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2016年上海长宁区高三数学一模试卷


长宁区 2015 学年第一学期高三质量检测数学试卷(文) 2015/12/21
一、填空题(本大题有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分 1、不等式 x ? 3 ? 5 的解集是___________. 2、方程 9x ? 3x ? 2 ? 0 的解是___________. 3、若复数 z 满足 z 2 ? z ? 1 ? 0 ,则 z ? ___________. 4.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a6 ? a14 ? 20 ,则 S19 ? ___________.
1 5、若 sin ? ? cos ? ? ,则 sin 2? 的值是___________. 5

6、若函数 f ? x ? 是定义域在 R 上对偶函数,在 ? ??,0? 上是单调递减的,且 f ?1? ? 0 ,则使

f ? x ? ? 0 的 x 的取值范围是___________.
7 、设函数 y ? f ? x ? 的反函数是 y ? f ?1 ? x? ,且函数 y ? f ? x? 过点 P ? 2, ? 1? ,则 f ?1 ? ?1? ? ___________.
1 ? ? 3 3 8、设常数 a ? 0 ,? ax 2 ? ? a ?a 2 ? ?????? ?a ? 展开式中 x 的系数为 ,则 lim x ?? 2 x ? ?
4
n

? ? ______.

9、某校要求每位学生从 8 门课程中选修 5 门,其中甲、乙两门课程至多只能选修一门,则 不同的选课方案有___________种(以数字作答) 10、 已知数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式分别是 an ?

an2 ? 3 ?1? ,bn ? b ? a ? ? 2 bn ? 2n ? 2 ? 3?

n ?1

, 其中 a、b 是

1 实常数,若 lim an ? 3, lim bn ? ? ,且 a、b、c 成等差数列,则 c 的值是___________. x ?? x ?? 4

11、 已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2 x ? 1 , 如果使 f ? x ? ? kx 对任意实数 x ? ?1, m? 都成立的 m 的最大值 是 5 ,则实数 k ? ___________. 12、在 ABC 中,点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 ,若 AB ? AC ? mAM ? 0 ,则实数 m 的值为 ___________.

1 ? ? 13、设命题 p : 函数 f ? x ? ? lg ? ax 2 ? x ? a ? 的值域为 R ;命题 q : 不等式 3x ? 9x ? a 对一切 16 ? ?
正实数 x 均成立,若命题 p 和 q 不全为真命题,则实数 a 的取值范围是___________.

?1 1? 14、定义:关于 x 的两个不等式 f ? x ? ? 0, g ? x ? ? 0 的解集分别为 ? a, b ? 和 ? , ? ,则称这两 ?a b?
个不等式为对偶不等式, 如果不等式 x2 ? 4 3x cos? ? 2 ? 0 与不等式 2 x2 ? 4 x sin ? ? 1 ? 0 为对 偶不等式,且 ? ? ? 0, ? ? ,则 ? ? ___________. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、已知集合 P ? ?0, a? , Q ? ?1,2? ,若 P Q ? ? ,则 a 等于
A. 1 B. 2 C. 1or 2


D. 3



16、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 8n ,第 k 项满足 4 ? ak ? 7 ,则 k 等于(
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9



?t 2 ? 17、设点 P ? ? ,1? ? t ? 0 ? 是角 ? 终边上一点,当 OP 最小时, cos? 的值是( ?2 t ?



A.

?

5 5

B.

5 5

C.

2 5 5

D.

?

2 5 5

18、关于函数 f ? x ? ? x ?

a ? a ? 0 ? ,有下列四个命题:① f ? x ? 的值域是 ? ??,0? x

? 0, ?? ? ;

② f ? x ? 是奇函数;③ f ? x ? 在 ? ??,0 ? 的解.其中正确的是
A. ①②

? 0, ?? ? 上单调递增;④方程 f ? x ? ? a 总有四个不同


B.


②③ C. ②④ D. ③④

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19、 (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 关于 x 的不等式
x?a 2 ? 0 的解集为 ? ?1, b ? . 1 x

(1)求实数 a, b 的值; (2)若 z1 ? a ? bi, z2 ? cos ? ? i sin ? ,且 z1 z2 为纯虚数,求 tan ? 的值.

20、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,?BAC ? 90?, AB ? AC ? 2, AA1 ? 2 2 , E , F 分别是 CC1 , BC 的 中点,求: (1)异面直线 EF 和 A1 B 所成的角; (2)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积.
B1
A

A1

C1
E
C

F
B

21、 (本题满分 15 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 9 分. 在 ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 向 量 m ? ? a. b B ? , n? ? c o s A , c o s ?,
B?C ? ? p ? ? 2 2 sin , 2sin A ? ,若 m n, p ? 3 . 2 ? ? (1)求角 A、B、C 的值; ? ?? (2)若 x ? ?0, ? ,求函数 f ? x ? ? sin A sin x ? cos B cos x 的最大值与最小值. ? 2?

22、 (本题满分 15 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 y ? f ? x ? , x ? D , 如果对于定义域 D 内的任意实数 x , 对于给定的非零常数 m , 总存在非零常数 T ,恒有 f ? x ? T ? ? mf ? x ? 成立,则称函数 f ? x ? 是 D 上的 m 级类增周期函 数,周期为 T .若恒有 f ? x ? T ? ? mf ? x ? 成立,则称函数 f ? x ? 是 D 上的 m 级类周期函数,周 期为 T .

+? ? 上的周期为 1 的 2 级类增周期函数, (1) 已知函数 f ? x ? ? ? x2 ? ax 是 ?3, 求实数 a 的
取值范围; (2)已知 T ? 1, y ? f ? x ? 是 ? 0, ?? ? 上的 m 级类周期函数,且 y ? f ? x ? 是 ? 0, ?? ? 上的单 调递增函数,当 x ? ?0,1? 时, f ? x ? ? 2 x ,求实数 m 的取值范围.

23、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 8 分. 已知点 P 1 ? a1 , b 1 ?, P 2 ? a2 , b2 ? ,
?1? , Pn ? an , bn ? , ( n 为正整数)都在函数 y ? ? ? 的图像上. ?2?
x

(1)若数列 ?an ? 是等差数列,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)设 an ? n, n ? N ? ,过点 Pn , Pn ?1 的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 cn ,试 求最小的实数 t ,使 cn ? t 对一切正整数 n 恒成立; (3)对(2)中的数列 ?an ? ,对每个正整数 k ,在 ak 与 ak ?1 之间插入 3k ?1 个 3,得到一 个新的数列 ?d n ? ,设 S n 是数列 ?d n ? 的前 n 项和,试探究 2016 是否是数列 ?Sn ? 中的某一项, 写出你探究得到的结论并给出证明.

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