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高中数学第三章三角恒等变形28 二倍角习题课练习 北师大版

28 二倍角习题课

时间:45 分钟 满分:80 分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题:(每小题 5 分,共 5×6=30 分)

1.若 π <α <2π ,则化简 1-

α -π 2

的结果是(

)

A.sinα2

B.cosα2

C.-cosα2 D.-sinα2 答案:C

解析:∵π <α <2π ,∴π2 <α2 <π ,∴cosα2 <0,原式= 故选 C.

1+cosα 2

=???cosα2

???=-cosα2

.

2.若 cos2α
sin???α -π4

=-
???

22,则

cosα

+sinα

的值为(

)

A.-

7 2

B.-12

C.12

D.

7 2

答案:C

解析:方法一:原式左边=-sisni???nπ2???π- 4 -2αα

??? ???

=2sin???π-4 - siαn???π???4c-os???απ4???-α ???

=-2cos???π4 -α ???

=- 2(sinα +cosα )

=-

2 2

∴sinα +cosα =12,故选 C.

方法二:原式=

cos2α -sin2α

sinα ·cosπ4 -cosα ·sinπ4



α -sinα

α +sinα

2 2

α -cosα

=- 2(sinα +cosα )

=-

2 2

∴cosα +sinα =12,故选 C.

3.若 θ ∈???π4 ,π2 ???,sin2θ =3 8 7,则 sin(5π -θ )=(

)

A.34

B.

7 4

C.34或

7 4

D.-34

答案:A

解析:解法一:因为 θ ∈???π4 ,π2 ???,所以 2θ ∈???π2 ,π ???.又 sin2θ =3 8 7,所以 cos2θ

=- 1-sin22θ =-

1-???3 8 7???2=-18,所以 sin(5π -θ )=sinθ =

1-cos2θ 2



1+2 18=34.故选 A.

解法二:因为 sin2θ

37 = 8 ,所以 2sinθ

cosθ

37 = 8 ,即 sinθ

cosθ

37 = 16 .又

sin2θ

+cos2θ

=1,所以 sin2θ

cos2θ

=sin2θ

(1-sin2θ

9×7 )= 162 ,即

sin4θ

-sin2θ

9×7 + 162 =0,

解得 sin2θ =196或 sin2θ =176.又 θ ∈???π4 ,π2 ???,所以 22≤sinθ ≤1,所以 sinθ =34.所以
sin(5π -θ )=sinθ =34,故选 A. 4.已知 cos2α -cos2β =a,那么 sin(α +β )·sin(α -β )等于( ) A.-a2 B.a2
C.-a D.a
答案:C
解析:方法一:sin(α +β )sin(α -β ) =(sinα cosβ +cosα sinβ )(sinα cosβ -cosα sinβ ) =sin2α cos2β -cos2α sin2β =(1-cos2α )cos2β -cos2α (1-cos2β ) =cos2β -cos2α =-a,故选 C. 方法二:原式=-12(cos2α -cos2β )

=-12(2cos2α -1-2cos2β +1)

=cos2β -cos2α =-a.

5.在△ABC 中,若 sinBsinC=cos2A2,则△ABC 是(

)

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 答案:B 解析:∵sinBsinC=cos2A2,∴sinBsinC=1+2cosA,即 2sinBsinC=1-cos(B+C), 2sinBsinC=1-cosBcosC+sinBsinC, 即 cosBcosC+sinBsinC=1,∴cos(B-C)=1,∴B-C=0,∴B=C.

6.在△ABC 中,若 B=30°,则 cosAsinC 的取值范围是( )

A.[-1,1] B.???-12,12??? C.???-14,34??? D.???-34,14???
答案:C

解析:cosAsinC=12[sin(A+C)-sin(A-C)]=14-12sin(A-C),

∵-1≤sin(A-C)≤1,∴cosAsinC∈???-14,34???.
二、填空题:(每小题 5 分,共 5×3=15 分)

7.若 θ

∈???5π4

,3π2

???,sin2θ

37 = 8 ,则

sinθ

的值为________.

3 答案:-4

解析:因为 θ ∈???54π ,3π2 ???,所以 2θ ∈???52π ,3π ???,cos2θ <0,所以 cos2θ =-

1-sin22θ =-18.又 sinθ =-

1-cos2θ 2

=-

1-???2-18???=-34.

8.sin110°-sin830°的值为__________. 答案:4

解析:原式=sin110°-cos130°=coss1i0n°10-°co3ss1i0n°10°=

+ 12sin20°

=4.

9.已知 α 、β

均为锐角,且 tanβ

=ccoossαα

-sinα +sinα

,则 tan(α

+β

)=__________.

答案:1

解析:tanβ

=ccoossαα

-sinα +sinα

=11- +ttaannαα

=tan???π4

-α

???,

∵π4 -α ,β ∈???-π2 ,π2 ???且 y=tanx 在???-π2 ,π2 ???上是单调增函数,

∴β =π4 -α ,∴α +β =π4 ,∴tan(α +β )=tanπ4 =1.

三、解答题:(共 35 分,11+12+12)

10.证明:cos27π +cos47π +cos67π =-2sin1π2cosπ12.

解析:左边=2si1nπ7 ·

???2sinπ7 cos2π7 +2sinπ7 cos4π7 +2sinπ7 cos6π7 ???

=1 2sinπ7

??????sin37π

-sinπ7

???+

???sin57π -sin37π ??????sin7π7 -sin5π7 ??????

=2si1nπ7 ???sinπ -sinπ7 ???

=-12,

右边=-sinπ6

1 =-2,因为左边=右边,所以原等式成立.

11.已知函数 f(x)=sin???x+74π ???+cos???x-34π ???,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值;
(2)已知 cos(β -α )=45,cos(β +α )=-45,0<α <β ≤π2 ,求 f(β ).

解析:(1)f(x)=sinxcos7π4 +cosxsin7π4 +cosxcos3π4 +sinxsin3π4 = 2sinx- 2

cosx=2sin???x-π4 ???, 所以最小正周期 T=2π ,f(x)min=-2.
4 (2)cos(β -α )=cosβ cosα +sinβ sinα =5, ①

cos(β +α )=cosβ cosα -sinβ sinα =-45. ②

①+②,得 cosα cosβ =0, 于是由 0<α <β ≤π2 ,得 cosβ =0,β =π2 .

故 f(β )=2sin???π2 -π4 ???= 2. 12.已知向量 a=(1,- 3),b=(sinx,2cos2x2-1),函数 f(x)=a·b.

2cos2θ2 -sinθ -1

(1)若 f(θ )=0,求

的值;
2sin???θ +π4 ???

(2)当 x∈[0,π ]时,求函数 f(x)的值域.

解析:(1)∵a=(1,- 3),b=???sinx,2cos2x2-1???,

∴f(x)=a·b=sinx- 3???2cos22x-1???=sinx- 3cosx.

∵f(θ )=0,即 sinθ - 3cosθ =0,

∴tanθ = 3,

∴2cos22sθ2in-???θsi+nθπ4-??? 1=csoisnθθ

-sinθ +cosθ

=1ta-ntθa+nθ1=1-3+31=-2+

3.

(2)f(x)=sinx- 3cosx=2sin???x-π3 ???, ∵x∈[0,π ],∴x-π3 ∈???-π3 ,23π ???,

当 x-π3 =-π3 ,即 x=0 时,f(x)min=- 3;

当 x-π3 =π2 ,即 x=56π 时,f(x)max=2, ∴当 x∈[0,π ]时,函数 f(x)的值域为[- 3,2].



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