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高一数学指数函数及其性质教学设计


2.1.2指数函数的概念教学设计

一、教学目标: 知识与技能:理解指数函数的概念,能够判断指数函数。 过程与方法:通过观察,分析、归纳、总结、自主建构指数函数的概念。领会从特殊到 一般的数学思想方法,从而培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观:在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学 生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点: 教学重点:指数函数的概念,判断指数函数。 教学难点:对底数的分类。 三、学情分析: 学生已经学习了函数的知识, 指数函数是函数知识中重要的一部分内容, 学生若能将其 与学过的正比例函数、 一次函数、 二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、 性质、 图象, 则一定能从中发现指数函数的本质, 所以对已经熟悉掌握函数的学生来说, 学习本课并不是 太难。 学生通过对高中数学中函数的学习, 对解决一些数学问题有一定的能力。 通过教师启发 式引导,学生自主探究完成本节课的学习。 高一学生的认知水平从形象向抽象、 从特殊向一般过渡, 思维能力的提高是一个转折期, 但是,学生的自主意识强,有主动学习的愿望与能力。有好奇心、好胜心、进取心,富有激 情、思维活跃。 四、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1) 》 (人教 A 版)第二章第一节第二 课(2.1.2) 《指数函数及其性质》 。根据我所任教的学生的实际情况,我将《指数函数及其性 质》划分为三节课(探究指数函数的概念,图象及其性质,指数函数及其性质的应用) ,这 是第一节课“探究指数函数的概念”。 指数函数是重要的基本初等函数之一,作为常见函 数, 它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础, 同时在生活及生产实际中有着广泛的应用, 所以指数函数应重点研究。 函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。 如何突破这个即重要又抽象的内容, 其 实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来, 通过具有一定思考价值的问 题,激发学生的求知欲望――持久的好奇心。我们知道,函数的表示法有三种:列表法、图 象法、解析法,以往的函数的学习大多只关注到图象的作用,这其实只是借助了图象的直观 性,只是从一个角度看函数,是片面的。本节课,主要是让学生学会如何去发现研究心的函 数,为后面学习对数函数、幂函数做出铺垫。

五、教学过程: (一)创设情景 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次 后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式 吗? 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为 y ? 2 x 。 问题2: 问题2、 《庄子·天下篇》中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”请你 写出截取 x 次后,木棰剩余量 y 关于 x 的函数关系式?

( )。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为 y=
(二)导入新课 引导学生观察,两个函数中,有什么共同特征? 学生回答:均为幂的形式,底数是常数,自变量 x 在指数位置。 设计意图: 充实实例, 突出底数 a 的取值范围, 让学生体会到数学来源于生产生活实际。

1 2

x

( ) 分别以 0 ? a ? 1或a ? 1的数为底,加深对定义的感性认识,为顺 函数 y=2x、y=
x

1 2

利引出指数函数定义作铺垫。 (三)新课讲授 指数函数的定义 一般地,函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域
x

是 R。

a ? 0且a ? 1 的含义: 0 ? a ? 1或a ? 1
设计意图:为按 0 ? a ? 1或a ? 1两种情况得出指数函数性质作铺垫。若学生回答不 合适,引导学生用区间表示: (0,1)∪(1,+∞) 探究1:指数函数定义中,为什么规定“ a ? 0且a ? 1 ”如果不这样规定会出现什么情 况? 设计意图: 教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?这是本节的一个难 点,为突破难点,采取学生自由讨论的形式,达到互相启发,补充,活跃气氛,激发兴趣的 目的。 对于底数的分类,可将问题分解为:

(1)若 a<0会有什么问题?(如 a ? ?2, x ? (2)若 a=0会有什么问题?( 当x ? 0时,a

1 则在实数范围内相应的函数值不存在) 2
x

) ? 0;当x ? 0时,a x 无意义。

(3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论 x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定 a ? 0且a ? 1 。 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。 设计意图:认识清楚底数 a 的特殊规定,才能深刻理解指数函数的定义域是 R;并为学 习对数函数,认识指数与对数函数关系打基础。 探究2:观察指数函数的解析式有什么特点?

教师提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,然后把问题引向 深入。 (四)巩固与练习 例题: 例 1:指出下列函数那些是指数函数:

( 1)y ? x 2 (6) y ? 5 2 x
2

(2) y ? 8 x
?1

(3) y ? ?10x (8) y ? (2a ? 1) x

(4) y ? (?4) x

(7) y ? x x

(5) y ? ? x 1 (9) y ? (2a ? 1) x (a ? 且a ? 1) 2

教师引导学生观察这些指数值的特征,根据指数函数的定义判断。 (2) (5) (9)都是指数函数; (1)底数不是常数, (3)底数的系数为-1而不是1, (4)底数不满足 a ? 0且a ? 1 , (6) 自变量的形式不对(7)底数不为常数(8)底数含有 a,不能确定底数的值,而指数函数的 底数必需大于零且不等于一。 例2:若函数 y ? (a ? 3a ? 3) ?a 是指数函数,求 a 的值。
2 x

练习: 1、指出下列哪些是指数函数。

( 1 )y ? 2 ? ( 2 ) x (2) y ? 2 x ?1 (3) y ? ( ) x (4) y ? 3 2

?

?

1 x

1

(5) y ? x 3

2、函数 y ? (a ? 2) 2 a x 是指数函数,则()

A.a ? 1或a ? 3

B.a ? 1

C.a ? 3

D.a ? 0且a ? 1
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设计意图:加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。 (五)课堂小结 通过本节课的学习,你学到了哪些知识? 你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗? 设计意图:让学生在小结中明确本节课的学习内容,强化本节课的学习重点,并为后续 学习打下基础。 (六)布置作业 1、在同一坐标系中分别作出如下函数的图像,观察它们有什么特征?

y ?2
2、三维设计相应的练习。

x

?1? y?? ? ?2?

x

设计意图:课后思考的安排,激发学生的学习兴趣,主要为学有余力的学生准备的。并 为下一节课讲授指数函数图像随底数 a 变化规律作铺垫。

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