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高中数学 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题4教案 新人教版必修5


二元一次不等式组与简单的线性规划问题
【知识网络】 1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法; 2、作二元一次不等式组表示的平面区域,会求最值; 3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。 【典型例题】 例 1: (1)已知点 P(x0,y0)和点 A(1,2)在直线 l : 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的异侧,则( ) A. 3x0 ? 2 y0 ? 0 C. 3x0 ? 2 y0 ? 8 B. 3x0 ? 2 y0 ? 0 D. 3x0 ? 2 y0 ? 8

答案: D。解析:将(1,2)代入 l 得小于 0,则 3x0 ? 2 y0 ? 8 ? 0 。 (2)满足 x ? y ? 2 的整点的点(x,y)的个数是 A.5 B.8 C.12 D.13 ( ) ( )

答案:D。解析:作出图形找整点即可。 (3)不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 表示的平面区域是

答案:C。解析:原不等式等价于 ?

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 或? ?x ? y ? 3 ? 0 ?x ? y ? 3 ? 0

两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域.

?x ? y ? 2 ? 0 y ? (4)设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 的最大值为 x ?2 y ? 3 ? 0 ?
答案:



3 3 3 y 。解析:过点 (1, ) 时, 有最大值 。 2 2 x 2

(5)已知 ?

?1 ? a ? b ? 2 ,求 t ? 4a ? 2b 的取值范围 ?2 ? a ? b ? 4



3 1 答案: [5,10] 。解析:过点 ( , ) 时有最小值 5,过点(3,1)时有最大值 10。 2 2
用心 爱心 专心 1

例 2:试求由不等式 y≤2 及|x|≤y≤|x|+1 所表示的平面区域的面积大小. 答案: 解:原不等式组可化为如下两个不等式组:

?x ? 0 ?x ? 0 ?y ? x ? y ? ?x ? ? ①? 或 ②? ?y ? x ?1 ? y ? ?x ? 1 ?y ? 2 ?y ? 2 ? ?
上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分. 它所围成的面积 S=

1 1 ×4×2- ×2×1=3. 2 2
2

例 3:已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x. (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式; (Ⅱ)若 h(x)=g(x)- ? f(x)+1 在[-1,1]上是增函数,求实数 ? 的取值范围。 答案: (Ⅰ)设函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点 Q ? x0 , y0 ? 关于原点的对称点为 P ? x, y ? ,

? x0 ? x ? 2 ? 0, ? x0 ? ? x, ? 即? 则? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? 2 ?
∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上 ∴ ? y ? x ? 2x,即y ? ?x ? 2x, 故g ? x ? ? ?x ? 2x
2 2 2

(Ⅱ) h ? x ? ? ? ?1 ? ? ? x2 ? 2 ?1 ? ? ? x ? 1
? ① 当? ? ?1时,h ? x ? ? 4x ? 1在??1,1?上是增函数,

? ? ?1

② 当? ? ?1时,对称轴的方程为x ?

1? ? . 1? ?

1? ? ⅰ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得? ? ?1. 1? ? 1? ? ⅱ) 当? ? ?1时, ? 1, 解得 ? 1 ? ? ? 0. 1? ? 综上,? ? 0.
例 4:要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规 格的小钢板的块数如下表所示:

今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得 所需三种规格成品,且使所用钢板张数量少?
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2

答案::设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,则

?2 x ? y ? 15 ? x ? 2 y ? 18 ? ? ? x ? 3 y ? 27 且 x,y 都是整数. ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?
求目标函数 z=x+y 取得最小值时的 x,y 的值. 如图,当 x=3,y=9 或 x=4,y=8 时,z 取得最小值. ∴需截第一种钢板 3 张,第二种钢板 9 张或第一种钢 板 4 张,第二种钢板 8 张时,可得所需三种规格成品,且使所用钢板张数最少. 【课内练习】 1.双曲线 x2 ? y 2 ? 4 的两条渐近线及过(3,0)且平行其渐近线的一条直线与 x=3 围 成一个三角形区域, 表示该区域的不等式组是
?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? A、 ? ?x ? y ? 3 ? 0 ?0 ? x ? 3 ? ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? B、 ? ?x ? y ? 3 ? 0 ?0 ? x ? 3 ? ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? C、 ? ?x ? y ? 3 ? 0 ?0 ? x ? 3 ? ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? D、 ? ?x ? y ? 3 ? 0 ?0 ? x ? 3 ?





答案: 解析: A。 双曲线 x2 ? y 2 ? 4 的两条渐近线方程为 y ? ? x , (3, 且平行于 y ? ? x 过 0) 的直线是 y ? x ? 3 和 y ? ? x ? 3 ,∴围成的区域为 A。 2. 给出平面区域如下图所示, 其中A 5, , 1, , 1, , ( 3) B ( 1) C ( 5) 若使目标函数z=ax+y(a>0) 取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是( ) A.

2 3

B.

1 2

C.2

D.

3 2

1 1 答案:B。解析: k AC ? ? ,??a ? ? , 2 2 1 即a ? 。 2

3.设集合 A ? {( x, y) | x, y,1 ? x ? y ? 是三角形的三边长 } ,则 A 所表示的平面区域 (不含边界的阴影部分)是 ( )

1 ? ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 1? x ? y ? 1 ? ? 答案:A。解析: ? x ? y ? 1 ? x ? y ,? ? x ? ,故选 A 2 ? y ? x ? 1? x ? y ? ? 1 ? ?y ? 2 ?
用心 爱心 专心 3

4.某实验室需购某种化工原料 106 千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35 千克,价格为 140 元;另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元.在满足需要的条件下,最 少要花费 元. 答案: 500。解析:设需第一种原料 x 袋,第二种原料 y 袋, ?
z ? 140x ? 120y ,∴过(1,3)时 zmin ? 500 元。

?35x ? 24y ? 106 ? x, y ? N
?

,令

?x ? y ? 2 ? 0 ? 5.已知 ? x ? y ? 4 ? 0 , ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?

C (7,9)

A
B (3,1)

求 z ?| x ? 2 y ? 4 | 的最大值为



答案:21。解析:可行域如图,当 x ? 3, y ? 1 时, ( x ? 2 y ? 4)min ? 1 ,于是可知可行域内 各点均在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的上方,故 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,化简得 z ? x ? 2 y ? 4 并平行移动,当过 C(7,9)时, zmax ? 21 。 6.要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格小 钢板的块数如下表所示: 类 型 A 规格 1 1
2 2

B 规格 2 1

C 规格 1 3

第一种钢板 第二种钢板

每张钢板的面积,第一种为 1m ,第二种为 2m ,今需要 A、B、C 三种规格的成品各 12、 15、27 块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小? 答案:解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,所用钢板面积为 zm 2 ,

? x ? y ? 12, ?2 x ? y ? 15, ? ? 则有 ? x ? 3 y ? 27, ? x ? 0, ? ?y ? 0 ?
作出可行域(如图) 目标函数为 z ? x ? 2 y 作出一组平行直线 x ? 2 y ? t (t 为参数).由 ?
? x ? 3 y ? 27, 9 15 9 15 得 A( , ), 由于点 A( , ) 不是 x ? y ? 12 2 2 2 2 ?

可 行 域 内 的 整 数 点 , 而 在 可 行 域 内 的 整 数 点 中 , 点 (4,8) 和 点 (6,7) 使 z 最 小 , 且
z min ? 4 ? 2 ? 8 ? 6 ? 2 ? 7 ? 20 .

答:应截第一种钢板 4 张,第二种钢板 8 张,或第一种钢板 6 张,第二种钢板 7 张,得所需三 种规格的钢板,且使所用的钢板的面积最小.

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4

7.已知 3≤x≤6,

1 x≤y≤2x,求 x+y 的最大值和最小值. 3

?x ? 3 ?x ? 6 ? 答案:原不等式组等价于 ? ?x ? 3y ? 0 ?2 x ? y ? 0 ?

作出其围成的区域如图所示, 将直线 x+y=0 向右上方平行移动, 当其经过点(3,1)时取最小值,当其经过(6,12)时取最大值. ∴(x+y) min=3+1=4, (x+y)max=6+12=18. 即 x+y 的最大值和最小值分别是 18 和 4. 8.一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料,甲种饮料的主要配方是每 3 份李子汁加一份 苹果汁,乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半.该厂每天能获得的原料是 2000L 李子 汁和 1000L 苹果汁,又厂方的利润是生产 1L 甲种饮料得 3 元,生产 1L 乙种饮料得 4 元.那 么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少,才能获利最大? 答案:(1)列表 李子汁 苹果汁 获得利润 分配方案 3/4 1/4 3元 x 甲 乙 1/2 受限条件 2000L (2)线性约束条件

1/2
1000L

4元

y

1 ?3 ? 4 x ? 2 y ? 2000 ? ? 1 x ? 1 y ? 1000 ? 2 ?4 x?0 ? ?y ? 0 ?
(3)作出可行域:图略。 (4)构建目标函数 z ? 3x ? 4 y ,即 y ? ?

3 1 x? z 4 4

(5)求出满足条件的最大值: x ? 2000, y ? 1000 时, z 取到最大值 10000 9. 预算用 2000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子, 希望使桌椅的总数尽可能的 多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍,问桌、椅各买多少才行? 答案::设桌、椅分别买 x,y 张,则

?50x ? 20 y ? 2000 ?y ? x ? 且 x,y∈N* ? y ? 1.5 x ? ? x ? 0, y ? 0 ?

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5

200 ? ?x ? 7 ?50x ? 20 y ? 2000 ? 由? 解得 ? ?y ? x ? y ? 200 ? 7 ?

∴点 A 的坐标为(

200 200 , ) . 7 7

? x ? 25 ?50x ? 20 y ? 2000 ? 由? 解得 ? 75 ? y ? 1.5 x ?y ? 2 ?

∴点 B 的坐标为(25,

75 ) . 2

所以,满足约束条件的可行域是图中的阴影部分. 由图形直观可知,目标函数 z=x+y 在可行域内的最优解为(25, 故 y 取 37. 【作业本】 A组 1. 如图所示的平面区域 (阴影部分)用不等式表示为 , A、 3x ? y ? 3 ? 0 B、 3x ? y ? 3 ? 0 C、 y ? 3x ? 3 ? 0 D、 y ? 3x ? 3 ? 0 答案:C。解析:用(0,0)代入验证。 ∴买桌子 25,椅子 37 是满足题设的最好选择.

75 ) ,但 x,y∈N*, 2

x
3





- O 1 2. 设点 P( x, y) , 其中 x, y ? N , 满足 x ? y ? 3 的点 P 的个数为
A、10 个 B、9 个 C、3 个 答案:A。解析:x,y 可取 0,1,2,3 且满足条件即可。 3.不等式组 ?

y
( D、无数个 ( ) )

?y ? x ,表示的区域为 D,点 P1(0,-2) 2(0,0) ,P ,则 ?x ? y ? 1 ? y ? ?3 ?

A. P ? D且P2 ? D 1

B. P ? D且P2 ? D C. P ? D且P2 ? D D. P ? D且P2 ? D 1 1 1

答案:C。解析:代入检验。

? x ? y ? 5, ?3 x ? 2 y ? 12, 4. x, y 满足 ? 设 则使得目标函数 z ? 6 x ? 5 y 的值最大的点 ( x, y ) 是 ? 0 ? x ? 3, ? ?0 ? y ? 4. ?
答案: (2,3) 。解析:作出可行域即可发现。



5.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力 限制数据列在下表中,那么为了获得最大利润,甲、乙两种货物应各托运的箱数为 货物 甲 乙 托运限制 体积(每箱) 5 4 24 重量(每箱) 2 5 13
?5 x ? 4 y ? 24 ,∴ z ? 20 x ? 10 y , ? 2 x ? 5 y ? 13
6

利润(每箱) 20 10

答案:4 ,1。解析:设甲、乙各托运的箱数为 x,y,则 ?

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当过(4,1)时有最大值。 6.试求由不等式|x|+|y|≤1 所表示的平面区域的面积大小.

? x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0 ? x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0 ? 答 案 : 原不等式等价于 ? ? x ? y ? ?1, x ? 0, y ? 0 ? x ? y ? ?1, x ? 0, y ? 0 ?
其表示的平面区域如图中阴影部分. ∴S=( 2 )2=2. 7.已知 f ( x) ? (3a ? 1) x ? b ? a, x ? [0,1] ,若函数 f ( x) ? 1 恒成立,求 a+b 的最大值。 答案:已知 f ( x) ? 1 恒成立,则 ?
?b ? a ? 1 ? 0 作出可行域 ?b ? 2 a ? 2 ? 0
b b ? a ?1 ? 0

A
a

令 z ? a ? b ,当 z ? a ? b 经过 A 时,z 有最大值, 由?
?b ? a ? 1 ? 0 1 4 5 解得 A( , ) ,∴ zmax ? 。 b ? 2a ? 2 ? 0 3 3 3 ?

b ? 2a ? 2 ? 0

8.某企业生产 A、B 两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表: 产品品种 A 产品 B 产品 劳动力(个) 3 10 煤(吨) 9 4 电(千瓦) 4 5

已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元,生产每吨 B 产品的利润是 12 万元,现因条件限 制,该企业仅有劳动力 300 个,煤 360 吨,并且供电局只能供电 200 千瓦,试问该企业生产 A、B 两种产品各多少吨,才能获得最大利润? 答案:设生产 A、B 两种产品各为 x、y 吨,利润为 z 万元,则

?3x ? 10 y ? 300 ?9 x ? 4 y ? 360 ? ? ?4 x ? 5 y ? 200 ? x ? 0, y ? 0 ?
z=7x+12y 作出可行域,如图阴影所示. 当直线 7x+12y=0 向右上方平行移动时,经过 M(20,24)时 z 取最大值. ∴该企业生产 A、B 两种产品分别为 20 吨和 24 吨时,才能获得最大利润.

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7

B组

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 1.若 x,y 满足约束条件 ? y ? 0 ,则 x+2y 的最大值为 ?x ? 0 ?
A.0 B.





1 2

C.2

D.以上都不对

答案:C 解析:约束条件所表示的可行域如图所示. 当直线 x+2y=0 平行移动到经过点(0,1)时, x+2y 取到最大值 0+2×1=2. 2.已知点 A(?3, ?1) 与点 B(4, ?6) 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围 ( ) D、(??, ?7) ? (24, ??) A、 (?24,7) B、(?7, 24) C、(??, ?24) ? (7, ??) 答案:B。解析: (?9 ? 2 ? a)(12 ? 12 ? a) ? 0,??7 ? a ? 24 。 3.不等式组 ?

?y ? x ?1 表示的平面区域的面积为 ? y ? ?3 x ? 1
B、





A、 2

3 2

C、

3 2 2

D、2

1 1 1 1 3 答案:B。解析:区域的顶点 ( , ? ),(0,1),(?1, ?2),? S ? ? 2 ? ( ? 1) ? 。 2 2 2 2 2

4. ?ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0, 4), B(?2,0), C (2,0) ,则 ?ABC 内任意一点 ( x, y ) 所满足的条件为 . 答案:

?y ? 0 ? ?2 x ? y ? 4 ? ? 。解析:分别计算三边的直线方程,然后结合图形可得。 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?

5.已知点 P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式 2 x ? by ? 1 ? 0 表示的平面区 域内,则 b 的取值范围是
2 2


?2 ? 2b ? 1 ? 0 3 1 ,? ? ? b ? ? 。 2 2 ??2 ? 2b ? 1 ? 0

答案: (? 3 ,? 1 ) 。 解析: 1, P ( —2) 关于原点的对称点为 (—1, , ? 2)∴ 6. 已知 ?ABC 的三边长 a, b, c 满足 b ? c ? 2a ,

y

c ? a ? 2b ,求

b 的取值范围. a
?1

y ? 1 ? 2x
1
A
O

?1 ? x ? y ? 2 ?x ? y ? 1 ? 2x a c ? 答案:解:设 x ? , y ? ,则 ? , b a y ? x ?1 ? ? x ? 0, y ? 0 ?
作出平面区域(如右图) ,

D

C x ? y ?1
2

B ?1

x

y ? x ?1

x? y ? 2 x ? y ?1

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8

2 1 3 1 由图知: A( , ) , C ( , ) , 3 3 2 2



2 3 2 b 3 ? x ? ,即 ? ? . 3 2 3 a 2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 7. 已知x、y满足不等式 ? x ? y ? 3 ? 0 ,求z=3x+y的最大值与最小值。 y ? y ? ?1 ?
4

3
2
1

?4

?3

?2

?1 0 ?1 ?2

1

2

3

4

x

?3

答案:最大值 3X4-1=-11 最小值 3X(-4)-1=-13 ?4 8.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180 t 支援物资的任务,该公司有 8 辆载重为 6 t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员,每辆卡车每天往 返的次数为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次,每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元,B 型车为 504 元,请你给该公司调配车辆,使公司所花的成本费最低. 答案:设每天调出 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,公司所花的成本为 z 元

?x ? 8 ?y ? 4 ? ? ? x ? y ? 10 ? ?4 x ? 6 ? 3 y ? 10 ? 180 ? x ? 0, x ? Z ? ? y ? 0, y ? Z ?
z=320x+504y(其中 x,y∈Z) 作出上述不等式组所确定的平面区域如图阴影所示即可行域. 由图易知,当直线 z=320x+504y 在可行域内经过的整数点中,点(5,2)使 z=320x +504y 取得最小值,zmin=320×5+504×2=2608. ∴每天调出 A 型车 5 辆,B 型车 2 辆,公司所花成本最低.

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