b=? (A)2 (B) 3 (c) 2 (D)1

1 0 , a ? c, b ? c = 60 ,则 c 的最大值等于 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上 (注意:在试 .. 卷上作答无效 ) ...... (13)(1- x )20 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为: 0
r r 解: Tr ?1 ? (?1)r c20 ( x )r ? (?1)r c20 x 2 ,令 r

. 2 y2

r r ? 1得r ? 2, ? 9得r ? 18 2 2

所以 x 的系数为 ( ?1) c20 ? c20 , x 的系数为(-1) c20 ? c20
2 2 2 9 18 18 2

故 x 的系数与 x 的系数之差为 c20 - c20 =0 (14)已知 a∈(

9

2

2

5 ? 4 , ? ),sinα= ,则 tan2α= ? 5 2 3

解:? a∈(

5 2 5 5 ? ? cos a ? ? 1 ? sin 2 a ? ? 1 ? ( ) ? ? , ? ),sinα= 5 5 5 2

5 sin a 1 ? 5 ?? 则 tanα= cos a 2 2 5 ? 5
(15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:

1 2 ? (? ) 2 tan a 2 ? ?1 ? ? 4 故 tan2α= ? 2 1 2 1 ? tan a 1 ? (? ) 2 3 2 4

x2 y2 =1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标为(2,0), 9 27
6 .

AM 为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| =

解: Q : F1 (?6,0), F2 (6,0), 由角平分线的性质得 又 | AF1 | ? | AF2 |? 2 ? 3 ? 6

| AF1 | | F1 M | 8 ? ? ?2 | AF2 | | MF2 | 4

?| AF2 |? 6

(16)己知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B2C3D4 的棱 BB1 、CC1 上,且 B1E=2EB, CF=2FC1, 则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 . 解:延长 CB、FE 交于 M,连结 AM,过 B 作 BN ? AM 于 N,连结 EN,则 ? ENB 为平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角,AM= 2 AB,

贵州 2005-2011 高考数学真题
1 AB 2 EB 2 3 ? BN ? AB, 在Rt ? EBN中, tan ?ENB ? ? ? 2 BN 3 2 AB 2
三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90° ,a+c= 2 b,求 C. 解:由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C , 由a?c ?

2b得2R sin A ? 2R sin C ? 2 ? 2R sin B ,即 sin A ? sin C ? 2 sin B
0

A+B+C=1800 ,? B ? [180 ? ( A ? C )] ,? sin A ? sin C ? 即? sin A ? sin C ?

2 sin[1800 ? ( A ? C )]

2 sin( A ? C ) ,由 A-C=900 得 A=900+C


? sin(900 ? c) ? sin c ? 2 sin(900 ? 2c) cos c ? sin c ? 2 2 sin(450 ? c) cos(450 ? c)

2 2 sin(c ? 450 ) ? 2 2 sin(450 ? c) cos(450 ? c) ? cos(450 ? c) ?

1 2

? 450 ? c ? 600

? c ? 150

(18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲 种 保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。 解:(I)P=0.5+0.3=0.8 (Ⅱ)设甲乙两种保险都不购买的车主数为 ? ,则 ? ? B(100,0.2)

E? ? 100 ? 0.2 ? 20
答:该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率为 0.8, X 的期望值是 20。 ( 19 )如 图, 四 棱锥 S ? ABCD 中 , AB ? CD, BC ? CD , 侧面 SAB 为 等 边 三角 形,

AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1.
(Ⅰ)证明: SD ? SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小. (Ⅰ)证明:连结 BD 过 D 作 DE ? AB于E, 则BEDC为正方形

贵州 2005-2011 高考数学真题
? BE ? DE ? 2, 又AE ? AB ? BE,? AE ? 1
Rt ?AED中,AD= AE2 ? DE 2 ? 1 ? 22 ? 5
, 在

?SAB为等边三角形, ? SA ? SB ? AB ? 2
?S 中,AD2 5
2





A

? ,

D

2

?

22

S

?

12 A

?

? AD2 ? SA2 ? SD 2

即SD ? SA ,

同理可证 即SD ? SB, 又SA ? SB ? S

? SD ? 平面SAB

即SD ? SB, 又SA ? SB ? S
(Ⅱ) (20)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且

? SD ? 平面SAB

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n
1 ? an ?1 n , 记Sn ? ? bk , 证明:S n ? 1.
k ?1 n

(Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

(Ⅰ)解:由

? 1 ? 1 1 ? ? 1. 得 ? ? 为等差数列 , 1 ? a n ?1 1 ? a n ?1 ? an ?

前项为

1 1 1 1 ? 1, d ? 1, 于是 ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,?1 ? an ? , an ? 1 ? 1 ? a1 1 ? an n n
1? ? n ?1 ?1 n ?1 ? n

(Ⅱ) bn ?

1 ? an ? 1 n
n

n ?1 ? n 1 1 ? ? n ?1 n n n ?1

Sn ? ? bk ? (
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ?1 ? )?( ? ) ??? ( ? ) ? 1? n ?1 1 2 2 3 n a ?1

(21)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的 2

焦点,过 F 且斜率为 - 2 的直线 l 与 C 交与 A、B 两点,点 P 满 足

??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? OP ? 0.

贵州 2005-2011 高考数学真题
(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q, 证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上

? y ? 1? 2x y2 ? 2 得4 x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0 (Ⅰ)证明:由 x ? ? 1得F (0,1) , l : y ? ? 2 x ? 1 ,由 ? y 2 2 ?1 ?x ? ? 2
2

设 A( x1 , y1 ), B( x1 , y1 ), 则x1 ?

2 2 ? 8 ? 4 ? 4 ? (?1) 2? 6 ? 2? 4 4

x2 ?

2 2 ? 8 ? 4 ? 4 ? (?1) 2? 6 2? 6 3 ?1 ? ?1 ? , y1 ? ? 2 ? , 2? 4 4 4 2

? 2 ? ??? ? ??? ? 2? 6 1 ? 3 ??? ? x p ? ?( x1 ? x2 ) ? ? y2 ? ? 2 ? ?1 ? ? OA ? OB ? OP ? 0. ? ? 2 4 2 ? y ? ? ( y ? y ) ? ?1 1 2 ? p

xp ?
2

yp2 2

? (?

2 2 12 ) ? ? 1 故点 P 在 C 上 2 2
2 2 , ?1) ,? P 关于点 O 的对称点为 Q,? Q ( ,1) , 2 2

(Ⅱ)点 P ( ?

K AQ K AP

3 ?1 2 ( ) ?1 1 ? y1 ?1 ? y1 y12 ? 1 2 ? ? ? ? ? ?1 , 即 ?PAQ ? 90? ,同理 1 2 2 2 2? 6 2 1 ? x1 ? ? x 1 x1 ? ( ) ? 2 2 2 4 2

K PB K BQ ? ?1 即 ?PBQ ? 90? ,? ?PAQ ? ?PBQ ? 180? A、P、B、Q 四点在同一圆上.
(22) (本小题满分 12 分 ) (注意:在试题卷上作 ) ......答无效 ... (Ⅰ)设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

2x ,证明:当 x>0 时, f ( x)>0 ; x?2

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽 取一张,然后放回,用这种方式 连续抽取 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证 明: p ? ( ( Ⅰ )

9 19 1 ) ? 2 10 e
明 :



f ?( x) ?

1 2( x ? 2) ? 2 x 1 4 ( x ? 2) 2 ? 4(1 ? x) x2 ? ? ? ? ? 1? x ( x ? 2) 2 1 ? x ( x ? 2) 2 (1 ? x)( x ? 2) 2 (1 ? x)( x ? 2) 2

? x>0 ? f ?( x) ? 0则f ( x)在(0,+?)上单调递增,于是
f ( x) ? f (0)即f ( x) ? ln1 ?
故 f ( x)>0

0 ?0 0?2

贵州 2005-2011 高考数学真题
100 ? (k ? 1) 101 ? k ,k ? 1, 2? 20 则抽得的 20 个号码互 ? 100 100 101 ? 1 101 ? 2 101 ? 20 99 98 81 不相同的概率 p ? p1 ? p2 ? p20 ? ? ? ?? ? ?? 100 100 100 100 100 100 99 81 98 82 91 89 90 ?( )?( ? )? ( ? ) 100 100 100 100 100 100 100 99 81 98 82 91 89 ? ? ? 90 ? ( 100 100 )2 ? ( 100 100 )2 ? ( 100 100 ) 2 2 2 2 100 90 2 90 2 90 2 90 9 ?( ) ?( ) ?( ) ? ( )19 100 100 100 100 10
(Ⅱ) 第 k 次抽取时概率为 pk ?


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