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流体力学4.8 定常绕流中的物体受力_图文

流体力学第四章
第四章 不可压理想流体平
面无旋流动

流体力学第四章
4.8定常绕流中的物体受力

4.8定常绕流中的物体受力

流体力学第四章

讨论不可压理想流体定常无分离地绕过不动物体时单位 宽度上所受到的流体作用力和力矩。

勃拉休斯-恰普雷金公式 库塔-儒可夫斯基定理

4.8.1 勃拉休斯-恰普雷金公式

一任意形状的柱体放置在定常无旋的流动中,忽略其它 外力,则

?
? ???Fx

? iFy

?

1 2

i?

?
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M

o

?

?

1 2

?

Re

l

???

dW dz

???2dz

l

z ???

dW dz

???2dz

流体力学第四章
证明:如图4-8-1所示,对于任意形状的柱体,流体作用 于边界元上的压力为
dFx ? ? pdy, dFy ? pdx
对于原点的力矩(按反时针方向) 为:
dM ? pdx?x ? pdy?y

因此可以写为

? ? d Fx ? iFy ? ?ip ?dx ? idy ? ? ? ? d Fx ? iFy ? ?ipdz

流体力学第四章

dM ? pdx?x ? pdy?y ? Re( pzdz )

由不可压缩流体的伯努利方程式:

p

?

c

?

1 2

?

dW dz

dW dz

因常量压强对于封闭周界没有合力作用,所以只将上式

后者代入(4-8-3),得

? ? d

Fx ? iFy

?

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?

1 2

i?

dW dz

dW

dM

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Re( pzdz )

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1 2

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dW dz

dW dz

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1 2

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dW dz

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因为在柱面上从而

积分得

? ? const

? dW

? dW

?

dW dz

dz

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???d Fx ? iFy ???dM ? Re[?

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1 2

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dW dz

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M

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1 2

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Re

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dW dz

???2dz

l

z

???

dW dz

???2dz

流体力学第四章

流体力学第四章

例:沿x方向绕过半径为a的圆柱体的均匀流动,复势为

W

?U

? ??

z

?

a2 z

? ??

代入(4-8-1),得

? ? Fx ? iFy

?

1 2

i?

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???

2
dz

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1 2

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U
l

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i?

l

U

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i?

l

U

2

(1

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2a ei 2?

?

a2 ei 4?

)ad (ei?

)

?

0

4.8.2 库塔-儒可夫斯基定理

流体力学第四章

库塔-儒可夫斯基定理:对于不可压平面无旋定常绕流, 若过物面的流量为零,则流体作用于物体上的合力只有
升力,其数值为ρUΓ ,由来流方向反环量转90?即为受力 方向。

为了简单起见,仍采用圆柱体绕流。但任何形状的柱体 都适用,其区别仅在于相应的“自生”绕体环流值。

由(4-5-8)式知,放入圆柱后,复势为

W

?U

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z

?

a2 z

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加入点涡后

W

?U

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z

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z

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a2 z2

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?

i?
2? z

代入(4-8-1),得

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? iFy

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1 2

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dW dz

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l

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a2 z2

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?l

dz z

? i?U ?

? F

?

??U

? ?j

?

?
?U

?

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流体力学第四章

例题

流体力学第四章

已知下列两个速度分布

u

?

cx x2 ? y2

,v

?

cy x2 ? y2

u

?

?cy x2 ? y2

,v

?

cx x2 ? y2

其中c为常数。

(1)求速度势,流函数和复势,并画出等势线和流线; (2)围绕坐标原点作一封闭曲线,求沿此封闭曲线的环 量及通过此封闭曲线的流量;
(3)比较两个速度场所得的结果。



流体力学第四章

(1)

u

?

cx x2 ? y2

?

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r2

?

c cos?
r

v

?

cy x2 ? y2

?

c sin?
r

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r

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c r

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?

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? ? c? ? c '

令c ' ? 0则? ? c?

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(2)

?V? ? 0,?? ? 0

Q

?

2? rVr

?

2? r

c r

?

2? c

流体力学第四章

流体力学第四章

二、 1.

u

?

?cy x2 ? y2

?

?

c

sin r

?

v

?

cx x2 ? y2

?

c cos?
r

?Vr

?

?

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r

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r

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c cos?
r

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c r

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? Vrdr

? V? rd?

?

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c r

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?

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? ? c? ? c '

令c ' ? 0,则? ? c?

流体力学第四章

d?

?

?V? dr ?Vrrd?

?

?

c r

dr

?0

?

?

c r

dr

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令c ' ? 0则? ? ?c ln r

W (z) ? c? ? i(?c ln r)

2.

? ? ?? V? rd? ???

l

l

c r

rd?

?

2?

c

Q?0

3.图谱

流体力学第四章

例题

流体力学第四章

证明在不可压缩的平面运动中,速度分布
vr ? akr ne?k (n?1)? , v? ? ar ne?k (n?1)?

是一种可能的速度分布。求流函数,并证明任何一点 流速的大小为

?(n ?1)? 1? k 2

证明:

r

? ??

??? ?

?r
??

?? ??

? ?V? ? rVr

? ??

??

??? ?

?r
??

?? ??

? ?ar ne?k (n?1)? ? rakr ne?k (n?1)?

流体力学第四章

? d?

?

??
?r

dr

?

?? ??

d?

? ?ar en ?k (n?1)? dr ? rakr ne?k (n?1)? d?

?

?

n

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e?k

( n ?1)?

dr

n?1

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?

?

n

a ?1

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( n ?1)?

r

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?

n

a ?1

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( n ?1)?

r

n?1

?

c

令c ? 0得

?

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?

n

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1

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( n ?1)?

r

n?1

流体力学第四章

? vr ? akr ne?k (n?1)? , v? ? ar ne?k (n?1)?

?V ? ar ne?k (n?1)? k 2 ? 1

??

?

?

n

a ?

1

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( n ?1)?

r

n?1

?V ? ar ne?k (n?1)? k 2 ? 1

?

?(n ?1) r

(?

a (n ?1)

r e n?1 ?k (n?1)?

)

1? k2

? ?(nr?1)? 1? k 2

例题

流体力学第四章

证明不可压流体的理想、定常、二维流动,在忽略质量 力时,流函数和涡旋满足

?(?,? )
?(x, y)

?

0

若? 是常数,则压力方程为

p
?

?

1 2

V

2

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?

const

证明

流体力学第四章

?? ??

? ?(?,? )
?(x, y)

?

?x
??

?y
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?x ?y

? ?? ??
?x ?y

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??
?x

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u

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u

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v

? ?y

(

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?u ?y

)

?

u

?2v ?x2

?

u

?2u ?y?x

?

v

?2v ?x?y

?

v

?2u ?y 2

?

u

?2v ?x2

?

u

?2v ?y 2

?

v

?2u ?x2

?

v

?2u ?y 2

使用连续方程

流体力学第四章

?

u

?

??
?x

,

v

?

??
?y

?u

?2v ?x2

?

u

?2v ?y 2

?

v

?2u ?x2

?

v

?2u ?y2

?

u

(

?2v ?x2

?

?2v ?y 2

)

?

v(

?2u ?x2

?

?2u ?y 2

)

?

u

? ?y

(

?2?
?x2

?

?2?
?y 2

)

?

v

? ?x

(

? 2?
?x2

?

?2?
?y 2

)

?

0

第一问证毕。

流体力学第四章

二、不可压流体的理想、定常、二维流动,在忽略质量力时

du dt

?

?u ?t

?u

?u ?x

?v

?u ?y

?

w

?u ?z

?

u

?u ?x

?

v

?v ?x

?

v

?u ?y

?

v

?v ?x

?

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? v2 2

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?

?v

?

?

1
?

?p ?x

dx

同理

dv dt

?

u

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?

v

?v ?y

?u

?u ?y

?u

?u ?y

? ?y

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u2

? v2 2

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?

?u

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?

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流体力学第四章

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?

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dx

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? v2 2

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?

?u

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?

?p ?y

dy

上两式相加

? ?x

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u2

? 2

v2

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dx

?

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u2

? 2

v2

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dy

? [?vdx

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d

(V22

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?x

dx ?

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?y

dy

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p
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V

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?

const



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