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河南省郑州市第一中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题Word版含答案

郑州一中 2015—2016 学年上期期末考试 17 届 高二文科数学试题

说明:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)满分 150 分,考试 时间 120 分钟.
2.将第Ⅰ卷的答案代表字母填(涂)在第Ⅱ卷的答题表(答题卡)中. 第Ⅰ卷 (选择题、填空题,共 80 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
1. 下列命题是全称命题的是( )

A. 存在 x ? R ,使 x2 ? x ?1 ? 0

B. 所有 2 的倍数都是偶数

C. 有一个实数 x ,使 x ? 0

D. 有的三角形是等边三角形

2. 抛物线 y2 ? 2x 的准线方程是( )

A. y ? 1 2

B. y ? ? 1 2

C. x ? 1 2

D. x ? ? 1 2

3.已知等比数列?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 7a1 ,则数列?an ?的公比 q 的值为( )

A.2

B.3

C.2 或-3

D.2 或 3

4. 在等差数列{an} 中,已知 a4 ? a8 ? 16,则 a2 ? a6 ? a10 ? ( )

A.12

B.16

C.20

D.24

5. 在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c ,若 ?C ? 120 , c ? 2a ,则

A. a ? b

B. a ? b

C. a ? b

D. a 与 b 的大小关系不能确定

6.椭圆 ax2 ? by2 ? 1 与直线 y ? 1? x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜

率为 3 ,则 a 的值为( ) 2b

3
A.
2

23
B.
2

93
C.
2

23
D.
27

7. 已知 F 是双曲线 C :x2 ? my2 ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距

离为( )

A. 2 2

B. 2

C. 3

D. 3 3

8. 在 ?ABC 中, B ? 60?,b2 ? ac . 则 ?ABC 一定是( )

A.锐角三角形

B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形

9.已知数列 ?an ?:

1 ,1 23

?

2 ,1 34

?

2 4

?

3 4

,...,1 10

?

2 10

?

3 10

?

...?

9 ,...,那么数列 10

? ? ?

1 an an ?1

? ? ?



前 n 项和 Sn 为( )

n A. n+1

4n B. n+1

3n C. n+1

5n D. n+1

10.已知函数 f (x)(x ? R) 满足 f ?1? ? 1 ,且 f (x) 的导函数 f '?x? ? 1 恒成立,则不等式
3

f ?x? ? x ? 2 的解集是( )
33
A.?x -1? x ?1? B.?x x ? -1?

C.?x x ? -1或x ?1?

D.?x x ?1?

11. 正项等比数列 ?an?中,存在两项 am , an 使得

aman

? 4a1 ,且 a6

? a5

? 2a4

,则

1 m

?

4 n

的最小值是( )

A. 3 2

B.2

C. 7 3

D. 25 6

12.



F1



F2

分别为双曲线

C



x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点, A 为双曲线的

左顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M , N 两点,满足 ?MAN ? 120? ,则

该双曲线的离心率为( )

A. 21 3

B. 19 3

C. 7 3

D. 7 3 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知直线 y ? kx?1与曲线 y ? x3 ? ax ? b 切于点 (1,3) ,则 b 的值为________.

14.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A, B 是该抛物线上的两点,AF ? BF ? 3 ,则线段 AB

的中点到 y 轴的距离为



?x ? y ?1? 0

15.若

x,y

满足约束条件

? ?

y

?

2x

?

2

,且 z ? kx? y 取最小值时的最优解有无数个,则

??y ? 2

k=________.

16. 若 ?ABC 的内角 A, B,C 所对的边 a,b, c 满足 (a ? b)2 ? c2 ? 4 ,且 ?C ? 60? ,则 a ? b

的最小值为

.

第Ⅱ卷 (解答题,共 70 分)

三、解答题:本大题共6小题,共70分. 17.(本小题满分 10 分)

在等差数列?an ?中, a2 ? 4, a4 ? a7 ? 15 .

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设 bn ? 2an ? 2 ? n, 求数列?bn ?的前10 项和.

18.(本小题满分 12 分)

命题

p

: 实数

x

满足

x2

?

4ax

?

3a2

?

0

,其中

a

?

0 ;命题

q

:实数

x

满足

?? x 2

? ??

x

2

? ?

x ? 6 ? 0, 2x ? 8 ? 0.

(1)若 a ?1,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 如图,货轮在海上以 50 海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线

的水平角)为 155°的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为

125°.半小时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 80°.求此时货轮与灯塔之


间的距离.

B 1551o25?

20. (本小题满分 12 分)



80 o

A

?ABC

中,角

A, B,C

的对边分别为

a,b,c

C

.

已例

知 1

A?? 4





b sin??C ? ? ?? ? c sin?? B ? ? ?? ? a .

? 4?

? 4?

(1)求证: B ? C ? ? ; 2

(2)若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

21. (本小题满分 12 分)

若椭圆 C 的中心在原点,焦点 F 在 x 轴上,离心率 e ? 3 ,点 Q( 2??? 2 ) 在椭圆 C 上.

2

2

(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)若斜率为 k (k ? 0) 的直线 n 交椭圆 C 与 A 、 B 两点,且 kOA 、 k 、 kOB 成等差数列,

又有点 M ?1,1? ,求 S?ABM 的面积(结果用 k 表示);
(3)求出(2)中 S?ABM的最大值 .

22.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ?x? ? ln x ? x. (1)求 f ?x? 的单调区间及最大值;

(2) 若不等式 xf ?x?? x2 ? kx ? k ? 0 对 ?x ? ?2,???恒成立,求实数 k 的最大值;

? ? (3)若数列?an?的通项公式为 an

?1?

1 2n

n?N*

,试结合(1)中有关结论证明:

a1 ? a2 ? a3 ?... ? an ? e ( e 为自然对数的底数);

郑州一中 2015—2016 学年上期期末考试 17 届 高二文科数学答案卷



题号 一



总分

17

18 19

20

21

22

一、单项选择题:本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

9 10 11 12

二、填空题:本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.

13. _________________.

14.___________________.

15. _________________.

16.___________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 10 分) 解:

18.(本小题满分 12 分) 解:

19. (本小题满分 12 分) 解:


B 155o1..2...5o
o

.. ? 北o

80 o

A

C 例1 图

20. (本小题满分 12 分) 解:

座号

21. (本小题满分 12 分) 解:

22. (本小题满分 12 分) 解:
郑州一中 2015—2016 学年上期期末考试 17 届 高二文科数学试题答案
一、单项选择题:本题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C D A A C D B D A A
二、填空题:本题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.

13.3

14. 5 .

15.-2 或 1.

16. 4 3 .

4

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,
由已知得???a1+d=4, ??(a1+3d)+(a1+6d)=15,
解得???a1=3, ??d=1.
所以 an=a1+(n-1)d=n+2. (2)由(1)可得 bn=2n+n, 所以 b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)
=2(11--2210)+(1+120)×10=(211-2)+55=211+53=2 101.

18.(本小题满分 12 分)
解: (1) 2 ? x ? 3 (2)1 ? a ? 2

19. (本小题满分 12 分) 解:在△ ABC 中,∠ABC=155°-125°=30°, ∠BCA=180°-155°+80°=105°,
∠BAC=180°-30°-105°= 45°, BC ? 1 ? 50 ? 25 , 2



B

155o

125o
o

由正弦定理 AC sin 300

?

BC sin 450

,∴AC=

BC ?sin 300 sin 450

=

25 2

2

(海里)

.. ? o


答:船与灯塔间的距离为 25 2 海里.

80 o

A

2

C

例1

20. (本小题满分 12 分)



解:(1)证明 由 bsin??π4+C??-csin??π4+B??=a,

应用正弦定理,得 sin Bsin??π4+C??-sin Csin??π4+B??=sin A,

sin

B???

2 2 sin

C+

2 2 cos

C???-sin

C???

2 2

sin B+

2 2 cos

B???=

22,

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1,即 sin(B-C)=1,

由于 0<B,C<34π,从而 B-C=π2.

(2)解 B+C=π-A=34π,因此 B=58π,C=π8. 由 a= 2,A=π4,得 b=assininAB=2sin58π,c=assininAC=2sinπ8, 所以△ ABC 的面积 S=12bcsin A= 2sin58πsinπ8= 2cosπ8·sinπ8=21.

21. (本小题满分 12 分)

解:(1)设椭圆方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1,由题意知

2 a2

?

1 2b2

?1



又e? c ?

a2 ? b2 ?

3



联立①②解得, a2 ? 4, b2 ? 1,

a

a

2

所以椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1 4

(2)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0,故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m

A( x1 ,

y1), B(x2 ,

y2

)

,由

? ?

x

2

?? 4

?

y2

?1

消去 y 得

(1? 4k 2 )x2 ? 8km ? 4(m2 ?1) ? 0 。

?

? 64k 2m2

?16(1? 4k 2 )(m2

?1) ? 16(4k 2

? m2

?1) ? 0 ,且 x1 ? x2

8km ??
1? 4k 2



因为直线 OA, AB,OB 的斜率依次成等差数列,所以 y1 ? y2 ? 2k ,即 x1 x2

x1 y2 ? x2 y1 ? 2kx1x2 ,

又 y ? kx ? m ,所以 m(x1 ? x2 ) ? 0 ,即 m ? 0

? y ? kx,

联立

? ? ??

x2 4

?

y2

易得弦 AB 的长为 4 1? k 2

? 1,

1? 4k 2



又点 M 到直线 y ? kx 的距离 d ? | k ?1| ,所以 S ? 1 ? 4 1? k 2 ? | k ?1| ? 2 | k ?1| ,

1? k2

2 1? 4k 2 1? k 2 1? 4k 2

(3)令

f

(k)

?

4(k ?1)2 1? 4k 2

,则

f

?(k )

?

8(k ?1)(4k ?1) (1? 4k 2 )2

,易知

f

(k) 在 (??, ? 1), (1, ??) 上 4

单调递增,在 (? 1 ,1) 上单调递减。又 f (? 1) ? 5 ,且 x ??? 时, f (k) ?1 。

4

4

所以当 k ? ? 1 时, f (k) 取最大值 5,此时, S 取最大值 4

5.

22. (本小题满分 12 分) (1)解 因 f(x)=ln x-x,所以 f′(x)=1x-1=1-x x. 当 x∈(0,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 所以 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)证明 由(1)知,当 x>0 时,f(x)<f(1)=-1,即 ln x<x-1.
因为 an=1+21n(n∈N*),所以 ln an=ln??1+21n??<21n.令 k=1,2,3,…+,n,这 n 个式
子相加得: ln a1+ln a2+…+ln an<12+212+213+…21n=1-21n<1. 即 ln (a1a2a3…+an)<1,所以 a1a2a3…an<e. (3)解 令 g(x)=xf(xx-)1+x2=xxl-n 1x,则 g′(x)=x(-xl-n x1-)12,令 h(x)=x-ln x-1,则 h′(x)
=1-1x,x>2 时 h′(x)>0,故 h(x)在(2,+∞)上单调递增,而 h(x)>h(2)=1-ln 2>0, h(x)>0,即 g′(x)>0,所以 g(x)在(2,+∞)上单调递增,故 g(x)>g(2)=22l-n 12=2ln 2. 由题意有 k≤2ln 2,所以 k 的最大值是 2ln 2.



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