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高三一轮复习12简单的三角恒等变换老师版


高三总复习一轮 2014 年高考
三角恒等变换专题复习
教学目标: 1、能 利用单位圆中的三角函数线推导出 式; 2、理解同角三角函数的基本关系式: 3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。 教学重难点: 可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 【基础知识】 一、同角的三大关系: ① 倒数关系 tan ? ?cot ? =1 ③ 平方关系 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 温馨提示: (1)求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角 三角形速解。[来源:学+科+网] (2)利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“ ? ”号。 二、诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限 用诱导公式化简,一般先把角化成 ② 商数关系 ;

?
2

? ? , ? ? ? 的正弦、余弦、正切的诱导公

sin ? cos ? = tan ? ; = cot ? cos ? sin ?

k? ? ? , k ? z 的形式,然后利用诱导公式的口诀化 2

简(如果前面的角是 90 度的奇数倍,就是 “奇”,是 90 度的偶数倍,就是“偶”;符号看象 限是,把 ? 看作是锐角,判断角 “+”还是“--”,就加在前面) 。 用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间 (0 ,360 ) 的角, 再变到区间 (0 ,180 ) 的角,再变到区间 (0 ,90 ) 的角计算。 三、和角与差角公式 :
0 0
0 0

k? ? ? 在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 2
0 0

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? 变 用 tan ? ±tan ? = tan ( ? ±? )(1 ? tan ? tan ? )
四、二倍角公式:

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sin 2? = 2sin ? cos? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
五、注意这些公式的来弄去脉 这些公式都可以由公式 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 推导出来。 六、注意公式的顺用、逆用、 变用。 如:逆用 sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin(? ? ? )

1 sin ? cos ? ? sin 2? 2 co2 ? ? s 2 1 ? c o s? 4 2

变用 c o 2 ? ? s

1 ? c o s? 2 2

2 s i n? ?

1 ? c o s? 2 2

七、合一变形(辅助角公式) 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的
2 2 ? 其中 tan ? ? y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。 sin ? ? ? cos ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ,

? . ?

八、万能公式

sin 2? ?

2 tan? 1 ? tan 2 ?

c o s? ? 2

2 1? t a n? 2 1? t a n?

t a n? ? 2

2t a n ? 2 1? t a n?

九、用 sin ? , cos? 表示 tan

?
2

tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? sin ?

十、积化和差与和差化积 积化和差

sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ; cos? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] ; cos? cos ? ? [cos( ? ? ) ? cos( ? ? )] ; ? ? sin ? sin ? ? [cos( ? ? ) ? cos( ? ? )] . ? ?

和差化积

s i n ? s i n ? 2s i n ? ?

? ?? ? ??
2 2

cos s in

? ??
2

s i n ? s i n ? 2c o s ? ?

? ??
2

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c o ? ? c o ? ? 2c o s s s

? ??

2 2 ? ?? ? ?? c o ? ? c o ? ? 2s i n s s s in 2 2

cos

? ??

十一、方法总结 1、三角恒等变换方法 观察(角、名、式)→三变(变角、变名、变式) (1) “变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线, α+β α+β 如 α=(α+β)-β=(α-β)+β, 2α=(α+β)+ (α-β), 2α=(β+α)-(β-α),α+β=2· , = (α- 2 2 β α )-( -β)等. 2 2 (2)“变名”指的是切化弦(正切余切化成正弦余弦 tan ? ?

sin ? cos ? ), , cot ? ? cos ? sin ?

(3)“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变 形公式展开和合并等。 2、恒等式的证明方法灵活多样 ①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简 时多采用此法,即由繁到简. ②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一 个式子. ③比较法, 即设法证明: "左边-右边=0" 或" 左 =1"; 右

④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显 然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.

例 1: 已知 tan(? ? ? ) ? (1)
3 ) ; 22

2 ? 1 ? ,tan( ? ? ) ? , 那么 tan(? ? ) 的值是_____ (答: 5 4 4 4

(2)已知 0 ? ? ?

?
2

? ? ? ? ,且 cos( ? ?
490 ) ; 729

?

1 ? 2 ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 2 9 2 3

cos( ? ? ? ) 的值(答:

3 (3)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函 5 3 4 3 数关系为______(答: y ? ? 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) 5 5 5

题型 2:三角函数名互化(切化弦) 例 2(1)求值 sin 50? (1 ? 3 tan10? ) (答:1) ;

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(2)已知
sin ? cos ? 2 1 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值(答: ) 1 ? cos 2? 3 8

题型 3:公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? 。 例 3: (1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ?1 ,则 cos( A ? B ) =_____ 2 (答: ? ) ; 2 3 (2)设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ? ,则此 4 三角形是____三角形(答:等边)
1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? 2 2 2 2 与升幂公式: 1 ? cos 2? ? 2cos ? , 1 ? cos 2? ? 2sin ? )。

题型 4:三角函数次数的降升(降幂公式: cos 2 ? ?

1 1 1 1 3 ? ? ? cos 2? 为_____(答: sin ) 例 4:(1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简 ; 2 2 2 2 2 2 5 (2)函数 f ( x ) ? 5 sin x cos x ? 5 3 cos 2 x ? 3( x ? R ) 的单调递增区间为 2 ? 5? ___________(答: [ k? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) 12 12

题型 5:式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 例 5: (1)求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin

2 ?

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2;

2 1 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 2 (答: 1 cos 2 x ) (2)化简: ? ? 2 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4
题型 6:常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? tan ? ? sin ? ?? 等) 。 4 2 3 例 6:已知 tan ? ? 2 ,求 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 3cos2 ? (答: ). 5

2

题型 7:正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 x cos x ”的内存联系――“知一求二” 。 sin

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例 7: (1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? 这里 t ? [? 2, 2] ;
4? 7 (2)若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。 (答: ? ) ; 2 3 sin 2? ? 2sin 2 ? ? ? (3) 已知 试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值 (答: ? k ( ?? ? ) , 1 ? tan ? 4 2 1? k ) 。

t 2 ?1 __(答: ? ),特别提醒: 2

题型 8:求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要 注意选择,其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条 件易求出此三角函数值) 。 例 8: 若 ? , ? ? (0, ? ) , a ? 、tan ? 是方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的两根, (1) 且t 则求 ? ? ? n 3? 的值______(答: ) ; 4 ? (2) ABC 中, 则 ( ; ? 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1 , ?C =_______ 答: ) 3 (3)若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 2? ). ? ? ? 的值(答: 3

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三角恒等变换
一、选择题 1、 sin105? cos105? 的值为 A.
1 4

( B.-
1 4

) D.-
3 4

C.

3 4

2、已知 tan(? ? ? ) ?

A. 3、 sin
A.0

?

1 6 ? 3 cos

?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,则 tan(? ? ) 等于 5 4 4 4 13 3 B. C. 22 22





D. (

13 18

12

12

的值为
C.2
tan ? tan ?

)

B. ? 2

D. 2

4、 若 sin ?? ? ? ? ? 1 ,sin ?? ? ? ? ? 1 ,则
2 3
A.5






1 6

B .? 1

C. 6

D.

5、 已知锐角 ?、? 满足 sin ? ? 5 , cos ? ? 3 10 ,则 ? ? ? 等于
A. 3? 4
B.


D . k? ? 2 3? 4



?
4



5 3?
4

10

C.

?
4

?k ? Z?

二、填空题
3 ? ? 3? ? 6. 已知 cos ? = ,且 ? ? ? , 2? ? ,则 cos( ? ? )=____. 5 3 ? 2 ?

7. tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20 tan 40? 的值是 8
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?

.
6 , 2

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设 a ? sin140 ? cos140 , b ? sin160 ? cos160 , c ? 则 a, b, c 大小关系

9

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已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 , 那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为

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三、解答题 10. 已知 ? , ? 为锐角, tan ? ?
10 1 , sin ? ? ,求 ? ? 2? . 10 7

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11
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5 1 已知 tan ? ? ? , cos ? ? , ? , ? ? (0, ? ) 5 3 (1)求 tan(? ? ? ) 的值;

(2)求函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的最大值.

12. 已知函数 f ( x) ? 5sin x cos x ? 5 3 cos 2 x ?
( 1函数 f ( x) 的最小正周期; )

5 ,求: 3 (其中 x ?R ) 2

函 ( 2 ) 数 f ( x) 的单调区间; 函 ( 3 ) 数 f ( x) 图象的对称轴和对称中心.

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《三角恒等变换》课时作业参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 6.
3? 4 3 10

1 B

2 C

3 B

4 A

5 C

7.

3

8. a<c<b

9.

1 7 、 3 9

三、解答题 10.
? ; 4

11.(1) 1; (2) 5
?
12 ? , k? ? 5? ? 5? 11? ? ,减区间:?k? ? , k? ? ,其中 k ? ? 12 12 ? 12 ? ? ? ?

12. (1) ? ; (2)增区间:?k? ? ? Z; (3)对称轴方程: x ?

k? 5? ? , 2 12

对称中心: ? ?

k? ? ? ? , 0 ? ,其中 k ? Z。 ? 2 6 ?


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