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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第九章 第四节 用样本估计总体 理

第四节 用样本估计总体 1.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频 率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点. 2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合 理的解释. 4. 会用样本的频率分布估计总体分布, 会用样本的基本数字特征估计总 体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想. 5. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想, 解决一些简单的实 际问题. 知识梳理 一、统计 1.统计图表包括条形图、折线图、扇形图、茎叶图. 2.刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数、众数.刻画一组数据离散程度 的统计量有极差、方差、标准差. 3.平均数的计算方法. 1 (1)如果有 n 个数据 x1,x2,?,xn,那么 x = (x1+x2+?+xn)叫做这 n 个数据的平 n 均数, x 读作“x 拔”. (2)当一组数据 x1,x2,?,xn 的各个数值较大时,可将各数据同时减去一个适当的常 数 a,得到 x1′=x1-a,x2′=x2-a,?,xn′=xn-a,那么, x = x ′ +a. (3)加权平均数:如果在 n 个数据中,x1 出现 f1 次,x2 出现 f2 次,?,xk 出现 fk 次(f1 x1f1+x2f2+?+xkfk +f2+?+fk=n),那么 x = 叫做这 n 个数据的加权平均数. n 4.方差的计算方法. 1 2 2 2 2 (1)对于一组数据 x1,x2,?,xn,则 s = [(x1- x ) +(x2- x ) +?+(xn- x ) ]叫 n 做这组数据的方差. x1- x 方差的算术平方根 s= 2 + x2- x 2 +?+ xn- x 2 n n 称为标准差. 1 2 2 2 2 2 (2)方差计算简化公式: s = [(x1+x2+?+xn)-n x ]. (3)当一组数据 x1,x2,?,xn 中的各数较大时,可以将各数据减去一个适当的常数 a, 1 2 2 2 2 2 得到 x1′=x1-a, x2′=x2-a, ?, xn′=xn-a, 则 s = [x′1+x′2+?+x′n)-n x ′ ]. n 二、总体分布 1.总体:在数据统计中,通常把被研究的对象的全体叫做总体. 第 1 页 共 5 页 2.频率分布的概念: 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小. 一般用频率分布直方图反 映样本的频率分布. 3.画频率分布直方图的一般步骤: (1)计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差; (2)决定组距与组数; (3)将数据分组; (4)列频率分布表; (5)画频率分布直方图. 4.频率分布直方图中每个小矩形的宽度为 Δ xi(分组的宽度),高为 ,小矩形的面 Δ xi 积为相应的频率 fi. 5.频率折线图:在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左、右两边各加一个区间, 从所加的左边区间的中点开始, 用线段依次连接各个矩形的顶端中点, 直至右边所加区间的 中点,所得到的折线称为频率折线图. 6.总体分布:从总体中抽取一个个体,就是一次随机试验,从总体中抽取一个容量为 n 的样本,就是进行了 n 次试验,试验连同所出现的结果叫随机事件,所有这些事件的概率 分布规律称为总体分布. 7.总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应 各组取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会 无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线. fi 它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取 值的概率等于总体密度曲线,直线 x=a,x=b 及 x 轴所围图形的面积. 8.总体密度曲线函数 y=f(x)的两条基本性质: ①f(x)≥0(x∈R);②由曲线 y=f(x)与 x 轴围成面积为 1. 基础自测 1.(2013·山东模拟)样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值 为 1,则样本方差为( ) 6 6 A. B. C. 2 D.2 5 5 解析:因为 1 5 答案:D a+0+1+2+3 5 =1,得 a=-1,所以 s2= [(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.故选 D. 2.一个容量为 20 的样本数据,分组后,组别与频数如下: 组别 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] 频数 2 3 4 5 第 2 页 共 5 页 (50,60] 4 (60,70] 2 则样本在(20,50]上的频率为( ) A.12% B.40% C.60% D.70% 解析:一个容量为 20 的样本数据,据表知样本分布在(20,50]的频数 3+4+5=12,故 12 其频率为 =0.6.故选 C. 20 答案:C 3.某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果分 成五组:第一组[13,14);第二组[14,15);?;第五组[17,18).右图是按上述分组方法得 到的频率分布直方图. 若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好, 则该班在这次百米测 试中成绩良好的人数是____________人. 解析:依题意所求人数为(0.16×1+0.38×1)×50=27. 答案:27 4.(2013·江苏南通二模)某篮球运动员在 7 天中进行投篮训练的时间(单位: 分钟)用茎 叶图表示(如图),图中左列表示训练时间的十位数,右列表示训练时间的个位数,则该运动 员这 7 天的平均训练时间为________分钟. 解析:由茎叶图知,7 天中进行投篮训练的时间的数据为 64,65,67,72,75,80,81; 所以该运动员的平均训练时间为: 第 3 页 共 5 页 6


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