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【新】贵州省遵义市第四中学2017-2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)

小中高 精品 教案 试卷

遵义四中 2017-2018 学年上学期期中考试试卷 高一数学
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 第Ⅰ卷 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 设全集 U=R, 集合, ( ) 则图中阴影部分所表示的集合为

A. 【答案】D 【解析】



B.



C.

D.

, ,选 D.



,则

2. 下列函数既是增函数,图象又关于原点对称的是( A. 【答案】A 【解析】函数 但函数在 , 为增函数,在 B. C. D.

)

均为非奇非偶函数,函数

为奇函数,图像关于原点对称, 为奇函数,且在 R

为增函数,不符合题意,函数

上为增函数,选 A. 3. 若幂函数的图象经过点 A. 【答案】B 【解析】设幂函数为 4. 已知函数 A. B.
-1-

,则该函数的解析式为( C. D.

)

B.

,过点 在

,则

,则

,所以

,选 B. )

上单调递增,则 的取值范围是(

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C. 【答案】B

D.

.................. 5. 若函数 A. 【答案】C 【解析】因为对称轴为 合可得 的取值范围是 6. 设集合 A. C. 【答案】B 【解析】根据映射定义, 到 的映射,而对于 7. 不等式 A. C. 【答案】D 【解析】把不等式改写为 ,解得: ,则 或 ;选 D. 的解集是( B. D. , ,当 ) , , ,而 中的对应 中均能构成 ,不能构成 到 的映射,选 B. B. D. ,对应函数值为 ,选 C. ,则下列对应 中不能构成 到 的映射的是( ) ;所以 ;当 时 ,因此 ,综 B. 的定义域为 C. ,值域为 D. ,则 的取值范围是( )

8. 已知函数 A. C. 【答案】D 【解析】当 时, B. D.

则满足

的 x 的取值范围是(

)

,得:



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时,

,则

; .选 D.

综上可知:x 的取值范围是 9. 已知 a= A. C. 【答案】C 【解析】试题分析:因为 ,又 ,b= B. D. ,

,则

之间的大小关系为(

)

,所以 考点:根据对数单调性比较大小



10. 若定义在 R 上的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则函数 y=f(x+a)的值域为( A. [2a,a+b] C. [a,b] 【答案】C 【解析】令 ∴ 故选 C. 11. 已知奇函数 在区间 ,∵ ,则 ,∴函数 与 B. [0,b? a] D. [? a,a+b]

)

是同一个函数;

的值域为

上是增函数,且最大值为 10,最小值为 4,则在区间 )



的最大值、最小值分别是( A. -4,-10 C. 10,4 【答案】A B. 4,-10 D. 不确定

【解析】奇函数图象关于原点对称,奇函数 值为 4,在区间 上 的最大值为

在区间 ,最小值为

上是增函数,且最大值为 10,最小 .选 A.

【点精】函数的定义域关于原点对称时是函数具有奇偶性的前提,而判断奇偶就是寻求 f(-x) 与 f(x)的关系,当 时,函数为奇函数,当 时,函数为偶函数;奇函数

图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数在关于原点对称的单调区间上单调 性相同,偶函数在关于原点对称的单调区间上单调性相反,借助函数的单调性和特殊点特殊 值,根据函数的奇偶性可以模拟函数图象,用于比较大小,解不等式,求最值等.

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12. 设函数 的取值范围是( A. 【答案】B 【解析】 试题分析: 先做出函数 此时函数关于 ,且 即 B. C.

,若互不相等的实数 ) D.

满足

,则

的图象, 如图所示, 当 ,则

时, 关于直线 对称,故 所以



对称,不妨设 则 .故选:B.

,因为

考点:分段函数.

第Ⅱ卷 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

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13. 若集合 ___________. 【答案】 【解析】由题意得 14. 已知函数 【答案】 【解析】 15. 已知 【答案】 【解析】令 据此可得: 则函数的解析式 点睛:求函数解析式常用方法 ,则: 则

中只有一个元素,则满足条件的实数 构成的集合为

,满足条件的实数 构成的集合为 的一个零点在(2,3)内,则实数 的取值范围是___________.

, ___________.

, 则实数 的取值范围是

.

, , .

(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (3)方程法:已知关于 f(x)与 或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式

组成方程组,通过解方程组求出 f(x). 16. 已知函数 的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 为单独递增函数,所以 满足对任意的实数 ,都有 成立,则实数

点睛: 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点: (1)若函数在区间

上单调,

则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性 外,还要注意衔接点的取值; (3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性对应关系,

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而且要注意内外函数对应自变量取值范围 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知集合 (1)若 (2)若 【答案】(1) 【解析】试题分析: (1)结合题意可得: (2)结合题意分类讨论 试题解析: (1)当 ,∴ 和 两种情况可得 ,∴ 或 . ; ,求 ; 求实数 的取值范围. ;(2) . , .

(2)因为 当 综上: 时,则 或

,当 或 .

时,则 ,解得:

,即 或 .

点睛:已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分 类讨论,做到不漏解.

18. 求下列各式的值: (1) (2) 【答案】(1) ;(2)1. 【解析】试题分析:指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算,法则包括同底数幂相乘, 底数不变,指数相加;同底数幂相除,底数不变指数相减;幂的乘方,底数不变指数相乘; 积的乘方等于把积中每个因数乘方,再把所得的幂相乘;对数运算要注意利用对数运算法则,
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; .

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包括积、商、幂的对数运算法则,这些公式既要学会正用,还要学会反着用. 试题解析: (1)原式= 原式= = = . = = .

【点精】指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算,指数运算包括正整指数幂、负指数 幂、零指数幂、分数指数幂的定义,法则包括同底数幂的惩罚和除法,幂的乘方、积的乘方; 对数运算要注意利用对数运算法则,包括积、商、幂的对数运算法则,这些公式既要学会正 用,还要学会反着用,指数对数运算还要灵活进行指、对互化.

19. 已知函数 (1)判断并证明

是 R 上的偶函数,且当 x>0 时,函数的解析式为 在(0,+∞)上的单调性; 的解析式. .

=

.

(2)求:当 x<0 时,函数 【答案】(1)详见解析;(2)

【解析】试题分析:用定义证明函数的单调性需要以下步骤,一、取值,在 x>0 内任取两个 自变量 ,且 ,二、作差 ,三、变形(包括通分、配方、因式分解、分子

有理化等) ,四、断号(判断各部分的正负,说明差的符号正负) ,最后给出结论.利用函数的 奇偶性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一,给出函数在 x>0 的解析式,利用当 x<0 时,-x>0,借助 f(x)=f(-x)就可以求出 x<0 时的解析式; 试题解析: (1)当 是 证明: 时, 上减函数 且

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即 是 当 时, 为 R 上偶函数 当 时, . 上减函数.

【点精】函数的单调性的判断分为“粗判”和“细断”两种,所谓粗判,就是根据已知函数 的单调性结合和复合函数关系,判断出函数在某区间上的单调性;所谓细断就是根据函数的 单调性定义进行严格证明或利用导数的正负进行严格的判断,关于利用函数的单调性的定义 证明,其步骤为①取值,②作差,③变形,④断号,最后给出单调性结论. 利用函数的奇偶 性求函数的解析式是函数的奇偶性的应用之一,给出函数在 x>0 的解析式,利用当 x<0 时, -x>0,偶函数借助 f(x)=f(-x)就可以求出 x<0 时的解析式;

20. 据悉遵义市红花岗区、汇川区 2017 年现有人口总数为 110 万人,如果年自然增长率为 %,试解答以下问题: (1)写出经过 年后,遵义市人口总数 (单位:万人)关于 的函数关系式; (2)计算 10 年以后遵义市人口总数(精确到 0.1 万人) ; (3)计算经过多少年后遵义市人口将达到 150 万人(精确到 1 年) (参考数据: 【答案】(1)详见解析;(2) 124.0 万人;(3) 150 万人. 【解析】试题分析:应用问题首先要认真细致的审题,逐字逐句的读题,把实际问题转化为 数学问题.本题为增长率函数问题,根据现有人口、增长率表示出经过 x 年后人口数量的函数 关系,建立函数模型后假设 x 年后人口达到 150 万人,解指数方程,利用对数近似计算求出 x 值,要求精确到 1 年,给出实际问题的答案. 试题解析: (1)由题可知: ( 是正整数) (2)当 时,

答:10 年后遵义市人口总数为 124.0 万人.
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(3)令 解得:

,即

答:26 年后遵义市人口总数将达到 150 万人. 【点精】应用问题首先要认真细致的审题,逐字逐句的读题,把实际问题转化为数学问题.本 题为增长率函数问题,根据现有人口、增长率表示出经过 x 年后人口数量的函数关系,建立 函数模型,利用函数关系由 x 值可求 y 的值,由给出的 y 值可以反求 x 值,也可以解不等式解 决不等问题.

21. 已知函数 (1)判断 (2)求

.

的奇偶性; 的值.

【答案】(1)详见解析;(2)1. 【解析】试题分析:判断函数奇偶性,首先考查函数的定义域,函数的定义域关于原点对称 时是函数具有奇偶性的前提,而判断奇偶就是寻求 f(-x)与 f(x)的关系,当 函数为奇函数,当 相加法求和. 试题解析: (1) 的定义域为 R, 是偶函数. 时,函数为偶函数;借助于函数满足 时,

为定值,利用倒序

= = .

【点精】判断函数奇偶性,首先考查函数的定义域,函数的定义域关于原点对称时是函数具 有奇偶性的前提,而判断奇偶就是寻求 f(-x)与 f(x)的关系,当 数,当
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时,函数为奇函

时,函数为偶函数;数列求和方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、
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分组求和法等,本题借助于函数满足

为定值,利用倒序相加法求和.

22. 已知函数 (1)求 (2)若函数

为 上的偶函数, 的解析式;

为 上的奇函数,且

.

在 上只有一个零点,求实数 的取值范围. 或 .

【答案】(1)详见解析;(2)

【解析】试题分析:本题根据函数的奇偶性,采用方程组法求函数的解析式,把已知条件里 的 x 替换为-x,利用函数的奇偶性,得出一个新的关系式,两式联立,解出函数 f(x)和 g(x) 的解析式,写出函数 h(x),令 h(x)=0,转化为方程只有一根,利用换元法转化为二次方程只 有一个正根,包括一个正根一个负根及两个相等正根两种情况,分别按要求解出 a 的范围. 试题解析: (1) ① . ② 由①②得: , 由(1)可得:

在 上只有一个零点 只有一个实数根 即 令 则 ①当 时, 符合题意
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只有一个实数根

只有一个正实数根

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②当 若 若

时,令 有一正一负实数根,则 有两个相等的正实数根,则 时, 。 或 . 或 ,解得 ,解得 ; 或 (舍)

综上所述: 得取值范围是

【点精】关于求函数的解析式问题常用方法有待定系数法、换元法、方程组法等,本题采用 的方法为方程组法;当已知函数为哪种基本初等函数时,按照函数的定义形式设出函数,利 用待定系数法求出解析式;当提供复合函数形式时,利用换元法求出解析式,但要注意函数 的定义域;方程组法题型较少,易于掌握,函数零点问题有时化成函数图象与 x 轴的交点问 题,有时化为方程的根的的问题,有时化为两个函数图象的交点问题,有时还需借助导数研 究函数图象去解决.

.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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