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2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题08


2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题八

先做后对答案

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题八
(时间:120 分钟 满分:150) 姓名_______________ 一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分.

1 1.若 tan x ? tan y ? 2 , sin x ? sin y ? ,则 x ? y ? __________ 3 1 1 ( x ? R) 的最小值是关于 a 2.已知关于参数 a (a ? 0) 的二次函数 y ? ax2 ? 1 ? a2 x ? a2 ? 3a ? ? 4 4a
的函数 f (a) ,则 f (a) 的最小值为__________
b 为正整数, a ? b ,实数 x、y 满足 x ? y ? 4( x ? a ? y ? b ) ,若 x ? y 的最大值为 40, 3.已知 a、

则满足条件的数对 ( a, b) 的数目为__________ 4.定义区间 (c, d ) , [c, d ) , (c, d ] , [c, d ] 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c .已知实数 a ? b ,则满足

1 1 ? ? 1 的 x 构成的区间的长度之和为__________ x ?a x ?b
5.过四面体 ABCD 的顶点 D 作半径为 1 的球,该球与四面体 ABCD 的外接球相切于点 D ,且与平 面 ABC 相切;若 AD ? 2 3 , ?BAD ? ?CAD ? 45? , ?BAC ? 60? ,则四面体 ABCD 的外接球的 半径 r 为__________ 6.设直线 l 与曲线 y ? x3 ? x ? 1 有三个不同的交点 A 、B、C ,并且 AB ? BC ? 5 ,则直线 l 的方程 为__________ 7.若 D 是边长为 1 的正 ?ABC 的边 BC 上的点, ?ABD 与 ?ACD 的内切圆半径分别为 r1 、 r2 ; 若 r1 ? r2 ? 8.方程

1 3 ,则满足条件的点 D 有两个,分别设 D1、D2 ,则 D1、D2 间的距离为__________ 5

( x ? 1)( x ? 4)( x ? 9) 2 x3 ? 1 x 3 ? 43 x 3 ? 93 ? [ ? ? ] ? 1 的不同非零整数解的个数为________ 3 3 ( x ? 1)( x ? 4)( x ? 9) 3 ( x ? 1) ( x ? 4) ( x ? 9)3

9.设集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } , B ? {a12 , a2 2 , a32 , a4 2 , a5 2 } ,其中 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是五个不同的正整 数, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , A B ? {a1 , a4 } , a1 ? a4 ? 10 ,若 A 足条件的集合 A 的个数为__________ 10.定义两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之间的“交通距离”为: d ( P, Q) ?| x1 ? x2 | ? | y1 ? y2 | .若 C ( x, y) 到点 A(1, 3) , B(6, 9) 的“交通距离”相等,其中实数 x、y 满足 0 ? x ? 10 , 0 ? y ? 10 ,则所有 满足条件的点 C 的轨迹的长之和为__________
1

B 中所有元素的和为 246,则满

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题八

先做后对答案

二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.设函数 f ( x) ? e x ? ax ? a (a ? R) ,其图象与 x 轴交于 A( x1 , 0) , B ( x2 , 0) 两点,且 x1 ? x2 ; (1)求 a 的取值范围; (2)求证: f ?( x1 x2 ) ? 0 ( f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数) ; (3)设点 C 在函数 y ? f ( x) 的图象上,且 ?ABC 为等腰直角三角形,记 求 (a ? 1)(t ? 1) 的值.
x2 ? 1 ?t , x1 ? 1

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题八

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12.已知数列 {an } ( n ? 0 )满足 a0 ? 0 , a1 ? 1 ,对于所有正整数 n ,有 an?1 ? 2an ? 2007an?1 , 求使得 2008 | an 成立的最小正整数 n .

13.已知 ?ABC 的外心为 O , ?A ? 90? , P 为 ?OBC 的外接圆上且在 ?ABC 内部的任意一点,以 OA 为直径的圆分别与 AB 、 AC 交于点 D 、 E , OD 、 OE 分别与 PB 、 PC 或其延长线交于点 F 、

G ,求证 A、 F、 G 三点共线.
A

D P G B

F

O

E

C

3

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题八

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14.排成一排的 10 名学生生日的月份均不相同,有 n 名教师,依次挑选这些学生参加 n 个兴趣小组, 每个学生恰被一名教师挑选,且保持学生的排序不变,每名教师挑出的学生必须满足生日的月 份是逐渐增加或逐渐减少的(挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少) ,每名教师尽 可能多选学生.对于学生所有可能的排序,求 n 的最小值.

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题八答案
一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.解: 2k? ?

?
3

;由已知可得: cos x ? cos y ?

1 1 ? ,从而有 cos( x ? y) ? ,∴ x ? y ? 2k? ? . 2 6 3

2.解: ?2 ;当 x ? ? ∵对称轴为 a ?

1 ? a2 11 1 时, y 的最小值为 f (a) ? a 2 ? a ? ,其中 0 ? a ? 1 ; 2a 4 4

11 ,∴当 a ? 1 时, f (a) 的最小值是 ?2 . 8

3.解:5;∵ (u ? v)2 ? 2(u 2 ? v 2 ) ,∴ x ? y ? 4 x ? a ? y ? b ? 4 2( x ? a ? y ? b) , ∴有 ( x ? y)2 ? 32( x ? y) ? 32(a ? b) ? 0 ,∴ x ? y ? 16 ? 4 16 ? 2(a ? b) ; 由于 16 ? 4 16 ? 2(a ? b) ? 40 ,得 a ? b ? 10 , 当且仅当 x ? 1 (b ? a ? 40) , y ? 1 (a ? b ? 40) 时, x ? y 取到最大值; 2 2 又∵ a ? b ,∴满足条件的数对 ( a, b) 的数目为 5. 4.解:2;变式:
2 x ? ( a ? b) ? 1 ;当 x ? a 或 x ? b 时,等价于: x2 ? (a ? b ? 2) x ? (a ? b) ? ab ? 0 ; ( x ? a )( x ? b )

设 f ( x) ? x 2 ? (a ? b ? 2) x ? (a ? b) ? ab ,则 f (a) ? b ? a ? 0, f (b) ? a ? b ? 0 ;设 f ( x) ? 0 的两 个根分别为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则满足 f ( x) ? 0 的 x 构成的区间为 ? a, x2 ? ,区间的长度为 x2 ? a ; 当 b ? x ? a 时,同理可得满足 f ( x) ? 0 的 x 构成的区间为 (b, x1 ] ,区间的长度为 x1 ? b ; 由韦达定理, x1 ? x2 ? a ? b ? 2 ,所以满足条件的 x 构成的区间的长度之和为:
x2 ? a ? x1 ? b ? (a ? b ? 2) ? a ? b ? 2 .

5.解:3;过 D 作平面 ABC 的垂线,垂足为 H ,作 DE ? AB ,垂足为 E , DF ? AC ,垂足为 F , 则 HE ? AB, HF ? AC ,且有 AE ? AF ? AD cos 45? ? 6 ;∵ ?AEH @?AFH , ∴ ?HAE ? 30? , AH ?

AE ? 2 2 , DH ? AD2 ? AH 2 ? 2 , cos30?

∴ DH 为半径为 1 的球的直径,从而四面体 ABCD 的外接球的球心 O 在 DH 的延长线上, 于是有 r 2 ? (r ? 2)2 ? (2 2)2 ,解得 r ? 3 . 6.解: y ? 2 x ? 1 ;注意到:曲线关于点 (0, 1) 对称,直线也过该点,可设直线方程为 y ? kx ? 1 ,

5

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题八

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? y ? kx ? 1 ? ? 又设点 A( x, y ) ,则有 ? y ? x 3 ? x ? 1 ? (k ? 2)(k 2 ? k ? 3) ? 0 ? k ? 2 ? y ? 2 x ? 1 . ? 2 2 ? ? x ? ( y ? 1) ? 5

1 3 7.解: 1 , 6 ;设 BD ? x ,由余弦定理得 AD ? x2 ? x ? 1 ;一方面, S?ABD ? ? x ? 5 2 2
3 1 (1 ? x ? x 2 ? x ? 1) ; 另一方面, S?ABD ? (1 ? x ? x2 ? x ? 1)r1 ,解得: r1 ? 6 2

同理可得 r2 ? 当x?

3 3 (2 ? x ? x 2 ? x ? 1) ;从而有 r1 ? r2 ? (3 ? 2 x 2 ? x ? 1) ; 6 6

3 3 ?1 1 3 ?1 ? r1 ? r2 ? 时, r1 ? r2 有最大值,且最大值为 ,∴ ; 6 2 2 2 3 19 ,∴ x2 ? x ? ? 0 ;令两个根为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? 5 100

而 r1 ? r2 ?

?x1 ? x2 ? ?
2

x 4 1x2 ?

6 . 5

8.解: 4 ;利用 a3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) ,原方程:
( x ? 1)( x ? 4)( x ? 9) 2 x3 ? 1 x 3 ? 43 x 3 ? 93 ?1? ( ? 1 ? ? 1 ? ? 1) ? 0 ; ( x ? 1)( x ? 4)( x ? 9) 3 ( x ? 1)3 ( x ? 4)3 ( x ? 9)3

等价于:

x3 ? 49 x x 4x 9x ?( ? ? ) ? 0; ( x ? 1)( x ? 4)( x ? 9) ( x ? 1) 2 ( x ? 4) 2 ( x ? 9) 2

同除 x ,得 x( x 4 ? 98x 2 ? 288x ? 385) ? 0 ;再同除 x ,得 ( x2 ? 31)2 ? (6 x ? 24)2 ? 0 ; 即 ( x2 ? 6 x ? 7)( x2 ? 6 x ? 55) ? 0 ,从而有 ( x ? 7)( x ? 1)( x ? 5)( x ? 11) ? 0 ; 经验证: x1 ? ?7, x2 ? 1, x3 ? ?5, x4 ? 11 均是原方程的根,故原方程共有 4 个整数根. 9.解:2;∵ a12 ? a1 ,∴ a1 ? 1, a4 ? 9 ;∵ B 中有 9,∴ A 中有 3;若 a3 ? 3 ,则 a2 ? 2 , 于是 a5 ? a52 ? 146 ,无正整数解;若 a2 ? 3 ,∵ 10 ? a5 ? 11 ,∴ a2 2 ? a5 , 于是 a3 ? a32 ? a5 ? a5 2 ? 152 ;又∵ a3 ? 4 ,当 a5 ? 10 时, a3 ? 6 ;当 a5 ? 11 时, a3 ? 4 , ∴满足条件的 A 共有 2 个,分别为{1,3,4,9,11},{1,3,6,9,10}. 10.解: 5( 2 ? 1) ;由条件得 x ? 1 ? y ? 3 ? x ? 6 ? y ? 9 ;当 x ? 1, y ? 9 时,无解; 当 1 ? x ? 6, y ? 9 时,无解;当 x ? 6, y ? 9 时,无解;
3 , 当 x ? 1,3 ? y ? 9 时,y ? 8.5 , 线段长为 1; 当 1 ? x ?6 ?9 y ? 时,x ? y ? 9.5 , 线段长为 5 2 ;

当 x ? 6,3 ? y ? 9 时 y ? 3.5 ,线段长为 4;当 x ? 1, y ?3 时,无解;当 1 ? x ? 6, y ? 3 时,无解;

1 ? 5 2 ? 4 ? 5( 2 ? 1) . 当 x ? 6, y ? 3 时, 无解. 综上所述, 点 C 的轨迹构成的线段的长之和为:

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2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题八

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二、解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.解: (1) f ?( x) ? e x ? a ;若 a ≤ 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 是单调增函数,这与题设矛盾; ∴ a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? ln a ;当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是单调减函数; 当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是单调增函数;于是当 x ? ln a 时, f ( x) 取得极小值. ∵函数 f ( x) ? e x ? ax ? a (a ? R) 的图象与 x 轴交于两点 A( x1 , 0) , B ( x2 , 0) ( x1 ? x2 ) , ∴ f (ln a) ? a(2 ? ln a) ? 0 ,即 a ? e 2 ;此时,存在 1 ? ln a ,f (1) ? e ? 0 ; 存在 3ln a ? ln a ,f (3ln a) ? a3 ? 3a ln a ? a ? a3 ? 3a 2 ? a ? 0 , 又由 f ( x) 在 (??,ln a) 及 (ln a ,? ?) 上的单调性及曲线在 R 上不间断, 可知 a ? e 2 为所求取值范围.
1 x2 x1 ? x ?x ?e ? ax1 ? a ? 0 (2)∵ ? x ,两式相减得: a ? e ? e ;又记 2 1 ? s ( s ? 0) , 2 2 x ? x ? 2 1 ?e ? ax2 ? a ? 0

x

则 f ?(

x1? x2 x2 x1 2 x1 ? x2 ) ? e 2 ? e ?e ? e [2s ? (e s ? e ? s )] , 2 x2 ? x1 2s

x1? x2

设 g (s) ? 2s ? (es ? e? s ) ,则 g ?(s) ? 2 ? (es ? e? s ) ? 0 ,∴ g ( s) 是单调减函数, 则有 g (s) ? g (0) ? 0 ,而 e
x1? x2 2

2s

? 0 ,∴ f ?(

x1 ? x2 ) ? 0. 2

又 f ?( x) ? e x ? a 是单调增函数,且

x1 ? x2 ? x1 x2 ,∴ f ?( x1 x2 ) ? 0 . 2

(3)依题意有 exi ? axi ? a ? 0 ,则 a( xi ? 1) ? exi ? 0 ? xi ? 1 (i ? 1 ,2) ; 于是 e
x1? x2 2

? a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ,在等腰三角形 ABC 中,显然 ?C ? 90? ,

∴ x0 ? 可知

x1 ? x2 ? ( x1 ,x2 ) ,即 y0 ? f ( x0 ) ? 0 ,由直角三角形斜边的中线性质, 2

x1 ? x2 x ?x x2 ? x1 x ?x ? ? y0 ,∴ y0 ? 2 1 ? 0 ,即 e 2 ? a ( x1 ? x2 ) ? a ? 2 1 ? 0 , 2 2 2 2

∴ a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? a ( x1 ? x2 ) ? a ? 2

x2 ? x1 ? 0, 2 ( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1) ? 0; 2

即 a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? a [( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)] ? 2

x2 ? 1 ?1 x2 ? 1 a x2 ? 1 x1 ? 1 ? (1 ? )? ?0, ∵ x1 ? 1 ? 0 ,则 a x1 ? 1 2 x1 ? 1 2

x2 ? 1 ? t ,∴ at ? a (1 ? t 2 ) ? 1 (t 2 ? 1) ? 0 ,即 a ? 1 ? 2 ,∴ (a ? 1)(t ? 1) ? 2 . x1 ? 1 2 2 t ?1
7

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题八

先做后对答案

12.解法一:设 m ? 2008 , an?1 ? 2an ? 2007an?1 的特征方程为: ? 2 ? 2? ? 2007 ? 0 , 特征根为 1 ? m ,结合 a0 ? 0 , a1 ? 1 ,得 an ? 由二项式定理得: an ?

1 2 m
k

[(1 ? m )n ? (1 ? m )n ] ;

1 2 m

[?Cnk m 2 ? ? (?1)k Cnk m 2 ] ;
k ?0 k ?0

n

k

n

1 ? Cn3 m ? 当 n 为奇数时, an ? Cn

? Cnn?2 m ? Cnn?3 m

n ?3 2

? Cnn m

n ?1 2

; ;

1 ? Cn3 m ? 当 n 为偶数时, an ? Cn

n?4 2

? Cnn?1m

n?2 2

1 于是, m an ? m Cn ,即 2008 n ,∴满足条件的最小正整数为 2008.

解法二:下面都是在模 2008 意义下的 a n ,则 an?1 ? 2an ? an?1 ,即 an?1 ? an ? an ? an?1 , ∴数列 {an } 在模 2008 意义下具有等差数列的特点; 又∵ a0 ? 0 , a1 ? 1 ,∴ an ? n ,于是有 2008 n ,∴满足条件的最小正整数为 2008. A 13.证明:连结 AG ,与 BP 交于点 F ' , ∵ OE ? AE ,∴ ?GAC 是等腰三角形, ∴ ?GAC ? ?GCA ,
D P G B C F O E

2?BAC ? ?BOC ? ?BPC ? ?BAC ??GCA ??PBA ;
于是可得: ?PBA ? ?BAG ,从而有 F ' 在 AB 的中垂线上; ∵ OD ? AD , F 在 AB 的中垂线上, ∴有 F? ? F ,即 A 、 F、 G 三点共线. 14.解: n 的最小值为 4. 若 n ? 3 ,不妨假设这 10 名学生生日的月份分别为 1,2,3,?,10,

当学生按生日排序为 4,3,2,1,7,6,5,9,8,10 时,存在一名教师至少要挑选前四名学 生中的两名,由于这两名学生生日的月份是逐渐减少的,且后六名学生生日的月份均大于前四 名学生生日的月份,因此这名教师不可能再挑选后六名学生;在余下的不超过两名教师中,一 定存在一名教师至少要挑选第五名至第七名学生中的两名,同理,这名教师不可能再挑选后三 名学生;余下的不超过一名教师也不可能挑选后三名学生,矛盾. 下面先证明:对于互不相同的有序实数列 a1 , a2 , ??? , am ;当 m ? 5 时,一定存在三个数
ai , a j , ak (i ? j ? k ) 满足: ai ? a j ? ak 或 ai ? a j ? ak .

证:设最大数和最小数分别为 as , at ,不妨假设 s ? t ;若 s ?1 ? t ,则 as , as ?1 , at 满足:
as ? as ?1 ? at ; s ?1 ? t ;

∵ m ? 5 ,∴要么在 as , as ?1 的前面,要么在 as , as ?1 的后面至少有两个数; 不妨假设在 as , as ?1 的后面有两个数 as ? 2 , as ?3 ,
8

2014 年高中数学联赛江苏初赛模拟试题八

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从而 as ? as?2 ? as?3 与 as?1 ? as?2 ? as?3 中一定有一个成立. 引用上面的结论,当 n ? 4 时,第一名教师至少可以挑选三名学生; 若余下的学生大于等于 5 名,则第二名教师也至少可以挑选三名学生; 这时剩下的学生的数目不超过 4 名,可以被两名教师全部挑选,∴ n 的最小值为 4.

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