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(浙江专版)2018年高中数学第二章数列2.5第二课时数列求和(习题课)课件新人教A版必修5_图文

第二课时 数列求和(习题课) [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于 1,则其前 n 项和 a1-an+1 Sn= 1-q 1 ? 1 1? ? 1 (2)当 n≥2 时, 2 =2?n-1-n+1? ? n -1 ? ? 时乘以 a 即可根据错位相减法求得 ( ( ) ) (3)求 Sn=a+2a2+3a3+…+nan 之和时只要把上式等号两边同 ( ) ?1 ? (4)数列?2n+2n-1?的前 ? ? 1 n 项和为 n +2n 2 ( ) (5)若数列 a1,a2-a1,…,an-an-1 是首项为 1,公比为 3 的等 3n-1 比数列, 则数列{an}的通项公式是 an= 2 ( ) 解析:(1)正确.公比不等于 1 的等比数列的前 n 项和 Sn= a1?1-qn? a1-an+1 = . 1-q 1-q (2)正确.化简即得. (3)错误.a 的值不能确定. 1 (4)错误.设数列的通项公式为 an=2n+2n-1, 则用分组转化法求和, 1? 1? ?1- n? ?1 ? 2 ? ?2+2n?n 2? 1 1 ?? ? ? Sn=?2+22+…+2n?+?2+4+…+2n?-n= + 1 2 ? ? 1-2 1 1 2 -n=1-2n+n+n -n=1-2n+n2. (5)正确.由题意 an=a1+a2-a1+…+an-1-an-2+an-an-1 1-3n 3n-1 = = 2 . 1-3 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 1 2.已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1=2,S2=a3, 则 S40= A.290 C.410 解析:选 C ( B.390 D.430 设数列{an}的公差为 d.∵S2=a3,∴2a1+d ) 1 1 40×39 1 =a1+2d,∴d=2,∴S40=40×2+ 2 ×2=410. 3.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,且 an+2an+1+ an+2=0(n∈N*),则 S2 016=________. 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 an+2an+1+an+2 =an(1+2q+q2)=0,∵an≠0,∴q2+2q+1=0. 解得 q=-1,∴S2 016=0. 答案:0 2n-1 321 4.已知数列{an}的通项公式 an= 2n ,其前 n 项和 Sn= 64 , 则项数 n 等于________. 2n-1 1 解析:an= 2n =1-2n, 1? 1? ?1- n? 2? 2? 1 321 1 ∴ Sn= n- 1 =n-1+2n= 64 =5+64, 1- 2 ∴n=6. 答案:6 分组转化法求和 1 1 1 [典例] 已知数列{cn}:12,24,38,…,试求{cn}的前 n 项和. [解] 令{cn}的前 n 项和为 Sn, ? ?1?n? 1 1 1 则 Sn=12+24+38+…+?n+?2? ? ? ? ? ? ?1 1 1 ?1?n? =(1+2+3+…+n)+?2+4+8+…+?2? ? ? ? ? ? ?1?n? 1? ? ? ? ? ?1?n n?n+1? 2?1-?2? ? n?n+1? ? ? = 2 + 1 = 2 +1-?2? . 1-2 ?1?n n2+n 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn= 2 +1-?2? . ? ? 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数 列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别 求和而后相加减. [活学活用] 1.数列{(-1)nn}的前 n 项和为 Sn,则 S2 016 等于 A.1 008 C.2 016 B.-1 008 D.-2 016 ( ) 解析: 选A =1 008. S2 016=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2 015+2 016) 2.数列{an}的通项 an=n 则 S30 为________. 解析:∵an=n 2 2 2 ? ?cos2 ? ? nπ 2 nπ ?,其前 n 项和为 Sn, - sin 3 3? ? ?cos2 ? ? nπ 2nπ 2 nπ 2 ? 3 -sin 3 ?=n cos 3 , 2π 4π 2 ∴S30=1 · cos 3 +2 · cos 3 +32·cos 2π+…+302·cos 20π 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 =-2× 1 -2× 2 +3 -2× 4 -2× 5 + 6 + … - 2× 28 -2× 292+302 1 2 =-2[(1 +22-2× 32)+(42+52-2× 62)+…+(282+292-2× 302)] 1 2 =- 2[(1 - 32)+ (42- 62)+ …+ (282- 302)+ (22- 32)+ (52- 62) +…+(292-302)] 1 =-2[-2(4+10+16+…+58)-(5+11+17+…+59)] ? 4+58 5+59 1? ? ? =-2?-2× × 10 - × 10 ?=470. 2 2 ? ? 答案:470 裂项相消法求和 [典例] 已知等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2 =1,a2 3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=-log [解] 2 ? ? 1 ? ? ? 3an,求数列 b b ?的前 ? ? n n+1? ? n 项和 Tn. 2 2 (1)设数列{an}的公比为 q,由 a3 =9a2a6 得 a2 = 9 a 3 4, 1 ∴ q = 9. 1 由条件可知 q>0,故 q=3. 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,∴a1=3. 1 故数列{an}的通项公


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