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山东省淄博实验中学高三第二学期4月份教学诊断考试数学文试题(附答案)

淄博实验中学高三年级第二学期第一次诊断考试试题 数 学(人文)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1.设

为虚数单位.若复数

坐标为( )

是纯虚数,则复数

在复面上对应的点的

A.

B.

C.

D.

2.已知集合 取值范围为( )

A.

B.

C.

3.如图是为了求出满足

D. 的最小偶数 n,那么在

,若

,则实数 m 的



两个空白框中,可以分别填入( )

A. A>1000 和 n=n+1 B. A>1000 和 n=n+2 C. A 1000 和 n=n+1 D. A 1000 和 n=n+2

4.已知函数

,若

,则 a 为( )

A. 1 B.

C.

D.

5.函数





)的图象可能为( )

6.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅,提出了著名的祖暅原理:“缘幂势即同,则积不容异也”.“幂”
是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高几何体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相 等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为( )

(第 6 题图)

(第 11 题图)

A.

B.

C.

D.

7.直线

与 y 轴的交点为 P,点 P 把圆

短的一段的比值等于 ( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

的直径分为两段,则较长的一段与较

8.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,向量 =(a+c,a-b), =(b,a-c),若



则∠C=( )

A.

B. C.

D.

9. 已知数列 的前 项和为 ,



A.128 B.256 C.512 D.1024

,则

()

10.已知锐角 满足

,则

()

A. B.

C. D.

11.已知 O 为坐标原点,双曲线

的左、右焦点分别为 , ,若右支上有点 M 满足

,则双曲线的离心率为( )

A.

B. C.

D.

12.已知数列

的前 项和为 ,



的最小值为( )

,且满足

,已知

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

13. 已知

则当 a 的值为 时,

取得最大值.





14. 若平面区域 _______.

15.已知平面

,直线

夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是 .给出下列命题:

①若

,则

;②若

,则



③若

,则

;④若

其中是真命题的是 .(填写所有真命题的序号).

,则

.

16.若 是函数

的两个不同的零点, 且

这三个数可适当排序

后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则

的值等于________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)某公司为了提高利润,从 2012 年至 2018 年每年对生产环节的改进进行投资,投资 金额与年利润增长的数据如下表:

年份

2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

投资金额(万元)

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

年利润增长(万元) 6.0

7.0

7.4

8.1

8.9

9.6

11.1

(I)请用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程;如果 2019 年该公司计划对生产环节的改进的投资金额是 8 万元,估计该公司在该年的年利润增长是多少?(结果保留 2 位小数)
(II)现从 2012—2018 年这 7 年中抽取 2 年进行调查,记 =年利润增长-投资金额,求这两年都是 >2 (万元)的概率。

参考公式:回归方程

中,

18. (本小题满分 12 分)在

中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 .

(I)求角 C; (II)若



的面积为

,M 为 AB 的中点,求 CM 的长.

19. (本小题满分 12 分)如图所示的几何体 P-ABCD 中,四边形 ABCD 为菱形,

,AB=a,

, 一点.

,平面 ABCD 平面 PAB,

,E 为 PD 的中点,G 为平面 PAB 内任

(I)在平面 PAB 内,过 G 点是否存在直线 l 使 OE//l?如果不存在,请说明理由,如果存在,请说明作法; (II)过 A、C、E 三点的平面将几何体 P-ABCD 截去三棱锥 D-AEC,求剩余几何体 AECBP 的体积.

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 :

的左,右焦点分别为

,离心率为 ,

是 上的一个动点。当 为 的上顶点时,

的面积为 。

(I)求 的方程; (II)设斜率存在的直线

与 的另一个交点为 。若存在点

,使得

,求 的取值范围。

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lnx (I)若函数 F(x)=tf(x)与函数 g(x)=x2﹣1 在点 x=1 处有共同的切线 l,求 t 的值;

(II)证明:



(III)若不等式 mf(x)≥a+x 对所有的

都成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分 10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为

( 为参数 ,在以原点为极点,x 轴正半轴

为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为



(I)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角; (II)设点 P(0, 2),l 和 C 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|.

23. (本小题满分 10 分)【选修 4-5:不等式选讲】

函数

,其中

,若

的解集为



(I)求 a 的值;(II)求证:对任意

,存在

,使得不等式

成立.

高三年级第二学期第一次诊断考试数学文试题答案 2019.4

1.【答案】D 【解析】因为复数

是纯虚数,所以

,解得: ,

所以复数 可化为

,所以复数

2.【答案】B 【解析】对集合 A,由

在复面上对应的点的坐标为

得:

或.

.故选:D

对集合 B,由



,所以

得:

.

(舍去)或

. 故选:B

3.【答案】D 【解析】由题意,因为

,且框图中在“否”时输出,所以判定框内不能输入 A>1000,

故填 A 1000,又要求 n 为偶数且初始值为 0,所以矩形框内填 n=n+2,故选 D. 4.【答案】D 【解析】由题意可得:

5.【答案】D

,解得:

.本题选择 D 选项.

6.【答案】B 【解析】结合三视图,还原直观图,是一个棱长为 2 的正方体挖去一个半圆柱得到的,



,故选 B。

7.【答案】A 【解析】令 代入

可得

,圆心坐标为



则 与圆心的距离为 于 2。故答案为 A.

,半径为 6,可知较长一段为 8,较短一段 4,则较长一段比上较短一段的值等

8.【答案】B 【解答】∵向量



,若

,则





,即

,∴由余弦定理得



,∴

. 故选:B.

9. 【答案】B 【解析】当 n=1 时,S2=2S1-1,得 a1+a2=2a1-1,a2=a1-1=1,

当 n≥2 时,由 Sn+1=2Sn-1,得 Sn=2Sn-1-1,两式相减得 an+1=2an (n≥2,n∈N*),

所以数列{an}从第二项起成等比数列,且公比 q=2. 因此 an=1·2n-2=2n-2 (n≥2,n∈N*)

所以 a10=210-2=28=256.

10.【答案】C 【解析】因为锐角 满足

,所以 也是锐角,

由三角函数的基本关系式可得





,故选 C.

11.【答案】A 【解析】设



, 由题可得:

,



中,由余弦定理可得:

,整理得:

.



中,由余弦定理可得:

,整理得:

.

由双曲线定义得:

,即:

.整理得:

.故选:A

12.【答案】C 【解析】由



,所以数列{

}是等差数

列,公差是 1,首项是



当且仅当

时,

的最小值为 13.【答案】4 【解析】

。所以
,a6=0,其它的
,也等于

。又已知

,则



,则

,所以故选 C。

14.【答案】

15.【答案】③④ 【解析】对于①,若 ,

,则 或 相交,所以该命题是假命题;

对于②,若 ,

,则 可能平行、相交、异面,所以该命题是假命题;

对于③④可以证明是真命题. 故答案为:③④

16.【答案】9

17. 解:(Ⅰ)







-----------2 分

那么回归直线方程为:

…………4 分



代入方程得

即估计该公司在该年的年利润增长大约为 11.43 万元. …………6 分 (Ⅱ)由题意可知,

年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018

1.5 2 1.9 2.1 2.4 2.6 3.6
…………7 分 设 2012 年--2018 年这 7 年分别定为 1,2,3,4,5,6,7;则总基本事件为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6), (4,7),(5,6),(5,7),(6,7),共有 21 种结果,………………………………………………………………………… 9分

选取的两年都是 分

万元的情况为:(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7),共 6 种,………11

所以选取的两年都是

万元的概率

18.【解析】(1)由平方关系可得:

,整理得到

.---------------------------------------------------------------12 分 再由正弦定理可化为

,即

.

又由余弦定理,得

. 因为

,所以

.-----------------------------------------6 分

(2)因为

,所以

为等腰三角形,且顶角

.故



中,由余弦定理,得

,所以 .

,解得

.-----------------------------------------12 分

19. 【解析】(1)过 点存在直线 l 使 OE//l,理由如下:

由题可知 为 的中点,又 为 的中点,所以在

中,有

.

若点 在直线 上,则直线 即为所求作直线 l,所以有 OE//l;

若点 不在直线 上,在平面 内,过点 作直线 l,使





,所以 OE//l,即过 点存在直线 l 使 OE//l. -----------------------------------------4 分

(2)连接 , ,则平面 将几何体分成两部分:

三棱锥

与几何体

(如图所示).

因为平面

平面 ,且交线为 ,



,所以

平面

. 故 为几何体

的高.

又四边形

为菱形,





,所以



所以

.

又 所以 所以几何体

,所以 的体积

平面

,OE 是三棱锥 E-ACD 的高。

, .-----------------------------------------12 分

20.解:(1)设椭圆的半焦距为 c。因为

,所以,

,………………1 分



,………………2 分 所以

.………………3 分

所以 C 得方程为

………………4 分

(2)设直线 PQ 的方程为

,PQ 的中点为

.

当 k=0 时,直线成为 x 轴,原点 O(0,0)符合题意,即 t=0 符合题意.………………5 分

当 k≠0 时,由 则 所以

得 ………………7 分

………………6 分

即 因为

………………8 分 ,所以 TN⊥PQ,则 KTN·k=-1,………………9 分

所以

………………10 分

因为

,所以

.………………11 分

综上,t 的取值范围为

.………………12 分

21.【解析】(Ⅰ)g′(x)=2x,F(x)=tf(x)=t lnx,F′(x)=t f ′(x)= , ∵F(x)=tf(x)与函数 g(x)=x2﹣1 在点 x=1 处有共同的切线 l,∴k=F′(1)=g′(1),即 t=2,-------------2 分

(Ⅱ)令 h(x)=f(x)﹣x,则 h′(x)=

,则 h(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,∴

h(x)的最大值为 h(1)=-1,∴| h(x)| 在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,最小值是 1。

设 G(x)=

,G′(x)=



故 G(x)在(0,e)上是增函数,在(e,+∞)上是减函数,故 G(x)max=





;-------------------------------------------------------------------------------------------6 分

(Ⅲ)不等式 mf(x)≥a+x 对所有的

都成立,

则 a≤ mlnx﹣x 对所有的

都成立,

令 H(m)=mlnx﹣x,

,是关于 m 的一次函数,

∵x∈[1,e2],∴lnx∈[0,2],∴当 m=0 时,H(m)取得最小值﹣x, 即 a≤﹣x,当 x∈[1,e2]时,恒成立, 故 a≤﹣e2. ----------------------------------------------------------------------------------------------12 分

22. 【解析】(1)由

消去参数 α,得

,即 C 的普通方程为

. ……………2 分

由 ρsin

= ,得 ρsin θ-ρcos θ=2,(*) ……………3 分



代入(*),化简得 y=x+2,所以直线 l 的倾斜角为 .……………4 分

(2)由(1)知,点 P(0,2)在直线 l 上,可设直线 l 的参数方程为

(t 为参数),……………5 分



(t 为参数),代入

并化简,得 5t2+18 t+27=0,……………6 分

Δ=(18 )2-4×5×27=108>0,设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,

则 t1+t2=- <0,t1t2= >0,所以 t1<0,t2<0, ……………8 分

所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=

. ……………10 分

23.【解析】(1)由题意知 不满足题意,……………1 分

当 时,由







,则 a=2 ……………4 分

(2)设



对于任意实数 ,存在

,使得

只需



,……………5 分

因为

,当

时,

……………8 分



,仅当

所以原命题成立. ……………10 分

取等号



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