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全国中学生数理化学科能力展示活动优秀论文精选

关于北京市按机动车尾号限行的合理性
北京四中初一年级:胡思行 摘要 本论文就奥运会后,市政府颁布的机动车限行措施,通过数据整理,用函数来表示出限行对环境的 好处,对节约能源的好处,另外还有因限行导致的汽油收入的减少。通过函数比较、数据举例,从 环保和经济的角度,阐述限行的合理性。 关键词:减少车辆、减少排放、汽油减收。 正文 1、背景:从奥运会前夕开始,北京市实行了单双号限行政策。从效果来看,奥运会期间,北京蓝天 比例达到了 100%,交通状况明显改善,这些是显而易见的。当然,在限行背后,部分开车族的出行 受到了限制,北京市加油站的收入也有所下降。奥运会后,北京继续实施尾号限行措施。这究竟是 有利还是无利呢?利显然是有的,而不利也不能忽视。在到达利最大时,也应该尽量减小不利,这 才是最佳的决策。 2、提出问题:如何限行,才能既考虑到节能环保,又考虑到经济?政府为什么这样限行? 3、论文概述:用一次函数 y=ax+b,表示出污染物排放与限制车辆数量的关系,汽油减少量与限制 车辆数量的关系,汽油收入的减少与限制车辆数量的关系。再在直角坐标系中表示出各个函数,讨 论如何限行最好。 4、研究 设减少行驶的车辆数是 C,减少污染物排放量是 G,减少汽油使用量是 P,减少汽油收入是 M;限 行比例是 x;油价是 P0 元/升。 (1)奥运期间 背景:奥运会期间,北京市共有机动车 335 万辆,其中公车 60 万辆、公交车 2 万多辆,出租车 4 万多辆。 限行措施:公车减少 50%,社会车辆按尾号单号在单日行驶、双号在双日行驶。公交车、出租 车、紧急车辆不受限制。 C 日≈50%×60+50%×(335-60-2-4)=164.5(万辆) 相关资料: “好运北京”体育赛事空气质量测试结果昨天公布。专家组经过测算,8 月 17 日至 20 日 采取的交通限行措施,对氮氧化物、一氧化碳、可吸入颗粒物排放的削减量,平均每天减排量分别 为 87 吨、1362 吨、4.8 吨,这意味着 4 天限行减排污染物约 5815 吨。 平均每辆每天汽车排放污染物 G0=5815 吨÷50%(298-60-2-4)÷4≈1.25(千克) G 日≈G0C=1.25×164.5=205.625(万千克)

P ?C 日

P0 9 S ? 164 .5 ? ? 20 ? 296 .1(万升) 100 100

相关调查: 车型:奥拓都市贝贝 在市区内行驶是 5.5L/100 km 城市里 6 L/100 km 夏季使用空调在市区内行驶大概 9-10 L/100 km” 普遍百公里油耗量:大概 5.5 升到 7 升左右 车型:吉利豪情 在高速路上行驶 6.8L/100km

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市区里应该有 10 L/100km 长途时速 70 公里时差不多 5 L/100km,市区 8 L/100km 普遍百公里油耗量:6 升到 10 升之间 车型:夏利 7101L 不开空调 7 L/100km,开空调 8.2 L/100km 城市五环路 6.5L/100km 市区 8.5 L/100km 普遍百公里油耗量: 6.5 升到 8.5 升左右 车型:奇瑞 QQ 6.6 升/100km 左右,市内道路及郊区道路结合 10.5 L/100km,在市区行驶 市区开,第一箱油 8.8 L/100km,第二箱油 8.1 L/100km 普遍百公里油耗量:6 升到 10 升左右 车型:羚羊 OK 款手挡 高速路行驶,不开空调 5.6L/100km 市区行驶开空调 8.5l L/100km 市区不开空调 7.2 L/100km 普遍百公里油耗量:5.6 升到 8.5 升左右 车型: 千里马 1.3L 手挡 高速路行驶 7L/100km,市区行驶 8.5L/100km 上下班高峰行驶 10L/100km 不开空调 9L/100km 普遍百公里油耗量:7 升到 10 升左右 车型:哈飞赛马 1.3L 半市区、半高速路、开空调 8.5L/100Km;不开空调 7.5L/100Km 市区行驶 10.5-11.5 L/100km 市区行驶 9.5 L/100km 普遍百公里油耗量: 7.5 升到 11.5 升左右 车型:派力奥 1.3EDX 市区行驶不开空调 9.5 L/100km 半市区半高速路行驶 7.2 升/100 公里 主要行驶在城市环路上 5.8-6L/100km 普遍百公里油耗量:5.8 升到 9.5 升左右 车型:威姿 1.3L 手挡 保持均速约 120km/小时,耗油 6.8L/100km 市区行驶 7.5L/100km,高速路 6L/100km 市区行驶 8L/100km 普遍百公里油耗量:6 升到 8 升左右 车型:高尔 1.6L 头 1500 公里平均 10 L/100km(开空调,市区),现在跑一次长途降到了 7.5 个左右 城市道路 10.8L/100km 平均 6L/100km 普遍百公里油耗量:6 升到 10.8 升左右 车型:富康 988

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出租车,城市道路行驶平均 7L/100km 平均 7.8 L/100km 市区行驶 8.5L/100km,郊区行驶 7 L/100km 普遍百公里油耗量:7 升到 8.5 升 车型:捷达前卫 市区行驶平均 8L/100km 平时上下班 10L/100km 开空调 7.5-8.5L/100km;正常行驶不开空调 6.5-7L/100km 普遍百公里油耗量:6.5 升到 10 升 车型:嘉年华 1.6AT 市区行驶平均 11L/100km 磨合期,基本不开空调,10 L/100km 高速路行驶 7L/100km,市区内大概 12L/100km 普遍百公里油耗量:7 升到 12 升左右 车型:波罗 POLO1.4L 手挡 不开空调,半城区半环路 7.4/100km 空调时开时不开,城市上下班购物 8.5L/100km 平均达到 2500 转换挡,很少用空调,市区行驶 7.5L/100km 普遍百公里油耗量:7.4 升到 8.5 升左右 车型:宝来 1.8L 自动挡 市区内行驶,空调时开时不开,较塞车,13L/100km;高速公路行驶 9L/100km 磨合期,平均油耗 9.4L/100km 城市道路行驶 13.5L/100k 普遍百公里油耗量:9 升到 13.5 升左右 车型:高尔夫 1.6 5V 自动挡 平均 8.8L/100km 市内 11 L/100km,郊区 8L/100km 市区内行驶平均 9.3L/100km 普遍百公里油耗量:8 升到 11 升 车型:凯越 1.8LAT 大部分高速不开空调,10L/100km 市区内平均 11.4L/100km 市区内行驶,开空调、音响平均 13L/100km 普遍百公里油耗量:10 升到 13 升 车型:威驰 1.5L AT 不开空调,城市高速各一半,9L/100km 不开空调,郊区行驶 8.2L/100km 市区行驶平均 12L/100km 普遍百公里油耗量:8.2 升到 12 升 6L 8.5L 9.5L 11.4L 7.2L 8.5L 10L 12L 8L 9L 10L 13.5L 8L 9.3L 10.8L 平均:8.84L 8L 9.5L 11L

基于上述十八款车的百公里耗油量,社会上以中低档车居多,本论文中使用每辆机动车百公里耗油
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量为 P0=9L。 (2)现阶段(只考虑五环以内) 背景:2008 年 11 月,北京市共有机动车 350 万辆,其中公务车 60 万辆,公交车 2 万多辆,出 租车 4 万多辆。 从 2008 年 10 月 1 日起,本市各级党政机关封存 30%公务用车。本市的公务用车、按车牌尾号每周 停驶一天(法定节假日和公休日除外) ,限行范围为本市行政区域内道路,限行时间为 0 时至 24 时。 根据《中华人民共和国道路交通安全法》和《北京市实施〈中华人民共和国大气污染防治法〉 办法》有关规定,2008 年 10 月 11 日至 2009 年 4 月 10 日,除上述第一条范围内的机动车外,本市 其他机动车按车牌尾号每周停驶一天(法定节假日和公休日除外) ,限行范围为五环路以内道路(含 五环路) ,限行时间为 6 时至 21 时。 根据上述第一、二条规定,按车牌尾号每周停驶一天的车辆车牌尾号分为五组,定期轮换停驶 日,具体由市公安交通管理部门提前公告。 首次停驶车牌尾号:星期一至星期五分别为 1 和 6、2 和 7、3 和 8、4 和 9、5 和 0。 C 日≈20%×(350-30%×60-2-4)=65.2(万辆) G 日≈G0C=1.25×65.2=81.5(万千克)

P ?C 日

P0 9 S ? 65.2 ? ? 20 ? 117.36 (万升) 100 100

M 日=PP0=117.36×6.37=745.29(万元) 相关数据:目前油价分别为:97 号 6.78 元/升,93 号 6.37 元/升( 《国家发展改革委关于调整成品 油价格的通知》 (发改电[2008]205 号) ) (3)设计 设减少行驶的车辆数是 C,减少污染物排放量是 G,减少汽油使用量是 P,汽油收入是 M(尽在机 动车方面) ;限行比例是 x;油价是 P0 元/升,拥有车辆 330 万辆(减去封存公车) 。 以一天(24 小时)为计算单位,构建数学模型。 由于北京市不限制机动车购买量和车牌发放数量,所以我认为限行措施对北京市购车市场不会 有较大影响,只会对北京石油公司造成影响,所以只计算对加油站收入的影响。 C=330x G=1.25C×30=1.25×330x=412.5x(万千克) (假定一段时间内机动车排放标准没有提高)

P?C

P0 9 S ? 330 x ? ? 20 ? 594 x (万升) (假定一段时间内机动车技术没有较大进步,机动 100 100

车百公里耗油量无大变化) M= 330 ?

P0 9 S ? 6.37 -PP0= 330 ? ? 20 ? 6.37 -594x×6.37 100 100
减少污染物排放量(万千克) 0 20.625 41.25 汽油收入(万元) 3783.78 3594.591 3405.402
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=-3783.78x +3783.78(万元) x 机动车限行比例% 0 0.05 0.1

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0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
4000 3500 3000

61.875 82.5 103.125 123.75 144.375 165 185.625 206.25 226.875 247.5 268.125 288.75 309.375 330 350.625 371.25 391.875 412.5

3216.213 3027.024 2837.835 2648.646 2459.457 2270.268 2081.079 1891.89 1702.701 1513.512 1324.323 1135.134 945.945 756.756 567.567 378.378 189.189 0

M = -3783.78x + 3783.78

2500 2000 1500 1000 G = 412.5x 500 0 0.2 -500 0

减少污染物排放量(万千 克) 汽油收入(万元) 汽油收入 减少污染物排放量

0.4 0.6 0.8 机动车限行比例%

1

1.2

分析:由上述计算得出图表和函数图像。可以看出,随着限行比例的提高,污染物排放量逐渐减少, 加油站收入却也逐步减少。即使公共交通足够发达,亦不能将限行比例提得过高,这样对于北京的 经济就会有一定的影响。所以,机动车限行比例的设置,一定要考虑对汽油收入的影响,再加上对 社会的影响。而限行措施的选择,是根据当时的情况和限行目的决定的:奥运期间,为了北京的空 气质量达标,就必须牺牲部分石油公司的利益,所以限行比例高达 50%;奥运会后,北京市政府制 定按尾号每周限行一日,因为此项措施时间较长,不能不考虑各行业的利益,而使污染物减排量相 对减少,但数目仍然不是很小,所以限行比例设为接近 20%。所以政府采用这两种现行方式(当然 还有其他社会因素) 。 制定政策根据不同目的,看不同的函数曲线,用不同的数据作参考。 三、总结 由数据可以看出,奥运期间的限行措施是相当成功的,短时间内,既保护了环境,又没有影响 北京的经济。现阶段,市政府调整了限行方式,尽管减少的污染物排放量没有奥运会期间多了,但 依然有所减少并且没有影响到北京经济的发展,可以说决策是严谨的、认真的、正确的。作为北京 市民,我们应该理解政府,配合政府,用小的经济损失换来北京的蓝天。
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四、资料来源 首都之窗网 北京晨报 新浪网 http://www.sina.com.cn 北京晚报 广东环境保护系统内网 http://www.gdepb.gov.cn/wukc/jdc/jdcpqgl_bz/t20051011_20170.htm 北青网综合 (08/11/19 13:30) http://bjyouth.ynet.com/view.jsp?oid=45939544&pageno=1 和讯网 http://it.hexun.com/2007-11-02/101006207.html

关于移动与联通的套餐话费节省问题的讨论
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人民大学附属中学初一年级:郭宸宇 摘要: 本文主要讨论关于未来即将实施的手机话费套餐的节省问题。在现今社会中,手机已经成为我 们生活中密不可分的一部分,作为一种即时的交通设备与工具,它已经走入了千家万户,成为了寻 常百姓的好朋友。而对于我国的两大手机通讯公司——中国移动与中国联通而言,在为了吸引更多 的消费者方面出台了各种各样的优惠套餐。本文将利用初一学生已掌握的各种比较数据方法,讨论 对通话需求不同的人在移动与联通即将出台的两种套餐中的最节省的办法。 关键词:节省话费、移动通讯、套餐优惠 前言 妈妈在一家律师事务所负责财务工作,事务所的职员们对于各种类型的手机话费套餐均有不同 的需求。由于大家业务都比较繁忙,所以对两大移动通讯公司出台的两项优惠套餐——移动全球通 “99 套餐”及联通 CDMA“随心定制”套餐格外关注。但是,我却注意到,许多套餐因选择不当或者 使用上的失误,常常会造成浪费更多的话费。由此,妈妈开始考虑对于这两种套餐不同的需求的最 佳节省方案,避免更多不必要的浪费。于是我也决定运用目前我所掌握的一些数学理论知识来尝试 解决一下这个问题。 讨论 根据中国移动与中国联通在网上及宣传单中的信息,我清楚地了解了这两种套餐的收费方法, 具体如下表所示: 中国联通 CDMA “随心定制” 费用 (含月租) 98 元 通话时间 270 分钟 中国移动全球通 “99 套餐” 费用 (含月租) 99 元 通话时间 200 分钟

套餐类型 套餐以内的 收费方式 超出套餐规定时间 的收费标准

0.4 元/分钟

0.3 元/分钟

如果某人使用 CDMA“随心定制”套餐,现设: x1 为此人每月平均通话时间(分钟) b1 为套餐内所 ; 包含的时间(分钟) c1 为超出套餐规定时间的时间费用; a1 为该套餐的套餐费; h1 为此人每月所 ; 需支付的话费,则等量关系式为:

h1 ? a1 ? c1 ? x1 ? b1 ?
如果某人使用全球通“99 套餐” ,因与 CDMA“随心定制套餐”的收费标准相同,所以等量关系式为:

h2 ? a2 ? c2 ? x2 ? b2 ?
那么我们现在需要讨论在此人每月平均通话多少分钟时 h1 ? h2 (此时 x1 ? x2 ) 。 因为 h1 ? a1 ? c1 ? x1 ? b1 ? ,而 h2 ? a2 ? c2 ? x2 ? b2 ?

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所以,当 h1 ? h2 时, a1 ? c1 ? x1 ? b1 ? ? a2 ? c2 ? x2 ? b2 ? 也就是说,当 a1 ? c1 ? x1 ? b1 ? ? a2 ? c2 ? x2 ? b2 ? 时,此人选择任一套餐话费相同。而北京移动与北 京联通为我们提供了有关这方面的数据:

b1 =270(分钟)

c1 =0.4(元/分钟)

a1 =98(分钟)

b2 =200(分钟)

c2 =0.3(元/分钟) a2 =99(分钟)

所以我们可以将有关数据套入公式中,即:

a1 ? c1 ? x1 ? b1 ? ? a2 ? c2 ? x2 ? b2 ? 98 ? 0.4 ? x1 ? 270? ? 99 ? 0.3? x2 ? 200?
因为我们讨论的前提是:某人每月平均通话多少分钟时, (此时 x1 ? x2 ) , 将 x1 与 x2 合并成为 x ,即某人每月平均通话 x 分钟时, h1 ? h2 。

h1 ? h2 ;所以我们可以

98 ? 0.4 ? x1 ? 270? ? 99 ? 0.3? x2 ? 200? ,将 x1 与 x2 合并得: 98 ? 0.4 ? x ? 270? ? 99 ? 0.3? x ? 200? 980 ? 4 ? x ? 270? ? 990 ? 3? x ? 200? 980 ? ? 4x ?1080? ? 990 ? ?3x ? 600?
980 ? 4 x ? 1080 ? 990 ? 3x ? 600 4 x ? 100 ? 390 ? 3x 4 x ? 3 x ? 390 ? 100 x ? 490
解得 x ? 490 ,即某人每月平均通话时间为 490 分钟时, h1 ? h2 。那么此人每月平均通话时间为多 少分钟时(此时 x1 ? x2 ) h1 ? h2 ? , 因为 h1 ? a1 ? c1 ? x1 ? b1 ? ,而 h2 ? a2 ? c2 ? x2 ? b2 ? , 所以当 h1 ? h2 时, a1 ? c1 ? x1 ? b1 ? ? a2 ? c2 ? x2 ? b2 ? 也就是说,当 a1 ? c1 ? x1 ? b1 ? ? a2 ? c2 ? x2 ? b2 ? 时,此人应选择全球通“99 套餐” 。 现将有关数字代入 a1 ? c1 ? x1 ? b1 ? ? a2 ? c2 ? x2 ? b2 ? 中,得到

98 ? 0.4 ? x1 ? 270? ? 99 ? 0.3? x2 ? 200?

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当 x1 ? x2 时,即设 x ? x1 ? x2 ,即此人每月平均通话 x 分钟时,h1 ? h2 。所以,我们可以将 x1 与 x2 替换为 x 。 即: 98 ? 0.4 ? x ? 270? ? 99 ? 0.3? x ? 200?

980 ? 4 x ? 1080 ? 990 ? 3x ? 600 4 x ? 100 ? 390 ? 3x 4 x ? 3 x ? 390 ? 100 x ? 490
解得 x ? 490 ,即此人月平均通话分钟大于 490 分钟时, h1 ? h2 。此时,由于 CDMA 套餐”的费用大于全球通“99 套餐” ,所以此人此时应选择全球通“99 套餐” 。 据以上事例,我们可以得出结论:当 h1 ? h2 时,此人应选择话费 h2 的套餐,即 CDMA“随心定制套 餐” 因为 h1 ? a1 ? c1 ? x1 ? b1 ? ,而 h2 ? a2 ? c2 ? x2 ? b2 ? ,所以当 h1 ? h2 时, 。 “随心定制

a1 ? c1 ? x1 ? b1 ? ? a2 ? c2 ? x2 ? b2 ?
现将数据代入,即 98 ? 0.4 ? x1 ? 270? ? 99 ? 0.3 ? x2 ? 200? 当此人每月通话时间为 x 分钟时,即此时 x ? x1 ? x2 ,此人应选择 CDMA“随心定制套餐” 。此时, 因为 x ? x1 ? x2 ,所以可将 x1 与 x2 替换为 x 。即

98 ? 0.4 ? x ? 270? ? 99 ? 0.3? x ? 200?
980 ? 4 x ? 1080 ? 990 ? 3x ? 600 4 x ? 100 ? 390 ? 3 x x ? 490
解得 x ? 490 ,即此人每月平均通话分钟小于 490 分钟时, h1 ? h2 。此时,由于 CDMA“随心定制套 餐”的话费小于全球通“99 套餐” ,所以此人此时应选择 CDMA“随心定制套餐” 。 这时,我们可以得到如下三个结论: 如果此人平均每月通话 490 分钟,此时 h1 ? h2 ,可以在两种套餐中任选其一; 如果此人平均每月的通话时间大于 490 分钟, 此时 h1 ? h2 , 应选择中国移动的全球通 “99 套餐” ; 如果此人平均每月的通话时间小于 490 分钟,此时 h1 ? h2 ,应选择中国联通的 CDMA“随心定制 套餐” 。 接下来,我们不妨再计算一下当此人平均每月通话时间为 490 分钟时,需要支付多少元。因为 当此人平均每月通话时间为 490 分钟时,h1 ? h2 ,所以我们可以将 x ? 490 代入任何一个公式中去。 现 将 x ? 490 代 入 公 式 1 中 , 此 时 因 为 x ? x1 ? x2 , 所 以 我 们 将 x 替 换 为 x1 , 即
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h1 ? a1 ? c1 ? x1 ? b1 ? ,现将相关数据代入,即: h1 ? 98 ? 0.4 ? 490 ? 270? ? 98 ? 0.4 ? 220 ? 98 ? 88 ? 186 元
解得当此人平均每月通话时间为 490 分钟时,至少需要支付 186 元。同样依此类推,如果此人 平均每月通话时间大于 490 分钟时,至少需要支付大于 186 元的金额;如果此人平均每月通话时间 小于于 490 分钟时,至少需要支付小于 186 元的金额。 那么我们可不可以使用两种套餐而求更便宜的话费呢?如果定制 CDMA“随心定制套餐”的同时又定 制了全球通 “99 套餐” ,则最少要花 ? a1 ? a2 ? ? 197 元。 此时仅可通话 ? b1 ? b2 ? ? 470 分钟。 而之前, 根据我们的计算,当仅使用一种套餐时,我们花 186 元可以通话 490 分钟,显然在 490 分钟以内选 两种套餐是行不通的。那么在 490 分钟以上怎么选择呢?因为我们需要定制两种套餐,所以基本的 套餐费用为 ? a1 ? a2 ? ? 197 元,从 197 元起,即从通话 470 分钟起,我们开始按超出套餐规定时的 收费标准收费。选择两种套餐中最便宜的一种计费方式即 0.3 元/ 分钟。当我们用此方式时,在 490 分钟时需花费 a1 ? a2 ? 0.3? 490 ? 470? ? 203 元。然而此时使用全球通“99 套餐”只需 186 元,且 此后无论使用两种套餐还是仅使用全球通“99 套餐” ,都将是 0.3 元/ 分钟。也就是说,自 490 分 钟之后,使用两种套餐仍比使用一种套餐贵。由此得出结论:我们不能使用两种套餐而求更便宜的 话费。 谈到这里,我们得出了最终结论: 第一,当我们平均每月通话时间为 490 分钟时, h1 ? h2 ,可以任意选择其中一种套餐且话费均 为 186 元; 第二,当我们平均每月的通话时间大于 490 分钟时, h1 ? h2 ,应选择中国移动的全球通“99 套 餐” ,此时的话费将大于 186 元; 第三,当我们平均每月的通话时间小于 490 分钟时,

h1 ? h2 ,应选择中国联通的 CDMA“随心定

制套餐” ,此时话费将小于 186 元。 第四,同时使用两种套餐并不能使我们的话费更便宜。 如上的结论我们可以根据坐标图清楚地看出其中的差异: (图表见下页) 手工绘图:

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电脑绘图:

话费统计图 总结 经过此次研究之后,我发现了依据这两种套餐可延伸出的三种对通话时间需求的最节省办法。 根据这三种方法,准备使用这两种套餐的人们都可以根据自己的需求来选择相应的最省办法。另外, 在这次研究中,我清楚地意识到一个问题可以有不同的讨论方法,如本题是从通话时间入手展开讨 论等等。事实上,根据中国移动与中国联通为我们提供的套餐还有更多不同类型的收费方式,本次 讨论的主题仅涉及的是适用最广的两种方式,如果再加入几项收费方式,或许也可以研究得更为具 体,适用于更多的人群。 参考文献 本文中表格收费方式的各种信息均取自中国移动与中国联通的附属网站。 www.chinaunicom.com.cn www.chinamobile.com

探究出行费用
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北京密云一中初二年级:刘逸凡 【摘要】 本论文结合实际情况与环境保护要求,研究了自驾游与公共出行的费用比较,选用从北京至葫芦岛 的出行费用,并针对不同情况制订了最佳方案。 【关键词】 出行费用 环境保护 实际应用 【正文】 1.选题目的: 随着社会的发展、科学的进步,汽车步入了人们的生活,出行也随之变得更加方便。但是,由此引 发的问题也接踵而来:环境被污染、资源被过度开采,同时大力发展公共出行的要求也越来越迫 切,??。 所以,我们迫切的需要了解:怎样的出行方案才是是环保、省钱的。 2.提出问题: 葫芦岛是北京最适合大众自驾游的地方,很多人到葫芦岛采取自驾游,对问题的研究有现实指导意 义。 3.数学模型建立: 3.1 相关数据: 北京到葫芦岛共 410 公里, 选用的 10 万元的家用车自驾游、 城市间快速交通 (大巴车) 和火车对比。 3.1.1 自驾游基本费用 北京到葫芦岛共 410 公里,全线走京沈高速程,高速费全线单程是 170 元(七座以下的车) ,其中北 京段 20 元、河北段 110 元,辽宁段 40 元;自驾油费,油耗:7.5-7.9 升/公里,油价:6.37 元/升; 汽车折旧费,车价:10 万元,车寿命:20 万公里。 3.1.2 城市间快速交通基本费用 城市间快速车票:119 元/人。 3.1.3 火车基本费用 火车车票:120 元/人。 3.2 数学模型建立 3.2.1 数学计算 按出行人数分别计算,家用车最多乘坐 5 人。 1 人出行: 自驾游: (10/20)*410+170+(410/100*7.5*6.37)=570.88 元; 乘大巴车:119*1=119 元; 乘火车:120*1=120 元。 2 人: 自驾游: (10/20)*410+170+(410/100*7.6*6.37)=573.49 元; 乘大巴车:119*2=238 元; 乘火车:120*2=240 元。 3 人: 自驾游: (10/20)*410+170+(410/100*7.7*6.37)=576.10 元; 乘大巴车:119*3=357 元; 乘火车:120*3=360 元 4 人: 自驾游: (10/20)*410+170+(410/100*7.8*6.37)=578.71 元;

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乘大巴车:119*4=476 元; 乘火车:120*3=480 元。 5 人: 自驾游: (10/20)*410+170+(410/100*7.9*6.37)=581.32 元; 乘大巴车:119*5=595 元; 乘火车:120*5=600 元。 3.2.2 数学模型建立 3.2.2.1 自驾游费用 M1:M1=M1a+M1b+M1c(元) 其中:M1a=(10/20)*410=205(元) 是汽车折旧费; M1b=170(元) 是高速费; M1c= 410/100*油耗*油价(元) 是油费。 3.2.2.2 乘大巴车费用 M2:M2=kFq(元) 其中:k 是出行人数; Fq=119(元) 是每人大巴车的车票费; 3.2.2.3 乘火车费用 M3:M2=kFh(元) 其中:k 是出行人数; Fh=120(元) 是每人火车的车票费; 3.2.3 数学模型图表 数据表如下: 1人 自驾游费用 M1 乘大巴车费用 M2 乘火车费用 M3 570.88 119 120 2人 573.49 238 240 3人 576.10 357 360 4人 578.71 476 480 5人 581.32 595 600

函数图象如下:

3.2.4 数据分析 经数据分析,乘坐火车的费用比乘做大巴车的费用高, 所以只分析自驾游的费用与大巴车的费用 就能得出结论。
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通过上面表格和函数图像可以看出,当出行人数大于 4 时,自驾游的费用低于大把车的出行费 用。 通过解关于 M1 与 M2 方程 M1=M1a+M1b+M1c M2=kFq 得出当 k=4.95 时,M1=M2。当 k≥5 时,M1≤M2。 比较可发现:只有当人数≥5 时,选择自驾游才更省钱。而刚好是 5 人时,自驾游仅省了 8.6757 元, 就环境的保护而言,此时还是选择乘车出行较好。 3.3 结论 经比较可发现自驾游并不省钱,并对环境有破坏,我们必须大力提倡公共出行,大力发展公共 出行,使公共出行和自驾游一样方便快捷,到时,大家都采取的公共出行,我们得环境会更好,天 会更蓝。

个人复习时间分配与知识掌握
北京市十一学校初二年级:姜喆 指导教师:夏祖超

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摘要:本文在合理假设下,针对个人简要分析了实际情况中某科(文中以语文为例)复习时间 分配与所得成绩的关系,即如何在一定时间内,合理分配复习时间以取得最佳效果(即最高成绩), 使用了不定方程组,建立了数学模型,提出了于个人而言的最佳方案,以及推广使用的方法及益处。 关键词:复习总时间,合理分配,最大值,效率 提出问题 虽然现在提倡“素质教育” ,说学习不是人生的全部,但如果连这一部分都做不好,还能有好的 人生吗?况且对于我们学生来讲,最重要、对于我们影响最大的还是学习,这也决定着我们的高中, 大学乃至更远的将来。而知识掌握是用成绩来衡量的,所以,我们通过分析成绩与复习时间分配以 及复习效率的关系,合理分配极有限的复习时间,来取得最高的成绩.然而很多人对此却不得要领, 导致用时不少,而得分很低(含本人). 于是,本文以我个人的语文学科为例,分析了如何为了得分而最有效地复习,而其他科目可用同样 方法分析. 模型假设与符号及一些名词说明 2.1 模型的假设 (1)我的复习效率(下文中有说明)为定值,不会有波动; (2)我在考试中没有看错题,笔误,扣卷面分等失误; (3)考试时我们心理素质够好,不会因紧张等问题发挥失常; (4)每次大考形式一样,各版块分值分布无变化; (5)复习时间有限,共计 15 小时; (6)复习时间全部利用,无浪费,即翻书,找书(卷子)等不计; (7)复习够全面,知识点全部复习到; (8)考试时特殊情况(如运气)忽略不计; (9)本文中认为得到优秀以上即为成功; (10)本文中数据来自本人期中语文考试成绩 2.2 符号及一些名词的说明 (1)复习效率:即复习之后,到了考场上还记得的知识占全部复习的知识的百分比,定义为某版块 得分/该版块总分,下文中 4 个版块的复习效率分别记为η jc,η xy,η gy,η zw, (2)η jc:是指基础知识的复习效率,jc 为基础的汉语拼音 ji-chu 的字头; (3)η xy:是指现代文阅读的复习效率,xy 为现代文阅读的汉语拼音 xian’dai’wen-yue’du 的 字头; (4)η gy:是指古文阅读的复习效率,gy 为古文阅读的汉语拼音 gu’wen-yue’du 的字头; (5)η zw:是指作文的复习效率,zw 为作文的汉语拼音 zuo-wen 的字头; (6)Tz:复习所用的总时间,本文中视为 15 小时,z 为总的汉语拼音 zong 的字头; (7)Tjc:复习基础知识所用的时间; (8)Txy:复习现代文阅读所用的时间; (9)Tgy:复习古文阅读所用的时间; (10)Tzw:复习时准备作文所用的时间 3. 复习时间分配与所得成绩关系模型的建立与求解 3.1 模型的建立 分数是我们最看重的事物之一,而它和复习策略是分不开的。现在,大家的复习方法都是大同小异, 可以挤出的复习总时间也是差不多的,只是在时间分配上有明显不同,而且这恰恰是很容易改变的; 而不同的版块在考试中所占比重是相差很大的.综上,我们需要建立一个合理的模型,了解得分与复

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习时间分配的关系,以取得最好成绩. 从前文可得知,η jc 是基础知识的复习效率,η xy 是现代文阅读的复习效率,η gy 是古文阅读的复习 效率,η zw 是作文的复习效率,又可知各版块分值,则可根据已知数据,计算出最好的复习时间分 配方案,使得我们可以在有限复习时间内,取得最高成绩. 此外,各版块分值等数据见表 1: 总分(分) 得分(分) 基础 现代文阅读 古文阅读 作文 35 16 14 60 23.5 11.5 10 40 复习效率 67.14% 72% Tz=15 71.43% 66.70% Tgy Tzw 复习总时间(h) 各项所用时间(h) Tjc Txy

表1 我们一般认为各版块权重及复习效率与总分有关,且权重越重、复习效率越高时,总分越高。所以, 设 y=35η jc Tjc+16η xy Txy +14η gy Tgy +60η zw Tzw ,则在符合实际的情况中,y 值越大时,得分 越高。且复习时时间不可能控制的太细致,所以现在认为各项所用时间都为正整数.然后,就可以开 始求解了. 3.2 模型的求解 假设复习时间中没有浪费,则有 Tjc+Txy+Tgy+Tzw=Tz=15.将表中η jc=67.14%,η xy= 72%,η gy=71.43%,η zw=66.70%代入 y=35η jc Tjc+16η xy Txy +14η gy Tgy +60η zw Tzw,得 y=23.499 Tjc+11.52 Txy +10 Tgy +40.02 Tzw.此时,将 y=23.499 Tjc+11.52 Txy +10 Tgy +40.02 Tzw 与 Tjc+Txy+Tgy+Tzw=Tz=15 联立,得到不定方程组 Tjc+Txy+Tgy+Tzw=15 y=23.499 Tjc+11.52 Txy +10 Tgy +40.02 Tzw 因本文中认为得到优以上即为成功,且满分为 125 分,则优为 125×85%≈106 分以上,而作文 满分为 60 分,则 40.02 Tzw 在 y 中所占百分比不超过 60/106≈57%.同理,23.499 Tjc 在 y 中所占 百分比不超过 33%,11.52 Txy 在 y 中所占百分比不超过 15%,10 Tgy 在 y 中所占百分比不超过 13.2%.则模型转化为在符合实际情况时,求 Tjc,Txy,Tgy,Tzw 分别为何正整数值时,y 值最大. 当 Tjc,Txy,Tgy,Tzw 取不同的值时,y 值见表 2 Tjc 4 4 4 5 5 表2 根据以上计算,当 Tjc=5,Txy=3,Tgy=2,Tzw=5 时,y 值最大.所以得出结论,在复习时, 分别用 5 小时复习基础知识和作文,3 小时复习现代文阅读,2 小时复习古文阅读,即可取得最佳效 果。 3.4 模型补充说明:
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Txy 4 3 4 3 2

Tgy 3 3 2 2 2

Tzw 4 5 5 5 6

y 330.156 358.656 360.176 372.155 400.655

是否符合实际 是 是 是 是 否

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本模型说明了复习时间分配等因素与所得成绩的关系, 即如何在有限时间内取得最高成绩.且现 在学生人数很多,而考试前复习的时间分配是很多人共有的问题,所以本模型中一些常量可代入不 同数值,应用于分析不同学生、不同科目的复习时间分配,十分实际,可说是有较强的应用性,较 广的应用范围,较好的发展前景,值得推广使用. 但本模型也有较明显的不足之处,即未能考虑到各种突发的随机性较强的、却一定存在的方面,如 因紧张等问题发挥失常,出现失误等问题,太过于理想化,略有些脱离现实,所以存在一定误差, 还有待改善、提高、设计的更加全面些,才可以投入使用. 参考文献 《中学数学建模与赛题集锦》 上海市中学生数学知识应用竞赛组织委员会 复旦大学出版社 出版



是继续亏损还是提高票价?
——北京地铁现行两元票价和实际成本的比较 成 北京 市西城实验学 校初三年级 :李昕濛

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一、北京地铁现有状况和展望 北京目前运营地铁数量为 8 条,它们是:地铁 1(苹果园站到四惠东站) 、2(积水潭站到积水 潭环线) 、5(天通苑北站到宋家庄站) 、10(巴沟站到劲松站) 、13 号线(西直门站东直门站)和八 通线(四惠站到土城站) 、奥运支线(北土城站到奥林匹克公园南门) 、机场专线(东直门到首都机 场) 。运营线路总里程 200 公里,共有 123 座运营车站。 北京目前拟建和在建的项目有:4 号线(马家楼到龙背村) 号线(五路站到草房) 号线(北京 、6 、7 西站到垡头) 号线(白石桥到北京西站) 、9 、14 号线(卢沟桥到望京) 、亦庄轻轨。 二、背景和建模目的 地铁 5 号线开通从 7 日开通至 15 日,地铁 5 号线已运送乘客 338.3 万人次,平均每日 37.6 万 人次, “从统计上看,早晚高峰时客流方向比较集中,早高峰进城人多,晚高峰出城的多。 5 号线 ” 在周一和周五的客流量最多,12 日和 15 日均超过了 40.5 万人次。 北京地铁 5 号线南起宋家庄站,北至天通苑北站,线路全长 27.6 公里,设车站 23 座,是首条贯穿 京城南北的地下交通大动脉。地铁 5 号线开通试运营首日以最小运行间隔 4 分钟、与原有线路运营 时间同步和实现便捷换乘,实现了高水平开通试运营。 2006 年安全运送乘客 7.689 亿人次, 同比增长 13.11%全年开行列车 497812 列, 同比增长 6.13%。 公司年票款收入突破 11 亿元 北京地铁运营公司负责人 16 日称, 10 月 7 日实行全路网 2 元通乘的新票制票价后的一周内, 在 地铁 1、2、13 号线和八通线四条既有线路的客运量增加了 30%,其中八通线增加了 47%,13 号线增 加了 36%。 (10 月 17 日《北京晨报》 ) 调查显示,2004 年、2005 年、2006 年,本市地铁运营的每人次运营成本分别为 3.04 元、3.02 元和 2.84 元。5 号线地铁于 10 月 7 日开通后,每人次运营成本升至约 3.25 元。因此地铁全网统一 票价下调为 2 元后,平均每人次运营亏损额约 1.25 元。 (参考文献:1、北京晚报 2、新京报 3、北京地铁公司网站 4、北京日报) 三、采样与假设 采样 1:2008 年 11 月 27 日星期四 17:30,五号线一节车厢 站 上 学生 成人 站 上 学生 成人 站 上 学生 成人 站 上 15 16 26 12 35 5 30 16 6 1 5 16 10 12 30 4 2 13 5 3 5 13 3 0 3 14 7 2 20 14 10 1 9 15 20 1 19 17 6 15 23 3 5 16 6 1 5 15 27 0 27 总 26 2 24 总 32 17 5 0 2 总 75 6 69 18 4 2 65 总 80 15

采样 2:2008 年 11 月 28 日星期五 18:13,五号线一节车厢

采样 3:2008 年 11 月 29 日星期六 18:47,五号线一节车厢

采样 4:2008 年 11 月 30 日星期日 16:54,五号线一节车厢

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学生 成人 站 上 学生 成人 站 上 学生 成人 站 上 学生 成人 站 上 学生 成人 采样号 上 学生 成人 1 80 15 65 15 17 1 16

3 13 15 26 2 24 17 10 4 6 18 4 1 3

1 9 16 7 0 7 18 2 0 2 17 8 0 8 16 2 0 2

0 6 17 6 0 6 总 12 4 8 16 5 0 5 17 7 0 7 5 39 2 37 6 12 4 8 7 17 1 16

4 28 总 39 2 37

采样 5:2008 年 12 月 1 日星期一 18:25,五号线一节车厢

采样 6:2008 年 12 月 2 日星期二 18:32,五号线一节车厢

采样 7:2008 年 12 月 3 日星期三 18:40,五号线一节车厢 总 17 1 16 总 26 1 25 8 26 1 25 总 307 35 272

采样 8:2008 年 12 月 4 日星期四 18:53,五号线一节车厢

采样汇总:学生/成人=35/272 2 75 6 69 3 26 2 24 4 32 4 28

采样 A:2008 年 11 月 28 日星期五 18:11 人数 17 人数 10 人数 12 采样汇总:刷卡/买票=7/6 A 人数 刷卡人数 买票人数 17 10 7 B 10 4 6 C 12 7 5 总 39 21 18 刷卡人数 10 刷卡人数 4 刷卡人数 7 买票人数 7 买票人数 6 买票人数 5

采样 B:2008 年 12 月 2 日星期二 18:31

采样 C:2008 年 12 月 4 日星期四 18:50

假设一:采样具有一般性,能够代表实际乘地铁的人数情况。
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假设二:按采样,假设乘地铁的人有学生、外来人口及老人。 假设三:按不同情况进行分析。 1.现行方案 A:所有人,不管有卡还是买票都是 2 元。 2.假设方案 B:学生为成人的一半为 1 元,其他 2 元。 3.假设方案 C:有卡的为两元,买票的为 3 元。 4.假设方案 D:学生 1 元,成人有卡 2 元,无卡 3 元。 假设四:私家车增多、小公汽、公共汽车改道等情况对现在地铁五号线的运营的次要影响不予考虑。 四、建模及模型分析 (一)建模 据调查:每人次运营成本约 3.25 元(作者:郭鲲) 方案 A:1.总人数=307 人,票价=2 元 平均票价:2 元 每人次亏损:3.25-2=1.25 元 方案 B:1.学生人数=35 人,2.成人人数=272 人 票价=1 元 票价=3 元 平均票价: (35×1+272×3)/(35+272)≈2.77 元 每人次亏损:3.25-2.77=0.48 元 方案 C:1.有卡人数=21 人,2.无卡人数=18 人 票价=2 元 票价=4 元 平均票价: (21×2+18×4)/(21+18)≈2.92 元 每人次亏损:3.25-2.92=0.33 元 方案 D:1.学生有卡人数=35 人, 2.成人有卡人数=254 人, 票价=1 元 票价=3 元 3.无卡人数=18 人 票价=4 元 平均票价: (35×1+254×3+18×4)/(35+254+18)≈2.95 元 每人次亏损:3.25-2.95=0.3 元 分析可知:实行 2 元票价对乘客受益很大,但是使地铁存在亏损现象,可能会提高票价。 (二)模型分析 调查显示,2004 年、2005 年、2006 年,本市地铁运营的每人次运营成本分别为 3.04 元、3.02 元和 2.84 元。5 号线地铁于 10 月 7 日开通后,每人次运营成本升至约 3.25 元。因此地铁全网统一 票价下调为 2 元后,平均每人次运营亏损额约 1.25 元。 (地铁·北京 — 北京地铁车迷在线社区) 以上 4 种方案,均呈现亏损状态,可见地铁的亏损已经十分严重了。而政府采取的措施就是补贴, 可能维持多久却是个问题。所以最简单最有效最快的解决亏损问题的方法就是提高票价。 五、结论及意义 由此,可以得出:地铁虽方便了市民的出行,但也使地铁存在大幅度亏损现象,原因如下: 1)据权威人士测算,由于在实行乘坐地铁 2 元这个措施后,2008 年轨道交通的收入是 13.3 亿元, 亏损 10.3 亿。政府每年都要补贴。 2)5 号线开通后,如果实行原来的价格,市民走进地铁站一次,平均需要花费 3.25 元交通费。因 此新票价相当于让市民每次乘地铁省 1.25 元。 3)随着入京人口的增多,乘坐地铁的人也会有所增长,直接影响收入情况,而现今,每多一人坐地 铁,就会亏损 100 元。 (作者:童曙泉,期刊名:北京日报) 总之,实行 2 元票价,极大地吸引了市民优先选择地铁,可是它也带来了许多问题。如若不提 高票价, 则会一直亏损下去, 所以提高票价在未来几年很可能实现。 而经过调查得知, 当票价为 3.25

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元时, 既不获利,也不呈现亏损状态。

简评北京主要路口交通状况及改进措施
北京首师大附中高一年级:马森 摘要:现如今北京车辆越来越多,主要路口天天暴堵,人民深受其苦。现测定红绿灯时间,观察周 边环境分析长安街附近两路口的交通状况,致堵原因,提出我设想的改进方案。 关键词:红绿灯,公交站,堵车。

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正文: 前言: 问题背景:红绿灯及公交车的出现,给交通以极大的便利。红绿灯让繁华都市的交通更加有秩序, 根据 1968 年联合国?道路交通及道路标志信号协定?,绿灯是通行信号,面对绿灯的车辆可通行、左 转、右转,除非另一种标志禁止某种转向,左右转弯车辆都必须让合法地正在路口内行驶的车辆和 过人行横道的行人优先通行。红灯是禁行信号,面对红灯的车辆必须在交叉路口的停车线后停车。 黄灯是警告信号,面对黄灯的车辆不能越过停车线,但车辆已十分接近停车线而不能安全停车时可 进入交叉路口。我国?道路交通安全法?也规定,黄灯亮时,若车前轮已过停车线则可继续通行,若 车前轮未过停车线则必须将车停在停车线后。城市公共交通最早出现在英国,1829 年伦敦出现了第 一辆公共马车,至今已有 180 年历史,期间公交事业经历了发展、兴旺、衰退和目前的复兴阶段。 但对现在人口和私家车数量都日益增长的北京市来说,一个红绿灯的设计或是公交车线路、车站的 位置都可能影响整条路的交通,本文探讨的就是这一问题。 研究价值:研究长安街路口的交通状况和拥堵原因,提出合理化建议,有助于改进交通,又因为长 安街沿线是北京的中心部位,更具有代表价值。 概括论文主要内容、研究结论: 长安街西单路口红绿灯设计较为合理,但西单路口往北的第一个路口红绿灯的设计欠合理,另外中 间有几个公交车站,严重阻碍交通。 使用方法: 恰表记下红绿灯的时间。 骑自行车绕路口一圈及路口周围 100 米,观察致堵原因。 询问交通协管员及路人。 主体: 长安街西单路口: 晚 (1). 路口平面图: 高 峰 拥 西单图书大厦 堵 西单文化广场

中国银行

易拥堵



中国光大银行









(2). 红绿灯时间(中午 12:00) 东西向(主) 红 绿 91s 90s 南北向(支) 100s 75s

车流量(一个绿灯内) 东西向 214 辆 (单向) 南北向 156 辆 (单向) (3). 分析 西单是北京的繁华区,因此这个路口是长安街沿线上的重要路口,在长安街交通上占有举足 轻重的地位。这个路口设计得较为合理,东西方向是长安街主干线,因此红灯稍短些,绿灯稍长些,
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在早晚高峰时间段便于车辆通行。对于南北方向,由南往北方向较为合理,路口南边道路很宽,且 车站不会阻碍交通,红灯时车辆较为分散,不会形成大规模拥堵现象,而路口北边由于有大面积的 商业区,车辆行人都很多,且道路狭窄,易造成堵车(具体原因谈到下个路口会讲到) ,绿灯时间稍 短有利于路口北车辆的疏散,这样由南向北不会太堵。而由北向南欠合理,一旦晚高峰到来,路北 道路宽,车少,红灯将大量车辆积压在狭窄的北边车道,导致晚 5:00 至 6:30 路口北车道上堵车 将近 500 米。这个路口的另一个问题是由东向西开的车辆右转时和直行的南北向车辆打架。这个路 口无论东西向还是南北向车流辆都非常大,有时右转车辆强行转弯,或是发生剐蹭,或导致大量南北 向车辆和东西向车辆被堵,严重时还有可能波及西单图书大厦前的小路口。 综述:这是个重点路口,交通信号灯时间及车站位置都较合理, 有四个平面立交,交通状况良好,只是晚高峰由北往南的车辆在路北易发生拥堵,以及由东向西的 右转处易拥堵 路人评价:大多数路人认为路口设计合理。 西单路口往北第一个路口: 路口平面图

堵 商场区
红绿灯时间(12:30) 南→北 红 绿 56s 68s 北→南 57s 68s



车 站

西单商场
东→西 100s 35s 西→东 95s 30s

分析 这个路口的设计不甚合理,情况也比较复杂,先从商场区旁边说起,南北方向就是西单路口往北的 这条路,上文已经说过南北方向的路非常窄,由南往北两条车道,由北往南两条车道,这条路从西 单路口往北第一个平面立交入口到该路口在早高峰的时候暴堵,经常是连动都动不了,原因之一就 是西单商场旁边的这个车站,这个车站设计的很不是位置,为什么说呢?由于建设北京城的需要, 西单商场占用了很大一块地方,导致这条道路被急剧压缩,这条路没有辅路,所以就导致车站被直 接设在主路上,而这又不是一路车进站,有五、六路,所以结果就是本来就窄的两条车道的其中一 条长时间被几辆大车牢牢占据,别的车根本不能走,而且不少司机还偷懒,大车司机进站前走左边 车道,要进站时才并到右边车道,可是狭窄的道路根本并不过去,这就导致后面的车经常动弹不得, 直接反映在道路上就是长达 500 米的车队,早高峰时还进场堵到西单路口,我想这也是西单路口南 北向绿灯短的原因吧。 另一个堵车原因就要归罪于路口的信号灯设置了,东西向的设置很人性化,由东向西的绿灯要长 5 秒,这是因为从东边左转的车辆经常很多,先开 5 秒绿灯让左转车先过避免堵塞,事实上这是在道 路狭窄的情况下很好用的办法,但是东西向的绿灯是在是太短了,这使晚高峰时由东往西的道路上 经常也要排二,三百米的长队,既然东西向的绿灯可以长 5 秒,我不明白为什么南北向的不行?事 实上不这样做的结果是容易加剧道路拥堵,早高峰时由南向北的两条车道一条被左转车占据,像由 北向南的直行车根本不肯让左转车,这就使左边车道上排着一大串左转车,而且还是有车辆快到路
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口才并线,这就使车站到路口的 300 米又变成了停车场,直接后果就是整条路都变成了停车场,给 赶早高峰的市民带来极大不便。 综述:本路口信号灯的设置极其有问题,早晚高峰都是一通狂堵,再加上一个不恰当的车站,使“西 单”在人民心中就意味着“堵车” 。 合理化建议: 西单路口:由北向南的绿灯应延长 5~10 秒,以便疏通晚高峰时北边过多的车辆。 西单路口往北的第一个路口:由南向北绿灯延长 5~10 秒, 或取消左转弯,这样可以使早晚高峰时的左转弯车先过,避免左转车和直行车卡住。东西向绿灯再 延长 10 秒。以便更好地疏通车辆。 对造成拥堵的车站的建议:这个车站应该是为了西单商场 而设计的,不过我还是认为应撤掉这个车站(改站) ,或者改到路口北边也可以,毕竟不应为商场而 毁掉长安街的交通。 反思与评价: 应用前景: 西单路口向北的第一个路口由北向南绿灯延长 10 秒应该很好办,东西向延长绿灯时间也不难, 但由于人们的需要和长久的习惯,撤掉车站可能有一定的难度,随之而来的就是另一路口的红绿灯 变化也有一定的难度。 问题: 由于时间仓促,我只在中午,在我家附近的长安街实验了一次,并没有在早晚高峰进行实验, 所得数据可能不是很有代表性,另外要彻底改善北京的交通,还应在其他拥堵路口,在不同时间进 行多次实验。 参考资料: 《道路交通那个及道路标志信号协定》 《道路交通安全法》

投篮中的数学问题
北京四中高一年级:毛天奇 指导老师:杨虎 摘要: 我是一名篮球运动爱好者。本文试图使用我们所学过的数学和物理知识,包括方程、函数、矢 量(向量)及 运动和力等,基于对定点远投空心篮运动过程的分析,建立初步的数学模形,并对出 手高度、投篮力的方向和角度进行分析,得出了提高投篮命中率的有关结果,可供训练时参考。 关键词:力 方向 矢量 函数 分解 篮球 前言:

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远投 3 分球在现代篮球比赛中十分重要。我是一个篮球投手,因此对投篮运动的分析很感兴趣, 在学习了有关数理知识后,试图用建立数学模型的方法,分析在某一距离投篮,手对球的作用力大 小方向如何,如何让人能够控制好出手力度,才能使篮球的命中率最大,从而使我们的训练和比赛 有科学的依据,而不只是靠运气。 对于定点远投,篮球出手高度、速度和角度是影响命中率的三大因素。本文在分析投蓝的运动学过 程的基础上,运用相关数学知识建立了定点远投空心篮的数学模型,讨论了各关键因素之间的关系, 并计算有关的数据。 主体 基本数据:篮球场长度为 28 米,宽 15 米,篮筐高 3.05 米,g 可取 10N/kg。篮球质量一般约为 0.6kg。 我们可以用平面代替立体,暂且不考虑三维的情况,即默认无侧面刮来的风。 那么可以建立 2 维直角坐标系对问题进行简化研究,如下图:

y

B

F

C

A

x o
图1

3.那么,我们可以进行有关于 A 点所施的力 F 的计算了。之前,为了计算简便,我们将受力时间 t 设为 0.1s(可以知道这一时间很短,为简化问题,设它为 0.1s) ,下面我们将在这一将球,其轨迹 和球筐中心抽象到同一平面内的坐标系中计算 F 和人与篮筐距离 L 及人跳起投篮时球的高度 h 之间 的关系。 解: 将 F 正交分解:设 F 与水平方向交角为 b。水平分力 F1,竖直分力 F2。F=ma (为过程简略部分省略单位) V (水平) F1/0.6kg×0.1s= F1/6 T=L/ V = (水平) (竖直) (F2-0.6kg×g) V = /0.6kg×0.1s= F2/6-1 (1) 2 又有 x=vt-1/2gt 2 3.05-h=V(竖直)× T-5T (2) 连立(1) (2)由 T=T 的关系可得: (F1=F×cosb F2=F×sinb) 2 2 2 tanb×L×F ×cos b-6L×F×cosb-180L

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F ×cos b =3.05-h -6L×cosb+ (36L ×cos b -2196L cos b+720 cos b×h×L +720tanb×cos b×L ) F= 6.1 cos b-2 cos b×h-2tanb×L×cos b b(min)=arctan (3.05-1.8)\L= arctan1.25/L(取不到) b∈(arctan5/24,∏/2) (实际可能在该域波动,但要有一定角度。 (不妨设 L=6 h=1.8, ) ) 将得到的函数输入几何画板中,得到的在定义域中的图像很明显单调递增。 (由于横坐标问题,用了 弧度制,对值域影响较大,它的图像看起来就像一条直线,其实不是。 )
8

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

1/2

2

2

2

6

4

2

-5

5

-2

图2 让我们继续扩展一些:如果有来自你左方或右方的风,不用害怕投不进,在前面的基础上在与刚刚 的平面垂直的平面中改变力的方向即可。简单来说,就是往和风向相反的方向用力投篮,这也就是 最基本的对于速度合成与分解的矢量三角形。 红:风的速度。蓝:球的速度。黑:构成矢量三角形的辅助向量。绿:对球力的方向,给球的速度。

图3

5.如果你愿意用这公式,在确定好你爱的出手角度后,不难得出一个确定的力,但是,对于力的大 小机体恐怕没有更好的概念,控制不好这个力,但是将 N 这个单位直观化不就好了?易知一个鸡蛋 重量为 0.5N,设置新的力的单位记为 JD,1JD 读作 1 鸡蛋力 1JD=0.5N。 得出力的值后,换算为鸡蛋力,力的大小就直观了,找几个鸡蛋举举看,感受一下,对于投篮力度 的掌握大有益处。 讨论

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下面我们对于上面推出的关系式作解释。作为投手,首先要确定自己的投篮的弧度,不忽略风, 若逆风投篮,由于弧度越大,相对球在空中时间越长,这样风对于球的影响也就越大,故应减小投 篮角度。反之亦可作类似论述。关系式是理想状况下的,忽略了风,因此,角度由你的喜好而定, 通过方程可求出两个值。都可以吗?显然不是,观察第一个图,有两点经过了篮筐的高度,我们要 的是右边的,由前面的式子可得,两个值选择大的那个值即可 这也是本关系式缺陷所在,要取舍一下。我们得到了一个函数,得到的结论告诉我们,在理想状况 下,你投篮角度越大,力度也要增大。这一研究得出的结论如果运用好,无疑可以将这门体育运动 变得更加理性化,让投手们对自己的投篮更有信心,而不是去求神拜佛。这一理论,将对于篮球教 学大有裨益。但是它不是万能的,除了上面提到的小缺陷外,这个结论忽略了实际中不可或缺的影 响因素,因此会有偏差,保证必进是不现实的,它只能增大进球概率。 注:本文没有引用任何专业的文献资料。工具: 《几何画板》

圆形广场的地下灯排布问题
北京十一学校高一年级:肖菁 摘要:本文为一个广场设计了安装地下灯的方案。本文通过构建理想模型,利用圆的半径、圆心角、 弓形面积及三角函数、反三角函数进行研究,综合美观、节约、光照率等问题,得到一个较合适的 方案。 关键词:地下灯排布、光照率、三角函数、圆 壹:问题的提出: 某将要修建的商业街欲在其中包含一个半径约为 11 米圆形广场,该广场的地下将安装数盏地下灯 (最好不超过 50 盏,不少于 30 盏) ,且希望这些地下灯排列有序,尽量不浪费光源(即它们的光照 面尽量不重叠,重叠率(=重叠面积/总面积)不要大于 2%) ,且不要有连续大片无光照区域(光照 率(=总光照面积/总面积)不要小于 80%) 。本文针对此,设计了一种方案。 贰:建立模型: 把该广场看作一个大圆,一个地下灯的光照面为一个小 圆。 叁:制定方案 在广场正中安装一盏灯,再按光照范围围绕它安装三圈 灯 。 设大圆半径为 R, r=R/7 为小圆半径。 取 即在大圆内有一 个 与 之同圆心的小圆,再围绕它放置三圈小圆,如图 1。 肆:研究计算:

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如图 2 设最外圈一个小圆对应以 O 为圆心,6r 为半径的圆的圆 心角为 a。 三角形 AO1O 中, tan(a/2)=r/6r=1/6, ∵tana=2tan(a/2)/ [ 1-tan (a/2)] , ∴tana=12/35,a≈18.92°, 360/18.92=19 余 0.52,∴最外圈安 19 盏灯较好。 同理,则如图 3 设从外数第二圈一个小圆对应以 O 为圆心,4r 为半径的圆的圆心角为 b。 三角形 BO2O 中, tan(b/2)=r/4r=1/4, 2 ∵tanb=2tan(b/2)/ [ 1-tan (b/2)], ∴tanb=8/15,b≈28.07°, 360/28.07=12 余 23.16, ∴从外数第二圈安 13 盏灯较 好。
2 [1][2]

同理,则如图 4 设从内数第二圈一个小圆对应以 O 为圆心,2r 为 半径的圆的圆心角为 c。 三角形 CO3O 中,tan(c/2)=r/2 r=1/2, ∵tanc=2tan(c/2)/ [ 1-tan (c/2)], ∴tanc=4/3,c≈53.13°, 360/53.13=6 余 41.22,∴从内 第二圈安 7 盏灯较好。 且从外数第二圈的小圆有互相 叠的部分,且为美观,使重叠部 均匀分布,则局部如图 5。 设一个重叠部分面积为 S1。如图 6。 sinb1=O2B1/O2O, ∴O2B1=O2O*sinb1, 其中 b1=360/(13*2),O2O=4r, ∴O2B1≈0.96r, ∴cosd= O2B1/ O2D≈0.96, d≈16.26°, 2 ∴S1/4=d∏r /360- O2B1* B1D/2 2 2 2 =d∏r /360- 0.5* O2B1 *tand≈0.0075r , 2 ∴13S1=0.39r , 同理从内数第二圈的小圆有互相重叠的部分,且为美观,使重叠部分均匀分布,则局部如图 7。
2

数 重 分

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设一个重叠部分面积为 S2。如图 8。 sinc1=O3C1/O3O, ∴O3C1=O3O*sinc1, 其中 c1=360/(7*2),O3O=2r, ∴O3C1≈0.87r, ∴cose= O3C1/ O3E≈0.87, e≈29.54°, 2 ∴S2/4=e∏r /360- O3C1*C1E/2 2 2 =e ∏ r /360- 0.5*O3C1 *tane ≈ 2 ∴7S2=1.21r ,

0.0433r ,

2

又 19+13+7+1=40(盏) , 2 2 2 2 光照面积=40*∏r -0.39 r -1.21r =(40∏-1.6)r , 2 2 光照率=(40∏-1.6)r /49∏r ≈80.6%, 2 2 2 重叠面积=0.39 r +1.21r =1.6 r , 2 2 重叠率=1.6 r /49∏r ≈1.0%, 综上所述,在半径为 R 的大圆内铺半径为 R/4 的小圆,共需 40 盏灯。其中,光照率约为 80.6%,重 2 2 叠率约为 1.0%。其中,R=11m,∏r ≈7.76m 。 伍:讨论分析: 本文通过构建理想模型,解决现实生活中的问题,考虑了多方面的因素。但由于对一些数据进行 近似处理,因而存在一定的误差,但此研究对类似的排布问题有着一定的参考和启发价值。 陆:结论&应用: 本文给该广场设计的方案是选用光照面积为 7.76 平方米的地下灯 40 盏。排布方式如下图 1, 外圈 19 盏,从外数第二圈 13 盏,从内数第二圈 7 盏, 中 间 一盏,其中间两圈中每圈相邻两灯的光照面有重叠。此 方 案 的光照率约为 80.6%,重叠率约为 1.0%。 此结论可应用于此广场的地下灯排布。同时,此研究思 路 也 可为其他的地下灯、地上路灯、凉亭、树木的排布(种 植)提 供参考借鉴。 另外,从节约考虑,使用此方案时可不同时开所有灯, 可 只 开其中某圈,或其他一部分灯,从而达到既节省又美观 的 效 果。 柒:参考文献: [1]人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学教材实验研究组 编著,普通高中课程标准实验教科 书 数学 必修四,2007 年 4 月 [2]乔家瑞 国运之 裘大彭 编著,超级高中数理化生公式定理,2007 年 9 月 附: 使用计算器计算反三角函数的方法:1.输入三角函数数值,2.按下第二功能键,再按下 sin(或 cos 或 tan)键,3.按输入(或等于)键,即可得角度(注:1、2 两步可颠倒,具体视自己的计算器而定) 。

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关于合适教室形状的探究
北京第九中学高二年级:马原 摘要:本文在保证听课质量、保护学生视力健康、满足目前班级平均人数上课需要前提下,通过数 学模型和几何分析方法,探讨了各种形状教室的最小面积要求、视听和采光效果,为教室形状的选 择提供基本的科学依据。同时,在探究过程中,也给出了桌椅的最佳排列,窗户的最佳面积分配方 案。 关键词:教室形状, 教室最佳面积, 声场分布, 采光系数。 1.引言: 记得刚升入高一步入北京四中的校园,我就被那新颖的正六边形教室所吸引,在这里上课的一年 里,也感受到了这种建筑布局带来的舒适。后来我了解到,国外的一些学校也采用了正六边形教室。 走访国内的多所学校,我发现大部分仍旧采用的是传统的矩形教室,有一部分使用了正方形教室。 那么,教室不同形状的原因是什么?而哪一种更合适呢? [1] [2] [3] 通过查阅资料,阅读了教育部发布的中小学校建筑设计规范 、房屋建筑学 中对讲演厅音响 [1] 效果要求,以及建筑采光设计标准 。这些资料对教室设计提出一些规定与评价标准。依照这些规 定和标准,我运用数学模型,作图计算分析各种形状教室的特点。本文的文章结构概述如下: 教室面积是教室设计中重要的经济因素, 本文第2节首先考虑在满足使用要求的前提下, 应尽量 提高空间利用率。将各项要求用不等式表达,通过求解不等式,得到在满足要求前提下,各种形状 教室所需的最小面积,相比而言,矩形教室所需面积最小。但是,正方形教室和正六边形教室能够 缩小最后一排学生与黑板的距离,具有更良好的视觉条件。 音质对听课质量的影响很大,本文第3节进行了音质分析。根据波的传播与反射原理,利用几何 画板,给出教室内声波的分布。由分布图可见,在矩形教室里,教室前方的声波密度比后方的大; 在正方形教室里, 前方与后方的声波密度分布的差异要小些; 正六边形教室的声波密度分布最均匀, 音质最好。 教室的自然采光效果影响学生视觉。本文第 4 节根据采光设计标准,分别计算各形状教室单侧采

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光和双侧采光的采光系数最低值 Cmin,。Cmin 越大,说明采光效果越好。计算结果表明,在窗户总 面积相同前提下,无论是单侧采光还是双侧采光,矩形教室的采光效果最好,而正方形教室和正六 边形教室的采光效果较为相近。 在最后一节,我总结了分析的结果,对教室形状选择有一定的帮助。 2、教室面积 教室面积是教室设计中重要的经济因素,在满足使用要求的前提下,应尽量提高空间利用率。 我通过设计合理的桌椅排列、教室布局,计算出各形状教室所需的最小面积,比较它们对面积的要 求,同时也作为后面声压、采光分析的教室面积和尺寸。 [1] 为了满足学生的活动范围、视线要求,按有关规范 有如下规定: 一、课桌椅的排距:小学不宜小于 850mm,中学不宜小于 900mm;纵向走道宽度均不应小于 550mm。 课桌端部与墙面(或突出墙面的内壁柱及设备管道)的净距离均不应小于 120mm。 二、前排边座的学生与黑板远端形成的水平视角不应小于 30°。 三、教室第一排课桌前沿与黑板的水平距离不宜小于 2000mm;教室最后一排课桌后沿与黑板的 水平距离: 小学不宜大于 8000mm, 中学不宜大于 8500mm。 教室后部应设置不小于 600mm 的横向走道。 假设:1、不考虑结构与施工的影响,教室均为形状规则的普通教室。 2、每间教室容纳 50 名学生、50 套桌椅。 3、课桌规格为 600mm×400mm,桌椅排拒为 900mm,纵向走道宽度为 550mm。 4、不采用 3 张桌子拼在一起的形式(因为中间的同学活动不便) ,为了减小面积,用尽量多地采用 2 张桌子合并的形式。 5、为美观,每排、每列不少于 2 套桌椅,桌椅排列应规则齐整。 2.1 矩形教室设计: (以下计算过程不保留,所得边长精确至 dm,面积保留 1 位小数) 为减小面积,应全部使用 2 张桌子合并的形式。 设教室开间为 a mm,进深为 b mm,每排 x 张合并桌子,共 y 排(a,b,x,y ? N * )

?a ? 2 ? 600x+550(x-1)+2 ?120 ? b ? 2000+900y+600 ? ? 2000+900y ? 8500 ? ? 2x(y-1) ? 50 ? 2xy ? 2y(x-1)<50 ? ?
解得: 2 当 x=4,y=7 时,有最小面积,开间 6700mm,进深 8900mm。S≈60.0m 经过在几何画板上排列作图,图 1(a,b),满足视角要求,符合条件。于是得到了矩形教室的最小面 积和最佳排列
6700mm 30

6700mm 30

8900mm

8900mm

(a)

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(b)

图 1 矩形教室最小面积、尺寸及桌椅最佳排列

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2.2 正方形教室设计 由于正方形教室的进深增大,所以可分两种情况讨论。 (1)全部使用 2 张桌子合并的形式。 教室开间、进深为 a mm,每排 x 张合并桌子,共 y 排(a,x,y ? N * )

?a ? 2 ? 600x+550(x-1)+2 ?120 ? a ? 2000+900y+600 ? ? 2000+900y ? 8500 ? ? 2x(y-1) ? 50 ? 2xy ? 2y(x-1)<50 ? ?
当 x=y=5 时, a≥8440 (2)在教室边侧有一单列,其余为 2 张桌子合并的形式。 设教室开间、进深为 a mm,每排 x 张合并桌子,共 y 排(a,x,y ? N * )

?a ? 2 ? 600x+550x+600+2 ?120 ? a ? 2000+900y+600 ? ? 2000+900y ? 8500 ? ? 2xy ? 50 ? 2xy+y ? 2x(y-1)+y-1<50 ? ?
解得: x=4,y=6 时,a 有最小值 8000 由于 2 个单列容纳的桌椅数与 1 个合并的列相同,但占用的面积会更多,同样多于 2 列的单列会被 合并的列或合并的列和 1 单列替代,所以不用再讨论。 2 综上,当 x=4,y=6 时,有最小面积,此时 a=8000mm S=64.0m 排列作图,图 2(a,b)满足视角要求,符合条件。于是得到了矩形教室的最小面积和最佳排列。 2.3 正六边形教室设计 由于正 8000mm 8000mm 六边形 30 30 教室不 像矩形 和正方 形那样 8000mm 8000mm 规整, 所 以每排 的桌椅 数都不 尽相同。 我采用 (b) (a) 的方法 图 2 正方形教室最小面积、尺寸及桌椅最佳排列 是先根 据桌椅的排数假设正六边形的边长,然后计算能容纳的最多桌椅数,若桌椅数少于 50 套,那么适当 增加边长,进行调整,使教室满足使用要求。 (为减小面积,应尽量多地使用 2 张桌子合并的形式。 ) 设共 y 排, 边长为 a,第 n 排有 xn 张合并课桌,

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因为 2000+900y≤8500(a,y ? N * ) 所以 y≤7 30 y=7,此时 a=5200 mm 设第 n 排有 xn 张合并课桌, w 图 3,对角线 m 前方与后方的桌椅分别于要满足 条件,因为前方桌椅每排数量限制因素是边缘的 m 与墙面保持一定距离,而后方桌椅的限制因素是 后 椅 与 墙 面 保 持 一 定 距 离 , w=a × 0 cos30 =4503.3,则 2000+900×2<w<2000+900× 图 3 正六边形教室 第三排恰通过对角线 m, 需同时满足两个条件。 0<n≤3 时 , (2 × 0 600+550)(x-1)+1200+240-[900(n-1)+2000]×tan30 ×2≤5200 0 3≤n≤7 时,(2×600+550)(x-1)+1200+240-[900(7-n)+600]×tan30 ×2≤5200 x1≤4 x2≤5 x3≤5 x4≤5 x5≤4 x6≤4 x7≤3

不同的 前桌脚 边缘的 3,

?

?x
n=1

7

n

≤30,此时可容纳 60 套桌椅,远大于所需的 50 张。

(2) y=6,此时 a=4700 mm w=a×cos30=4070.3,则 2000+900×2<w<2000+900×3, ? 第三排恰通过对角线 m, 需同时满足两个 条件。 0 0<n≤3 时,(2×600+550)(x-1)+1200+240-[900(n-1)+2000]×tan30 ×2≤4700 0 3≤n≤7 时,(2×600+550)(x-1)+1200+240-[900(6-n)+600]×tan30 ×2≤4700 x1≤4 x2≤4 x3≤5 x4≤4 x5≤3 x6≤3
5000mm

?x
n=1

6

n

≤23<25,不满足条件。

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若有 4700≤y’ ≤5200, 使教室满足使用要求, 由于第一排和最后一排分别受到视角和墙的 限制,所以应适当加大 2、3、4、5 排的课桌 数。为加大面积利用率,应使教室的中心通过 对角线 m,可估算,第三排应通过对角线。设 其被对角线平分。 x2=x4=5 时,y’ ≥5000.0 x3=6 时,y’ ≥5354.8 x5=4 时,y’ ≥4644.0 图 4 正六边形教室最小面积、尺寸及最佳 经作图验证和适当调整, 发现当 y’=5000.0mm 排列 2 时恰满足条件,如图 4,此时 S≈65.0m 当 y≤5 时,每排需容纳的桌椅数增多,教室边长会进一步增加,面积会进一步扩大 于是上述布局可得到正六边形教室的最小面积和最佳排列。 综上,在满足基本使用要求的前提下,矩形教室所需的面积最小,正方形教室次之,正六 边形教室所需面积最大,即要求最高。建筑用地的大小会限制教室形状的选择。但是,正方形 教室和正六边形教室能够缩小最后一排学生与黑板的距离,具有更良好的视觉条件。 3、 音质比较

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音质对听课质量的影响很大。按照房屋建筑学 中相关内容,讲演厅等对音质的主要要求是:语言 的清晰度和声场分布均匀。为此常利用墙面和顶棚做声的反射面,利用声音的反射来加强厅内声压 不足的部位、以达到声场分布的均匀。由于声能的反射遵从与光学反射相同的准则,所以可以通过 作图分析各形状教室声场分布是否均匀。 假设:1、各教室的墙面材料相同,即对声能的反射和吸收能力相同。 2、不考虑教室顶棚对声能的反射,而只考虑平面内声能的反射。 3、不考虑桌椅及教室其它构件对声音的作用,只考虑墙面的作用。 4、由于声能在反射的过程中会有所损耗,所以只考虑声能一次反射后的声场分布。最小面积 下 3 种形状教室的声场分布如图 5(a,b,c) : 分析: A 3 种形 状 的 教 室 中,反 8900mm 射 的 声 能 均 不 在 室 C F 内 聚 (c) (b) (a) 焦,声 场 比 图 5 声场分布 较 均 匀。比较后,发现矩形教室中,教室前方的声能比后方明显集中、空白较少,前方声场的密度比后 方大;正方形教室的前后差异没有矩形教室明显,更好些;正六边形教室的声场分布最均匀,前后 差异小,音质最好。
G H J I 8000mm B 6700mm 5000mm

[2]

4、采光效果 研究依据: [4] 根据建筑采光设计标准 ,采光标准的数量评价指标以采光系数 C 表示, 侧面采光取采光系数最低 值作为标准值。学校教室采光系数最低值的要求为 2.0% 侧面采光: Cmin= Cd′? Kτ ′? Kρ ′? Kw ? Kc 式中 Cd ′—侧窗窗洞口的采光系数,可按本标准第 5.0.5 条的规定取值; Kτ ′—侧面采光的总透射比; Kρ ′—侧面采光的室内反射光增量系数,可按本标准附录 D 表 D-5 的规定取值; Kw—侧面采光的室外建筑物挡光折减系数,可按本标准附录 D 表 D-6 的规定 取值 Kc—侧面采光的窗宽修正系数,应取建筑长度方向一面墙上的窗宽总和与建筑长度之比。 注:1.在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类光气候区(不包含北回归线以南的地区),应考虑晴天方向系数(Kf),可按本标 准附录 D 表 D-3 的规定取值。 计算点的确定:单侧采光时,计算点应定在距侧窗对面内墙面 1m 双侧采光时,用 B1=Ac1/(Ac×L/Ad)确定

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研究思路: [4] 根据建筑采光设计标准 ,学校教室的窗地面积比取标准 1/5。分别计算各形状教室单侧采光和双侧 采光的采光系数最低值 Cmin, Cmin 越大,采光效果越好。对于双侧采光,由于只知道窗户总面积, 不知道两侧窗户的面积,所以建立一侧窗户面积与 Cmin 的函数关系,取 Cmin 最大的情况,这种情 况下的窗户面积分配即为最佳分配。 设教室总面积为 A,教室开间为 L,进深为 b,正六边形教室边长为 a,窗户总面积为 Ac,双侧采光时南 向窗户面积为 Ac1, 北向窗户面积为 Ac2,窗高为 hc,窗户总宽度为 bc, 双侧采光时南向窗户窗总宽度为 bc1, 北向窗户窗总宽度为 bc2。计算点与窗户距离为 B, 双侧采光时与南北向窗户距离分别为 B1,B2。 假设:1、教室均为单跨. 2、为增强采光效果,更符合现在大多数学校的教室朝向,教室采用南北朝向,单侧采光窗南向,双 侧采光窗南向和北向。 3、窗户采用普通玻璃,查表得:t=0.8;铝窗、单层窗,tc=0.75;窗户垂直清洁,tw=0.9。 所以 Kτ ′= t ? tc? tw=0.54 4、教室内的平均反射比ρ 取 0.5(可参见标准) 5、教室外无遮挡,即 Kw=1.00 6、取纬度 40 度时的晴天方向系数,南向时,Kf =1.55,北向时,Kf =1.00 7、窗高统一为 2m(走访的多所学校的窗户高度在 2m 左右。) 相关数据: 在建筑采 表1 光设计标 [4] 准 中, K ′ 与 ρ B/hc 有上 表 1 的关 系: 当 ρ =0.5 时,为便 于 使 用,我 图6(a).单侧采光时Kp'与B/hc的函数关系 图6(b).双侧采光时Kp'与B/hc的函数关系 用 f(x) = -0.1464x2 + 1.4336x + 0.4 f'(x) = -0.0893x2 + 0.8907x + 0.24 2 R = 0.9995 Excel R2 = 0.9992 4.5 3 4 对数据 3.5 2.5 进行逆 Kp 3 Kp 2 多项式 (Kp) 2.5 合,得 多项式 (Kp) 1.5 2 到了 K 1.5 1 1 ρ ’ 与 0.5 0.5 B/hc B/hc B/hc 的 0 0 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 函数关 系,如 图 6(a,b):
Kp'

Cd’与 B/hc 有图 7 的关系:

Kp'

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当 L=b,时,Cd’(%)与 B/hc 的函数关系如图 8

2.3.1 矩形教室采光效果(以下结果均保留 2 位有效数字) 2 Ac=1/5A=1/5×60=12m 2 bc=Ac/hc=6m 2.3.1.1 单侧采光 根据《建筑采光设计标准》, 单侧采光时,计算点应定在距侧窗对面内墙面 1m 所以 B=b-1=5.7m B/hc=5.7/2=2.85 2 Kp’=f(2.85)=-0.1464×2.85 +1.4336×2.85+0.4=3.30 L/b=8.90/6.70=1.33, 在侧面采光计算图 N 表中近似取为 L=1b 4 3 2 Cd’=g(2.85)=0.1196×2.85 -1.6982×2.85 +8.9857×2.85 -21.509×2.85+20.772/100=1.04% Kc=bc/L=6/8.9=0.67 Cmin= Cd′? Kτ ′? Kρ ′? Kw ? Kc ?Kf =1.04%×0.54×3.30×1×0.67×1.55=1.9% 2.3.1.2 双侧采光 南向窗宽为 bc1(0<bc1<6),则北向窗宽为 bc2 bc2=6-bc1 =Ac1/( Ac×L/A)=bc1×b/bc= bc1×6.7/6 B2=Ac2/( Ac×L/A)=bc2×b/bc=(6-bc1)×6.7/6 令 x1= B1/hc= bc1×6.7/12, x2= B2/hc=(6-bc1)×6.7/12 Kc1=bc1/L= bc1/8.9 Kc2=bc2/L=(6-bc1)/8.9 Cmin=Cmin1+Cmin2 =[g(x1)/100] × 0.54 × f’(x1) × 1 × (bc1/8.9) × 1.55+[g(x2)/100] × 0.54 × f’(x2) × 1 × [(6-bc1)/8.9]×1
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在几何画板中作出 Cmin 与 bc1 的函数关系图象并取出定义域中的最大值,如图 9(a,b)

(a) 图 9 矩形教室双侧采光曲线

(b)

当 bc1 在[2.13,3.58]内,Cmin 可取到最大值 2.0%,此时晴天和阴天时,均满足《标准》中采光系数最 低值要求。 2.3.2 正方形教室采光效果 2 Ac=1/5A=1/5×64=12.8m 2 bc=Ac/hc=6.4m 2.3.2.1 单侧采光 与矩形教室单侧采光同理, 有 Cmin= Cd′? Kτ ′? Kρ ′? Kw ? Kc ?Kf =0.7%×0.54×3.62×1×0.8×1.55=1.70% 2.3.2.2 双侧采光 令 x1= B1/hc= bc1×0.625, x2= B2/hc=(6.4-bc1)×0.625 Cmin=Cmin1+Cmin2 =[g(x1)/100]×0.54×f’(x1)×1×(bc1/8)×1.55+[g(x2)/100]×0.54×f’(x2)×1× [(6-bc1)/8] ×1 在几何画板中作出 Cmin 与 bc1 的函数关系图象并取出定义域中的最大值,如图 10(a,b)
30 28 26 24

f?x? = -0.0893?x2+0.8907?x+0.24 g?x? = ???0.1196?x4-1.6982?x3?+8.9857?x2?-21.509?x?+20.772 h?x? = x?0.625 q?x? = ?6.4-x??0.625

22

20

18

r?x? =

??

g?h?x?? 100

?

?0.54?f?h?x???1?x 8

?

?1.55+

??

g?q?x?? 100

?

16

?0.54?f?q?x???1??6.4-x?
14

8
12

?

?1

1m G
C:(1.717,0.019) D:(3.318,0.019) C
0.5
5 10 1 15

10

m

F

8

6

4

2

D
25

-25

-20

-15

-10

-5

1.5

20

2

30

2.5

3

3.5

4

4.5

-2

(a) 图 10 正方形教室双侧采光曲线

(b)

当 bc1 在

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[1.72,3.32]内,Cmin 可取到最大值 1.9%,此时晴天时, 满足 《标准》 中采光系数最低值要求。阴天时, 不满足采光系数最低值要求。 2.3.3 正六边形教室采光效果 2 Ac=1/5A=1/5×65=13m 2 bc=Ac/hc=6.5m 图 11 单侧采光简图 2.3.3.1 单侧采光 由于正六边形的窗户存在一定角度,为计算方便,设两面墙 上的窗户面积 相同,bc’=3.75m. 根据标准, 单侧采光时,计算点应定在距侧窗对面内墙面 1m,所以计算点取对角线 m 上距距侧窗对 面内墙面均为 1m 的位置 F 上。如图 11.由于两窗的采光效果完全相同,所以可先计算一个窗户的采 光系数最低值,乘 2 即可。 Cmin= 2×Cd′? Kτ ′? Kρ ′? Kw ? Kc ?Kf =2×0.53%×0.54×3.74×1×0.5×1.55=1.7% 2.3.2.2 双侧采光 南向窗户总宽为 bc1(0<bc1<6.5),则北向窗户总宽为 bc2,设两侧的窗户面积分别相等。由于计算点 并不固定,所以双侧采光可以按两侧总面积计算,而不用分别带入每个窗户的面积,最终结果不变。 bc2=6.5-bc1 令 x1= B1/hc= bc1×0.665, x2= B2/hc=(6.5-bc1)×0.665 Cmin=Cmin1+Cmin2 =[g(x1)/100] × 0.54 × f’(x1) × 1 × (bc1/7.5) × 1.55+[g(x2)/100] × 0.54 × f’(x2) × 1 × [(6-bc1)/7.5]×1 在几何画板中作出 Cmin 与 bc1 的函数关系图象并取出定义域中的最大值,如图 10(a,b)
30

f?x? = -0.0893?x2+0.8907?x+0.24

28

26

g?x? = ???0.1196?x4-1.6982?x3?+8.9857?x2?-21.509?x?+20.772
24 22

h?x? = 0.665?x q?x? = ?6.5-x??0.665

20

18

16

14

r?x? =

??
-30

g?h?x?? ?0.54?1?f?h?x???x 100 7.5

?

?

?1.55+

??
-5

g?q?x?? ?0.54?1?f?q?x????6.5-x? 100 7.5
10 8 6 4

12

?

?
1

?1

C:(1.654,0.019) D:(2.722,0.019) C D
1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6

2

-45

-40

-35

-25

-20

-15

-10

5

10

0.8

15

20 1.2

1.4

25

1.6

-2

-4

(a)

-6

(b)

-8

图11正六边形教室双侧采光曲线

当 bc1 在[1.65,2.72]内,Cmin 可取到最大值 1.9%,此时晴天时,满足《标准》中采光系数最低值要求。 阴天时,不满足采光系数最低值要求。 综上,无论是单侧采光还是双侧采光,矩形教室的采光效果最好,而正方形教室和正六边形教室的 采光效果较为相近,若要达到采光标准,还需采取一些措施,如:增大创洞口面积、采用透射性能 更好的玻璃等。其实,在实际生活中,为了更好地采暖和其他因素,常增大南向窗户的面积,所以 各教室的采光系数最低值可能达不到计算值,需要再采取措施。上面的分析与计算还只是对采光效 果初步的探究,具体操作还需练习生活和多种因素。
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3.结论分析 通过上述探讨,我发现 3 种形状的教室其实各有千秋,正方形教室和正六边形教室对面积的要 求相对较高,对于面积较小的校园,矩形教室更为适用。正六边形教室拥有最好的视听效果,正方 形教室次之,对听课质量和视力健康都很有帮助。在采光方面,矩形教室较好,正方形教室和正六 边形教室最好采用双侧采光或采取一些其他措施,保证自然光线的充足。实际设计时,还要考虑其 他相关因素。

参考文献:
[1] [2] [3] [4] 中小学校建筑设计规范(GBJ99-86)[S]. 刘建荣、龙世潜主编.房屋建筑学[M]. 中央广播电视大学出版社,1984年9月. 郑忱主编.房屋建筑学[M]. 中央广播电视大学出版社,1994年2月第一版.. 建筑采光设计标准 (GB/T 50033-2001)[S].

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