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2017_2018学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.2.2函数的奇偶性第2课时课件新人教A版必修120171106360_图文

1.3.2

函数的奇偶性(第2课时) 奇偶性的应用

课 时 学 案

题型一 利用奇偶性求值 例 1 已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,若 f(-3)=10,则 f(3)= ( ) A.26 C.10 B.18 D.-26

【思路】 观察 f(x)的表达式易发现 g(x)=x5+ax3+bx 为奇函 数,可构造函数,由奇偶性求解.

【解析】 由 f(x)= x5+ax3+bx-8, 得 f(x)+8= x5+ax3+bx,令 g(x)=f(x)+8, 则 g(x)是奇函数. ∴g(-3)=-g(3), 即 f(-3)+8=-f(3)-8. 又 f(-3)=10, ∴f(3)=-f(-3)-16=-10-16=-26. 【答案】 D

探究 1 (1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义,构造函 数,从而使问题得到快速解决. (2)在定义域关于原点对称的前提下, 若解析式中仅含有 x 的 奇次项,则函数为奇函数,若解析式中仅含有 x 的偶次项,则函 数为偶函数,常利用此结论构造函数解题.

1 思考题 1 (1)若 f(x)是偶函数,则 f(1+ 2)-f( )= 1- 2 ________. (2)设函数 y=f(x)是奇函数, 若 f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2) +3,则 f(1)+f(2)=________.
【答案】 (1)0 (2)-3

题型二 利用奇偶性求函数解析式 例2 已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x- x4,则当 x∈(0,+∞)时,f(x)= ________.

【思路】 解答本题可将求x>0时的解析式转化到x<0上求 解. 【解析】 设x>0,则- x<0. ∴f(-x)=- x-(- x)4=-x- x4. ∵f(x)为偶函数,∴当x>0时, f(x)=-x- x4. 【答案】 -x- x4

探究2 此类问题的一般解法是: (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在那个 区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(- x),从而解出f(x).

思考题2 (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时 f(x) =-x+1,则当 x<0时, f(x)的表达式为( A.f(x)=- x+1 C.f(x)=x+1 )

B.f(x)=-x-1 D.f(x)= x-1

【解析】 设x<0,则-x>0,∴f(-x)=-(-x) +1=x+1, ∵f(x)为奇函数,∴-f(x)=x+1,∴f(x)=-x-1. 【答案】 B

(2)若f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=1,则当 x<0时,f(x)= ________.
【解析】 设x<0,则-x>0,∴f(-x)=1,∵f(x)为偶函数, ∴f(x)=1. 【答案】 1

题型三 函数奇偶性与单调性的综合运用 例3 设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调 递减,若f(m)+f(m-1)>0,求实数 m的取值范围.
【思路】 解答本题关键是将f(m)+f(m-1)>0转化为两个函数 值的大小关系,再利用单调性求解m的取值范围.

【解析】

由f(m)+ f(m-1)>0,

得f(m)>-f(m-1),即 f(m)>f(1-m). 又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[-2,2]上为奇函数, ∴f(x)在[-2,2]上为减函数. ? ?-2≤m≤2, ?-2≤ m≤2, ? ?-1≤m≤3, - 2 ≤ 1 - m ≤ 2 , ∴? 解得? ? 1 ?m<1-m, m< . ? ? ? 2 1 ∴-1≤ m<2.

探究3 解决此类问题一般要充分利用已知条件,把已知不 等式转化成f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式,再根据奇函数在对称 区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反,列出不 等式或不等式组,同时要注意函数定义域对参数的影响.

思考题3 设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函 数,若x1<0,且x1+x2>0,则( A.f(x1)>f(- x2) B.f(- x1)=f(-x2) C.f(- x1)<f(-x2) D.f(-x1)与f(x2)大小不定 )

【解析】

∵x1<0, x1+x2>0,∴x2>|x1 |>0.

∵f(x)在R上是偶函数,∴ f(|x2 |)<f(|x1 |). ∴f(-x2)<f(x1),故选A. 【答案】 A

课 后 巩 固

1.若偶函数f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( A.f(-1)<f(-1.5)<f(2) C.f(2)<f(-1.5)<f(-1)
答案 C

)

B.f(-1.5)<f(-1)<f(2) D.f(2)<f(-1)<f(-1.5)

解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(|x|),又∵f(x) 在(-∞,-1] 上单调递增,∴f(x)在[1,+∞)上单调递减,∴f(1)>f(1.5)>f(2),即 f(-1)>f(-1.5)>f(2).故选C.

2.若函数f(x)=x3(x∈R),则函数 y= f(-x)在其定义域上是 ( ) A.单调递增的偶函数 C.单调递减的偶函数 答案 B B.单调递减的奇函数 D.单调递增的奇函数

解析 ∵f(x)=x3是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-x3也是奇函 数,∵f(x)=x3单调递增,∴f(x)=-x3单调递减,故选B.

3.f(x)为偶函数且在[-4,0]上单调递减,比较f( -π ), f(2),f(4)的大小________.
答案 f(2)<f(-π )<f(4)

4.设f(x)=ax5+bx3+cx+7(其中a,b,c为常数,x∈R),若 f(-2 017)=-17,则f(2 017)=________.
答案 31 解析 f(2 017)=a· 2 0175+b· 2 0173+c· 2 017+7, f(-2 017)=a(-2 017)5+b(-2 017)3+c(-2 017)+7, ∴f(2 017)+f(-2 017)=14,∴f(2 017)=14+17=31.

5.已知函数y=f(x)的图像关于原点对称,且当x>0时,f(x)= x2-2x+3.试求 f(x)在R上的表达式,并画出它的图像,根据图像 写出它的单调区间.
思路 由函数图像关于原点对称可知y=f(x)是奇函数.利用奇 函数概念可求得解析式.

解析 ∵函数f(x)的图像关于原点对称, ∴f(x)为奇函数,则 f(0)=0. 设x<0,则- x>0,∵x>0时, f(x)=x2-2x+3, ∴f(x)=- f(-x)=-(x2+2x+3)=- x2-2x-3. ?x2-2x+3 ( x>0), ? 于是有f(x)= ?0 (x=0), ?-x2-2x-3 ( x<0). ?

先画出函数在y轴右侧的图像,再根据对称性画出y轴左边 的图像.如下图.

由图像可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[1,+ ∞),单调递减区间是(-1,0),(0,1).

自 助 餐

图像变换专题

1.平移变换(a>0) 八字方针:“左加右减,上加下减” 向右平移 y= f(x) ―――――→ a个单位 y= f(x- a) 向左平移 y= f(x) ―――――→ a个单位 y= f(x+ a) 向上平移 y= f(x) ―――――→ a个单位 y= f(x)+a

向下平移 y= f(x) ―――――→ a个单位 y= f(x)-a 四字真言:“正减负加” 向x轴正方向 y= f(x) ―――――→ 平移a个单位 y= f(x- a) 即用x-a代替原式中的 x. 向y轴正方向 y= f(x) ―――――→ 平移a个单位 y-a=f(x) 即用y-a代替原式中的 y. 向x轴负方向 y= f(x) ―――――→ 平移a个单位 y= f(x+ a) 即用x+a代替原式中的 x.

向y轴负方向 y= f(x) ―――――→ 平移a个单位 y+a=f(x) 即用y+a代替原式中的 y. 说明:“四字真言”比“八字方针”适用范围要广,它不 仅适用于函数图像的变换,而且适用于将来要学习的三角函数 图像的变换.

2.对称变换 ①y= f(x)与 y= f(-x)的图像关于 y轴对称. ②y= f(x)与 y=- f(x)的图像关于 x轴对称. ③y= f(x)与 y=- f(-x)的图像关于原点对称. ④y= |f(x)|的图像是保留 y= f(x)的图像中位于上半平面内的 部分及与x轴的交点,将 y= f(x)的图像中位于下半平面内的部分 以x轴为对称轴翻折到上半平面中去而得到. ⑤y= f(|x|)的图像是保留 y= f(x)中位于右半平面内的部分及 与y轴的交点,去掉在左半平面内的部分,将右半平面内的部分 以y轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到.

例1 (1)已知y=f(x+2)的图像关于 y轴对称,则 y=f(x)的图 像对称轴为__________; (2)把f(x)=2x2+x-1的图像向右移一个单位,再向下移一 个单位得到g(x)的图像,则 g(x)的解析式为______________.
【答案】 (1)x=2 (2)f(x)=2x2-3x-1

1 例2 如下图,函数y=1- 的图像是( x-1

)

1 1 【解析】 y=1- 的图像可由y=- 的图像向右平移一个 x x-1 单位,再向上平移一个单位而得,故选B. 【答案】 B

x-2 1 【讲评】 本题中y=1- = . x-1 x-1

例3 将奇函数y= f(x), x∈R的图像沿 x轴正方向平移1个单 位后,所得的图像是C,又设图像C′与C关于原点对称,那么C ′所对应的函数是( A.y=- f(x-1) C.y=- f(x+1) ) B.y= f(x-1) D.y= f(x+ 1)

内部文件,请勿外传

内部文件,请勿外传

【解析】

向右平移1个单位 y= f(x) ――――――――→ y= f(x-1)

作关于原点对称 ―――――――→ y=- f(-x-1)=f(x+1). 故选D. 【答案】 D



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