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【同步备课】高中数学(北师大版)必修三教案:3.2 古典概型赏析创新


古典概型

赏析创新

古典概型是一种重要的概率模型,也是高考命题的重点.近年来,在高考或各地模拟考 试中出现了一些以古典概型为背景的创新题,考查了同学们的探究能力和创新能力.下面撷 取几例,与同学们共赏析.

一、信息迁移创新 信息迁移题是近年高考命题改革的一个新的亮点.此类试题通过给出一个新概念,或定 义一种新运算,或给出几个新模型等来创设新的问题情境,要求同学们在阅读理解的基础上, 应用所学的知识和方法,实现信息的迁移,以达到灵活解题的目的. 例 1 “渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如 2578) ,在两位的“渐升 数”中任取一个数比 37 大的概率是_____. 解析:十位是 1 的“渐升数”有 8 个;十位是 2 的“渐升数”有 7 个;?;十位是 8 的 “渐升数”有 1 个,所以两位的“渐升数”共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36 个;以 3 为十 位比 37 大的“渐升数”有 2 个,分别以 4,5,6,7,8 为十位数的“渐升数”均比 37 大, 且共有 5+4+3+2+1=15 个,所以比 37 大的两位“渐升数”共有 2+15=17 个.故在两位 的“渐升数”中任取一个比 37 大的概率是

17 . 36

二、图表解读创新 给出图表,要求同学们对图表进行观察,分析,并提炼,挖掘出图表所给予的有用信息, 排除有关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求解的目的. 例 2 下表为某班英语及数学的成绩分布,全班共有学生 50 人,成绩分为 1~5 五个档 次.例如表中所示英语成绩为 4 分,数学成绩为 2 分的学生共 5 人(设 x,y 分别表示英语成 绩和数学成绩) .

(1) x ? 4 的概率 率是多少? x ≥ 3 的概

是多少? x ? 4 且 y ? 3 的概 率是多少?

-1-

(2) x ? 2 的概率是多少? a ? b 的值是多少? 解析: (1) P( x ? 4) ?

1? 5 ? 7 ?1 7 7 ; ? ; P( x ? 4,y ? 3) ? 50 25 50 ? ( P x4 ?) ? 7 (; 5 ) 10 5 7 1 ? ? ; 50 10 5

P( x ≥ 3?)P x ?( ? P 3x )?

(2) P( x ? 2) ? 1 ? P( x ? 1) ? P( x ≥3) ? 1 ? 又 P( x ? 2) ?

1? b ? 6 ? 0 ? a 1 ? ,则 a ? b ? 3 . 50 5

三、知识交汇创新 这类问题从学科知识的内在联系出发,在知识交汇点上做文章,一个题目往往包含多个 知识点. 例 3 (2005 年高考广东试题)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标 有点数 1,2,3,4,5,6) ,骰子朝上的面的点数分别为 X , Y ,则 log A.
2X

Y? 1 的概率为(



1 6

B.

5 36

C.

1 12

D.

1 2

解析:本题是古典概型与对数知识的交汇,可先根据对数性质得到Y与X的关系,进而 求解. 由题设知,骰子朝上的点数 X,Y 满足 Y ? 2X ,就是说朝上的面的点数只能是 1,2;2, 4;3,6,即所求概率为

3 1 ? .故选(C) 36 12

l 的斜率等可能的取 ?2 2, ? 3, ? 1) 的直线, 例 4 设 l 为平面上过点 (0,

5 5 , 0, , 3, 2 2, 2 2

则原点到 l 的距离小于 1 的概率是



解析:本题是古典概型与解析几何知识的交汇,运用点到直线的距离公式分别求距离得 解.
? 3, ? 1) 且斜率分别为 ?2 2, 原点到过点 (0, 5 5 , 0, , 3, 2 2 的直线的距离分别为 2 2

1 1 2 2 1 1 ,,, 1 ,,, . 3 2 3 3 2 3
故原点到 l 的距离小于 1 的概率为

6 . 7

四、知识应用创新

-2-

例 5 在某条人流较大的街道上,有一中年人吆喝着“送钱喽” !只见他手拿一只黑色小 布袋,袋中有且只有 3 个黄色和 3 个白色的乒乓球(体积大小、质地完全相同) .旁边立着一 块黑板,上面写着: 摸球方法: (1)若摸球一次,摸得同一颜色的球 3 个,摊主送给摸球者 5 元钱; (2)若摸球一次,摸得非同一颜色的球 3 个,摸球者给摊主 1 元钱. 如果一天中有 100 人次摸球,试从概率角度估算一下这个摊主一个月(按 30 天计算)能 赚多少钱? 解析:假定把“摸球一次,摸得同一颜色的 3 个球”记为事件A, “摸球一次,摸得非同 一颜色的 3 个球”记为事件B,那么事件B与事件A为对立事件,又基本事件有: (黄 1 ,黄 2 ,白 1 ) , (黄 1 ,黄 2 ,白 2 ) , (黄 1 ,黄 2 ,白 3 ) , (黄 1 ,黄 2 ,黄 3 ) , (黄 2 , 白 1 ,白 2 ) , (黄 2 ,白 1 ,白 3 ) , (黄 2 ,白 2 ,白 3 ) , (黄 2 ,黄 3 ,白 1 ) , (黄 2 ,黄 3 ,白 2 ) , (黄 2 ,黄 3 ,白 3 ) , (黄 3 ,白 1 ,白 2 ) , (黄 3 ,白 1 ,白 3 ) , (黄 3 ,白 2 ,白 3 ) , (白 1 ,白 2 , 白3 ) , (黄 1 ,黄 3 ,白 1 ) , (黄 1 ,黄 3 ,白 2 ) , (黄 1 ,黄 3 ,白 3 ) , (黄 1 ,白 1 ,白 2 ) , (黄 1 , 白 2 ,白 3 ) , (黄 1 ,白 1 ,白 3 )共 20 个. 其中事件 A 包括(黄 1 ,黄 2 ,黄 3 ) , (白 1 ,白 2 ,白 3 )两个基本事件,所以事件 A 发 生的概率为 P( A) ?

2 1 ? . 20 10

1 9 ? . 10 10 9 1? ? 如果 1 天中有 100 人次摸球,摊主一个月能赚得钱数为 ?1 ? ? 5 ? ? ? 100 ? 30 ? 1200 10 10 ? ?
又 P( A) ? P( B) ? 1 ,∴事件 B 发生的概率为 P( B) ? 1 ? P( A) ? 1 ? (元) . 评注:该例是概率问题在现实生活中的具体应用,体现了古典概率知识在实际问题中的 价值.它告诉我们,只有善于将所学知识应用到实际生活中去,才会避免盲目上当受骗.

-3-


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