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高中数学北师大版必修5 第三章1.1、1.2 不等关系 不等关系与不等式 作业 Word版含解析

[学业水平训练] 1.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩 x 不低于 95 分,文化课总分 y 高于 380 分,体育成绩 z 超过 45 分,用不等式表示就是( )

??x≥95, A.?y≥380,
??z>45

??x≥95, B.?y>380,
??z≥45

??x>95, C.?y>380,
??z>45

??x≥95, D.?y>380,
??z>45

解析:选 D“. 不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”.∴x≥95,y>380,z>45.

2.已知:a,b,c,d∈R,则下列命题中必成立的是( )

A.若 a>b,c>b,则 a>c

B.若 a>-b,则 c-a<c+b

C.若 a>b,c<d,则ac>bd

D.若 a2>b2,则-a<-b

解析:选 B.选项 A,若 a=4,b=2,c=5,显然不成立;选项 C,如 a>b>0,c<0<d

时,不成立;选项 D,如 a=-1,b=0 时不成立,故选 B.

3.如果 loga3>logb3,且 a+b=1,那么( )

A.0<a<b<1

B.0<b<a<1

C.1<a<b

D.1<b<a

解析:选 A.∵a+b=1,a,b>0,∴0<a<1,0<b<1.

∵loga3>logb3,∴llgg

3 lg a>lg

3 b.

∴lg a<lg b.∴0<a<b<1.

4.若 m≠2 且 n≠-1,则 M=m2+n2-4m+2n 的值与-5 的大小关系为( )

A.M>-5

B.M<-5

C.M=-5

D.不确定

解析:选 A.∵m≠2,n≠-1,∴M=(m-2)2+(n+1)2-5>-5.

5.已知 a<0,-1<b<0,则下列不等式成立的是( )

A.a>ab>ab2

B.ab2>ab>a

C.ab>a>ab2

D.ab>ab2>a

解析:选 D.由于-1<b<0,所以 0<b2<1.所以 a<ab2<0,且 ab>0,易得答案 D.本题也可

以根据 a,b 的取值范围取特殊值,比如令 a=-1,b=-12,也容易得到正确答案.

6.某同学拿 50 元钱买纪念邮票,票面 8 角的每套 5 张,票面 2 元的每套 4 张,每种邮 票至少买两套,则用不等式表示上述不等关系为________.

解析:设买票面 8 角的 x 套,买票面 2 元的 y 套,

??x≥2,x∈N+

? 由题意列不等式组,得 y≥2,y∈N+

.

??0.8×5x+2×4y≤50

??x≥2,x∈N+ 答案:?y≥2,y∈N+
??0.8×5x+2×4y≤50

7.已知 a>b>c,且 a+b+c=0,则 b2-4ac 的值的符号为________.

解析:∵a+b+c=0,

∴b=-(a+c),∴b2=a2+c2+2ac.

∴b2-4ac=a2+c2-2ac=(a-c)2.

∵a>c,∴(a-c)2>0.

∴b2-4ac>0,即 b2-4ac 的符号为正. 答案:正 8.在实数的原有运算法则中,定义新运算 a?b=a-2b,则|x?(1-x)|+|(1-x)?x|>3 的 解集为________. 解析:∵x?(1-x)=3x-2,(1-x)?x=1-3x,∴原不等式等价于|3x-2|+|3x-1|>3,即 |x-23|+|x-13|>1.由绝对值的几何意义可得 x<0 或 x>1. ∴原不等式的解集为(-∞,0)∪(1,+∞). 答案:(-∞,0)∪(1,+∞) 9.已知 x<1,比较 x2+2 与 3x 的大小关系. 解:(x2+2)-3x=(x-1)(x-2).

∵x<1,∴x-1<0,x-2<0.

因此(x-1)(x-2)>0,故 x2+2>3x. 10.已知 a>b>c,a+b+c=0,求证:a-c c>b-c c.

证明:法一:∵ c - c a-c b-c

c[(b-c)-(a-c)]

c(b-a)







(a-c)(b-c) (a-c)(b-c)

而知 a>b>c,a+b+c=0,

∴c<0,b-a<0,a-c>0,b-c>0,

∴ c - c >0,∴ c > c .

a-c b-c

a-c b-c

法二:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0,

∴将上不等式左右两边同除以

(a-c)(b-c)得 1 > 1 , b-c a-c

又∵c<0,∴将上不等式两边同乘以 c,

得:b-c c<a-c c,即:a-c c>b-c c.

[高考水平训练]

1.已知 a>b>c,则a-1 b+b-1 c+c-1 a的值(

)

A.为正数

B.为非正数

C.为非负数

D.不确定

解析:选 A.∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0.∴ 1 >0, 1 >0, 1 < 1 , a-b b-c a-c b-c

∴a-1 b+b-1 c-a-1 c>0,∴a-1 b+b-1 c+c-1 a为正数.

2.某公司有 20 名技术人员,计划开发 A,B 两类共 50 件电子器件,每类每件所需人 员和预计产值如下:

产品种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件)

A类

1 2

7.5

B类

1 3

6

今制定计划欲使总产值最高,则 A 类产品应生产________件,最高产值为________万 元.

解析:设 A 类产品应生产 x 件,则 B 类产品应生产(50-x)件.于是有2x+503-x≤20,∴ x≤20.

总产值 y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330(万元).当且仅当 x=20 时,y 取最大值

330 万元,∴A 类产品应生产 20 件,最高产值为 330 万元.
答案:20 330 3.已知 a,b,c 满足:a,b,c 为正数,a2+b2=c2.当 n∈N+,n>2 时,比较 cn 与 an +bn 的大小.
解:∵a,b,c 为正数,

∴an,bn,cn>0.
由于an+cn bn=??ac??n+??bc??n.
又 a2+b2=c2,∴0<ac<1,0<bc<1.
∵函数 y=ax(0<a<1)在 R 上是减函数,
∴??ac??n<??ac??2,??bc??n<??bc??2,n∈N+,n>2. 因此an+cn bn=??ac??n+??bc??n<a2+c2 b2=1,即 an+bn<cn.
4.若二次函数 f(x)的图像关于 y 轴对称,且 1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4,求 f(3)的范围. 解:由题意,设 f(x)=ax2+c(a≠0),则

f(2)-f(1)

?? ??f(1)=a+c, a=

3



? ?



?? ??f(2)=4a+c,

4f(1)-f(2)

c=

3



而 f(3)=9a+c

4f(1)-f(2)

=3f(2)-3f(1)+

3

8f(2)-5f(1)



3

.

∵1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4,

∴5≤5f(1)≤10,24≤8f(2)≤32,

∴-10≤-5f(1)≤-5,

∴14≤8f(2)-5f(1)≤27, ∴134≤8f(2)-3 5f(1)≤9,

即134≤f(3)≤9.



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