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北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)及答案


学年度第一学期期末试卷高三数学 文科) 高三数学( 北京市西城区 2011 — 2012 学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)
2012.1

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.复数 i ? (1 + i) = ( (A) 1 + i

) (B) 1 ? i (C) ?1 + i (D) ?1 ? i

2.若向量 a = ( 3,1) , b = (0, ?2) ,则与 a + 2b 共线的向量可以是( (A) ( 3, ?1) (B) ( ?1, ? 3) (C) ( ? 3, ?1)

) (D) ( ?1, 3)

3.下列函数中,既是偶函数又在 (0, +∞) 单调递增的函数是( (A) y = ?



1 x

(B) y = e| x| (D) y = cos x

(C) y = ? x 2 + 3

4. “直线 l 的方程为 x ? y = 0 ”是“直线 l 平分圆 x + y = 1 的周长”的(
2 2



(A)充分而不必要条件 (C)充要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

5.一个几何体的主视图和左视图如图所示,则这个 几何体的俯视图不可能是( ... )
主视图 左视图

(A)

(B)

(C)

(D)

6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( (A) 3 (B) ?6 (C) 10 (D) ?15



7.已知 a > b > 0 ,给出下列四个不等式: ① a >b ;
2 2

② 2a > 2b?1 ; ③ )

a ? b > a ? b ; ④ a 3 + b 3 > 2a 2b .

其中一定成立的不等式为( (A)①、②、③ (C)①、③、④

(B)①、②、④ (D)②、③、④

8.有限集合 P 中元素的个数记作 card( P ) .已知 card( M ) = 10 , A ? M , B ? M ,

A I B = ? , card( A) = 2 , 且 card( B ) = 3 .若集合 X 满足 X ? M , A ? X ,B ? X , 且
则集合 X 的个数是( (A) 672 )

(B) 640

(C) 384

(D) 352

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.函数 f ( x) =

共 110 分)

log 2 x 的定义域是______.

10.双曲线

x2 y 2 ? = 1 的一个焦点到其渐近线的距离是______. 16 9
3

11.若曲线 y = x + ax 在原点处的切线方程是 2 x ? y = 0 ,则实数 a = ______. 12.在△ ABC 中,三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .若 b =

5 , ∠B =

tan C = 2 ,则 c = ______.
13.已知 {an } 是公比为 2 的等比数列,若 a3 ? a1 = 6 ,则 a1 =

π , 4



1 1 1 + 2 + L + 2 = ______. 2 a1 a2 an

? x ≤ 2, ? 14.设 λ > 0 ,不等式组 ?λ x ? y ≥ 0, 所表示的平面区域是 W .给出下列三个结论: ? x + 2λ y ≥ 0 ?
① 当 λ = 1 时, W 的面积为 3 ; ② ?λ > 0 ,使 W 是直角三角形区域; ③ 设点 P ( x, y ) ,对于 ?P ∈ W 有 x +

y

λ

≤4.

其中,所有正确结论的序号是______.

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = (Ⅰ)求 f (

π 3 sin 2 x + sin x cos x , x ∈ [ , π] . 2

2π ) 的值; 3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值.

16.(本小题满分 13 分) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个, 对其等 级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率

1 0.05

2

3 0.15

4 0.35

5

m

n

(Ⅰ)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m, n ; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零 件等级恰好相同的概率.

17. (本小题满分 14 分) 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2 , D 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证: AD ⊥ 平面 B1 BCC1 ; (Ⅱ)求证: A1 B ∥平面 ADC1 ; (Ⅲ)求三棱锥 C1 ? ADB1 的体积.

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) =

1 2 ax + ln x ,其中 a ∈ R . 2

(Ⅰ)求 f (x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f (x ) 在 (0,1] 上的最大值是 ?1 ,求 a 的值.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 1 + 2 = 1 (a > b > 0) 的一个焦点是 F (1, 0) ,且离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M , N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点

P (0, y0 ) ,求 y0 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 已知数列 An : a1 , a2 , L , an .如果数列 Bn : b1 , b2 , L , bn 满足 b1 = an , bk = ak ?1 + ak ? bk ?1 , 其中 k = 2,3, L , n ,则称 Bn 为 An 的“衍生数列”. (Ⅰ)写出数列 A4 : 2,1, 4,5 的“衍生数列” B4 ; (Ⅱ)若 n 为偶数,且 An 的“衍生数列”是 Bn ,证明: bn = a1 ; (Ⅲ)若 n 为奇数,且 An 的“衍生数列”是 Bn , Bn 的“衍生数列”是 Cn ,….依次将数 列 An , Bn , Cn ,…的首项取出,构成数列 ? : a1 , b1 , c1 , L . 证明: ? 是等差数列.

北京市西城区 2011 — 2012 学年度第一学期期末

高三数学(文科)参考答案及评分标准 (文科)
2012.1 小题, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 1. C; 2. D; 3. B; 4. A; 5. D; 6. C ; 7. A; 8. A .

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 9. {x | x ≥ 1} ; 12. 2 2 ; 10. 3 ; 13. 2 , (1 ? 4 ) ; 11. 2 ;

1 3

?n

14. ①、③.

题多选、少选、错选均不给分. 注:13 题第一问 2 分,第二问 3 分;14 题多选、少选、错选均不给分. 小题, 若考生的解法与本解答不同, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分 解答题: 标准给分. 标准给分. 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f (

2π 2π 2π 2π 3 3 3 3 ) = 3 sin 2 + sin cos = ? = . 3 3 3 3 4 4 2 3 1 π 3 ( ? cos2x + sin 2 x = sin(2 x ? ) + 1 ) . 2 2 3 2
π 2 π 5π ∈[ , ] . 3 3 3

………………4 分

(Ⅱ)解: f ( x ) =

………………8 分

因为 x ∈ [ , π] ,所以 2 x ? 当 2x ? 当 2x ?

π 2

………………9 分

π 2π π = ,即 x = 时, f (x ) 的最大值为 3 ; 3 3 2 π 3π 11π 3 = ,即 x = 时, f ( x ) 的最小值为 ?1 + . 3 2 12 2

………………11 分

………………13 分

16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由频率分布表得 即 m + n = 0.45 . 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个, 得 n=

0.05 + m + 0.15 + 0.35 + n = 1 ,
………………2 分

2 = 0 .1 . 20

………………4 分 ………………5 分

所以 m = 0.45 ? 0.1 = 0.35 .

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1 , x2 , x3 ;等级为 5 的零件有 2 个, 记作 y1 , y2 . 从 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为:

( x1 , x2 ), ( x1 , x3 ), ( x1 , y1 ), ( x1 , y2 ), ( x2 , x3 ), ( x2 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y1 ), ( x3 , y2 ), ( y1 , y2 )
共计 10 种. ………………9 分

记事件 A 为“从零件 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取 2 件,其等级相等”. 则 A 包含的基本事件为 ( x1 , x2 ), ( x1 , x3 ), ( x2 , x3 ), ( y1 , y2 ) 共 4 个. ………………11 分 故所求概率为 P ( A) =

4 = 0.4 . 10

………………13 分

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱, 所以 CC1 ⊥ 平面 ABC . 又 AD ? 平面 ABC , 所以 CC1 ⊥ AD . ………………3 分

因为 △ ABC 是正三角形, D 是 BC 的中点, 所以 BC ⊥ AD , 所以 AD ⊥ 平面 B1 BCC1 . (Ⅱ)证明:连结 A1C ,交 AC1 于点 O ,连结 OD . 由 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱, 得 四边形 ACC1 A1 为矩形, O 为 A1C 的中点. 又 D 为 BC 中点,所以 OD 为 △ A1 BC 中位线, 所以 A1 B ∥ OD , 因为 OD ? 平面 ADC1 , A1 B ? 平面 ADC1 , 所以 A1 B ∥平面 ADC1 . (Ⅲ)解:因为 VC1 ? ADB1 = V A? B1DC1 , ………………10 分 ………………12 分 ………………8 分 ………………4 分 ………………5 分

所以 VC1 ? ADB1 =

1 2 3 S?B1DC1 ? AD = . 3 3

………………14 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f ′( x) =

ax 2 + 1 , x ∈ (0, +∞) . x

………………3 分

当 a ≥ 0 时, f ′( x ) > 0 ,从而函数 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增. 当 a < 0 时,令 f ′( x ) = 0 ,解得 x = 此时, f ( x ) 与 f ′( x ) 的情况如下:

………………4 分

?

1 1 ,舍去 x = ? ? . a a

………………5 分

x
f ′( x) f ( x)

1 (0, ? ) a

?
0

1 a

1 ( ? , +∞ ) a
?

+


1 f( ? ) a



所以, f ( x ) 的单调增区间是 (0, ?

1 1 ) ;单调减区间是 ( ? , + ∞) .…………7 分 a a
a . 2

(Ⅱ)① 当 a ≥ 0 时,由(Ⅰ)得函数 f (x ) 在 (0,1] 上的最大值为 f (1) = 令

a = ?1 ,得 a = ?2 ,这与 a ≥ 0 矛盾,舍去 a = ?2 . 2

………………9 分

② 当 ?1 ≤ a < 0 时, ?

1 a ≥ 1 , (Ⅰ) 由 得函数 f (x ) 在 (0,1] 上的最大值为 f (1) = . a 2
………………10 分



a = ?1 ,得 a = ?2 ,这与 ?1 ≤ a < 0 矛盾,舍去 a = ?2 . 2

③ 当 a < ?1 时, < 0

?

1 1 < 1 , (Ⅰ) 由 得函数 f (x ) 在 (0,1] 上的最大值为 f ( ? ) . a a

令 f( ?

1 ) = ?1 ,解得 a = ?e ,适合 a < ?1 . a

………………12 分

综上,当 f (x ) 在 (0,1] 上的最大值是 ?1 时,a = ?e .

………………13 分

19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:设椭圆 C 的半焦距是 c .依题意,得 c = 1 . ………………1 分

因为椭圆 C 的离心率为
2

1 , 2
2 2

所以 a = 2c = 2 , b = a ? c = 3 .

………………3 分

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 + = 1. 4 3

………………4 分

(Ⅱ)解:当 MN ⊥ x 轴时,显然 y0 = 0 .

………………5 分

当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y = k ( x ? 1) ( k ≠ 0) .

由 ?

? y = k ( x ? 1),
2 2 ?3x + 4 y = 12,

消去 y 整理得 (3 + 4k ) x ? 8k x + 4( k ? 3) = 0 .
2 2 2 2

………………7 分 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 的中点为 Q ( x3 , y3 ) . 则 x1 + x2 =

8k 2 . 3 + 4k 2

………………8 分

所以 x3 =

x1 + x2 4k 2 ?3k , y3 = k ( x3 ? 1) = . = 2 2 3 + 4k 3 + 4k 2

线段 MN 的垂直平分线方程为 y +

3k 1 4k 2 = ? (x ? ). k 3 + 4k 2 3 + 4k 2

得 在上述方程中令 x = 0 , y 0 =

k 1 = . 2 3 3 + 4k + 4k k

………………10 分

当 k < 0 时, 所以 ?

3 3 + 4k ≤ ?4 3 ;当 k > 0 时, + 4k ≥ 4 3 . k k
………………12 分

3 3 ≤ y0 < 0 ,或 0 < y0 ≤ . 12 12 3 3 , ]. 12 12

综上, y 0 的取值范围是 [ ?

………………13 分

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: B4 : 5, ?2, 7, 2 . (Ⅱ)证明: 因为 b1 = an , ………………3 分

b1 + b2 = a1 + a2 , b2 + b3 = a2 + a3 ,
……

bn ?1 + bn = an ?1 + an ,
由于 n 为偶数,将上述 n 个等式中的第 2, 4, 6, L , n 这

n 个式子都乘以 ?1 ,相加得 2

b1 ? (b1 + b2 ) + (b2 + b3 ) ? L ? (bn ?1 + bn ) = an ? (a1 + a2 ) + (a2 + a3 ) ? L ? (an ?1 + an )
即 ?bn = ? a1 , bn = a1 . (Ⅲ)证明:对于数列 An 及其“衍生数列” Bn , 因为 b1 = an , ………………8 分

b1 + b2 = a1 + a2 , b2 + b3 = a2 + a3 ,
……

bn ?1 + bn = an ?1 + an ,
由于 n 为奇数,将上述 n 个等式中的第 2, 4, 6, L , n ? 1 这 相加得

n ?1 个式子都乘以 ?1 , 2

b1 ? (b1 + b2 ) + (b2 + b3 ) ? L + (bn ?1 + bn ) = an ? (a1 + a2 ) + (a2 + a3 ) ? L + (an ?1 + an )
即 bn = an ? a1 + an = 2an ? a1 . 设数列 Bn 的“衍生数列”为 Cn , 因为 b1 = an , c1 = bn = 2an ? a1 , 所以 2b1 = a1 + c1 , 即 a1 , b1 , c1 成等差数列. 同理可证, b1 , c1 , d1 ; c1 , d1 , e1 , L 也成等差数列. 从而 ? 是等差数列. ………………13 分 ………………12 分


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