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2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-5教学课件:第一讲 二 2 绝对值不等式的解法


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2.绝对值不等式的解法

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1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法

只需将ax+b看成一个整体,即化成|x|≤a,|x|≥a(a>0)型
不等式求解. |ax+b|≤c(c>0)型不等式的解法:先化为 -c≤ax+b≤c , 再由不等式的性质求出原不等式的解集. 不等式|ax+b|≥c(c>0)的解法:先化为 ax+b≥c ax+b≤-c 或

,再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集.

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2.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的 解法

①利用绝对值不等式的 几何意义 求解,体现数形
结合思想,理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以 准确的几何解释是解题关键.

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②以绝对值的 零点 为分界点,将数轴分为几个区

间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思
想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负性,进而 去掉绝对值符号是解题关键. ③通过构造函数,利用函数的图像求解,体现函 数与方程的思想,正确求出函数的零点并画出函数图

像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键.

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[例1]

解下列不等式:

(1)|5x-2|≥8;(2)2≤|x-2|≤4. [思路点拨] 求解. 利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法

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[解 ] 6 - , 5

(1)|5x-2|≥8?5x-2≥8或5x-2≤-8?x≥2或x≤

6 ∴原不等式的解集为{x|x≥2或x≤- }. 5
? ?|x-2|≥2, (2)原不等式价于? ? ?|x-2|≤4.

由①得x-2≤-2,或x-2≥2, ∴x≤0,或x≥4. 由②得-4≤x-2≤4, ∴-2≤x≤6. ∴原不等式的解集为{x|-2≤x≤0,或4≤x≤6}.
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|ax+b|≥c和|ax+b|≤c型不等式的解法: ①当c>0时,|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c, |ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c. ②当c=0时,|ax+b|≥c的解集为R,|ax+b|<c的解

集为?.
③当c<0时,|ax+b|≥c的解集为R,|ax+b|≤c的解集 为?.

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1.解下列不等式:
(1)|3-2x|<9;(2)|x-x2-2|>x2-3x-4; (3)|x2-3x-4|>x+1 解:(1)∵|3-2x|<9,∴|2x-3|<9. ∴-9<2x-3<9. 即-6<2x<12. ∴-3<x<6.

∴原不等式的解集为{x|-3<x<6}.

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(2)法一:原不等式等价于 x-x2-2>x2-3x-4 或 x-x2-2< -(x2-3x-4). ∴原不等式的解集为{x|x>-3}. 法二:∵|x-x2-2|=|x2-x+2|, 12 7 而 x -x+2=(x- ) + >0, 2 4
2

∴|x-x2-2|=|x2-x+2|=x2-x+2.故原不等式等价于 x2-x +2>x2-3x-4?x>-3. ∴原不等式的解集为{x|x>-3}.
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(3)不等式可转化为x2-3x-4>x+1或x2-3x-4<-x-1, ∴x2-4x-5>0或x2-2x-3<0. 解得x>5或x<-1或-1<x<3, ∴不等式的解集是(5,+∞)∪(-∞,-1)∪(-1,3).

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[例2]

解不等式|x-3|-|x+1|<1. 解该不等式,可采用三种方法:(1)利用绝

[思路点拨]

对值的几何意义;(2)利用各绝对值的零点分段讨论;(3)构 造函数,利用函数图像分析求解.

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[解]

法一:在数轴上-1,3,x 对应的点分别为 A,C,

1 P,而 B 点对应的实数为 ,B 到 C 点的距离与到 A 点距离 2 之差为 1.

由绝对值的几何意义知,当点 P 在射线 Bx 上(不含 B 1 点)时不等式成立,故不等式的解集为{x|x> }. 2

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? ?x<-1 法二:原不等式?(1)? ? ?-?x-3?+?x+1?<1 ? ?-1≤x<3 或(2)? ? ?-?x-3?-?x+1?<1 ? ?x≥3 或(3)? ? ??x-3?-?x+1?<1

1 (1)的解集为?,(2)的解集为{x| <x<3}, 2 (3)的解集为{x|x≥3}. 1 综上,原不等式的解集为{x|x> }. 2
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法三:将原不等式转化为|x-3|-|x+1|-1<0, 构造函数 y=|x-3|-|x+1|-1, ?3, ? 即 y=?-2x+1, ? - 5, ? x≤-1, -1<x<3, x≥3.

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作出函数的图像,它是分段函数, 1 函数与 x 轴的交点是( ,0),由图像可知, 2 1 当 x> 时,有 y<0, 2 即|x-3|-|x+1|-1<0, 1 所以原不等式的解集是{x|x> }. 2

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|x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式 的三种解法:分区间(分类)讨论法、图像法和几何法.

分区间讨论的方法具有普遍性,但较麻烦;几何法和
图像法直观,但只适用于数据较简单的情况.

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2.解不等式|x-2|-|x+7|≤3.
解:令x+7=0,x-2=0得x=-7,x=2. ①当x<-7时, 不等式变为-x+2+x+7≤3, ∴9≤3.∴ 解集为空集.

②当-7≤x≤2时,
不等式变为-x+2-x-7≤3,

即x≥-4.∴-4≤x≤2.
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③当x>2时,

不等式变为x-2-x-7≤3,
即-9≤3恒成立,∴x>2. ∴原不等式的解集为[-4,+∞].

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3.解不等式|2x-1|+|3x+2|≥8.
2 解:(1)x≤- 时, 3 |2x-1|+|3x+2|≥8?1-2x-(3x+2)≥8. ?-5x≥9. 9 9 ?x≤- ∴x≤- ; 5 5 2 1 (2)- <x< 时,|2x-1|+|3x+2|≥8?1-2x+3x+2≥8 3 2 ?x+3≥8 ? x≥ 5 ∴x∈?;
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1 (3)x≥ 时,|2x-1|+|3x+2|≥8?5x+1≥8 2 ?5x≥7 7 ?x≥ , 5 7 ∴x≥ . 5 9 7 ∴原不等式的解集为(-∞,- ]∪[ +∞). 5 5

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[例3]

已知不等式|x+2|-|x+3|>m.

(1)若不等式有解;

(2)若不等式解集为R;
(3)若不等式解集为?,分别求出m的范围. [思路点拨] 解答本题可以先根据绝对值|x-a|的意义或

绝对值不等式的性质求出|x+2|-|x+3|的最大值和最小值, 再分别写出三种情况下m的范围.
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[解 ]

法一:因|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任

意一点P(x)与两定点A(-2),B(-3)距离的差. 即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|.

由图像知(|PA|-|PB|)max=1,
(|PA|-|PB|)min=-1. 即-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)若不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小 即可,即m<1,m的范围为(-∞,1);
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(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,m只要比 |x+2|-|x+3|的最小值还小,即m<-1,m的范围为(-∞, -1); (3)若不等式的解集为?,m只要不小于|x+2|-|x+3| 的最大值即可,即m≥1,m的范围为[1,+∞) 法二:由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-(x+3)|=1,|x+3| -|x+2|≤|(x+3)-(x+2)|=1, 可得-1≤|x+2|-|x+3|≤1.

(1)若不等式有解,则m∈(-∞,1).
(2)若不等式解集为R,则m∈(-∞,-1). (3)若不等式解集为?,则m∈[1,+∞).
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问题(1)是存在性问题,只要求存在满足条件的x
即可;不等式解集为R或为空集时,不等式为绝对不 等式或矛盾不等式,属于恒成立问题,恒成立问题 f(x)<a恒成立?f(x)max<a,f(x)>a恒成立?f(x)min>a.

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4.把本例中的“>”改成“<”,即|x+2|-|x+3|<m时,分别
求出m的范围. 解:由例题知-1≤|x+2|-|x+3|≤1,所以 (1)若不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最小值大即 可,即m∈(-1,+∞);

(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,m只要比|x
+2|-|x+3|的最大值大即可,即m∈(1,+∞)

(3)若不等式的解集为?,m只要不大于|x+2|-|x+3|的
最小值即可,即m∈(-∞,-1]
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5.把本例中的“-”改成“+”,即|x+2|+|x+3|>m时,分
别求出m的范围. 解:|x+2|+|x+3|≥|(x+2)-(x+3)|=1, 即|x+2|+|x+3|≥1. (1)若不等式有解,m为任何实数均可, 即m∈R; (2)若不等式解集为R,即m∈(-∞,1)

(3)若不等式解集为?,这样的m不存在,即m∈?.

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