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不等关系与不等式


3.1 不等关系与不等式
一、教材分析
1.本节在教材中的地位和作用 不等式与方程、函数、三角等内容有着密切的联系。在高考题中不等式常与 其他知识交汇呈现, 因此不等式在高考中占有比较重要的地位。而本节课是本章 的起始课,学好本节课是学习本章的基础,也是进一步学习不等式的认知基础。 通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常 生活中存在着大量的不等关系,并充分认识不等关系存在与应用,这是学习本章的 基础,也是不等关系在本章内容的地位与作用。在本节课的教学内容中有一些简 单的学生易于处理的问题,用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用,同时也 能激发学生学习的兴趣,并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望,这也是学 习本章的情感基础。 (教师在处理教材时,要知道深入浅出,走进教材,又要走出教材。) 2.教学目标 根据教学大纲要求、 高考考试大纲说明、新课程标准精神和高一学生心理认 知特征,我确定了三个层面的教学目标: (1) 知识与技能: 通过具体情境感受在现实世界和日常生活中的存在着大量 的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握分析问题、解决问题的方法 (2)过程与方法:经历从实际情景的不等关系中抽象出不等式模型的过程, 学会从实际问题中分析问题、解决问题的方法 ; (3)情感与价值:通过解决具体问题,感受数学源于生活、用于生活,体会 数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 3.教学重、难点 根据上述教学目标,我认为本节课的重点应该是:用不等式(组)表示实际问 题中的不等关系, 理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 而考虑到 学生实际应用能力上的欠缺,那么用不等式或不等式组准确地表示出不等关系, 就成为本节课的难点。把握了重难点,也就明确了教学应突出什么、专注什么, 从而提高了教学的有效性。

二、学情分析
教学应走在发展的前面,教学创造着最近发展区,我认为对学生现有发展水 平的充分了解对我们的教学至关重要。因此,我对学生的学情作了如下分析 第 一,初中已学简单的不等式; 第二,具备“通过观察、操作并抽象概括等活动 获得数学结论” 的体会, 有一定的抽象概括能力、 数学建模能力和合情推理能力.

三、教法与学法
苏联教育家巴班斯基曾说过,不存在教学方法上的百宝箱。因此,从众多的 教学方法中选取既适合学生又符合自己教学风格的教学方法, 尤为重要。 根据 《新 课标》中“坚持启发式,反对注入式”的教学要求,及基于本节课不等式的教学 要着眼于与实际问题的联系。在教学中我将建立“教师引导、自主探究、合作学 习”的教学模式,在引导学生经历观察、思考、探究的过程中,重视让学生从问 题中尝试、提炼、总结、运用,从而培养学生发现问题、研究问题和分析解决问

题的能力。而且在鼓励学生主动参与的同时,也不忽视教师的主导作用,主要教 会学生清晰的思维和严谨的推理。为了更好地体现课堂教学中“教师为主导,学 生为主体”的教学关系和“以人为本,以学定教”的教学理念,在本节课的教学 过程中,我将紧紧围绕“教师组织——启发引导,学生探究——交流发现”的中 心组织开展教学活动。

四、教学过程
为了完成预定的教学目标,为了给学生推荐出既有营养又美味的数学,即通 过丰富多彩的教学内容,使枯燥的数学知识变成学生喜欢的数学、乐学的数学, 我设计了以下五个教学环节, 层层深入, 在教学中注意关注整个过程和全体学生, 充分调动学生积极参与教学过程的每个环节。 这五个教学环节分别是: 情境引入、 探究新知、随堂练习、课时小结、布置作业,下面将进行一一说明。 1.情境引入 现实世界和生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。 我们知道,两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于 第三边,等等.人们还经常用长与短,高与矮,轻与重,大与小,不超过或不少 于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来 表示这样的不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 例 1:限速 40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不 超过 40km/h,写成不等式就是: v ? 40 例 2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%,蛋白质的 含量 p 应不少于 2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示:

? f ? 2.5% ? ? p ? 2.3%
2.探究新知 探究一:不等式的定义 用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式。 不等号的种类:>、<、≥、≤、≠。 ? 表示大于 ? 表示小于 表示大于或等于(不小于、不低于) ? ? 表示小于或等于(不大于、不超过) 探究二:2≥2,这样写正确吗?“≥“的含义是什么? 这样写是对的,因为“>”和“=”只要一个满足就可以了,即 a≥b 表 示 a>b 或 a=b ,同样 a≤b 即为 a<b 或 a=b。 3.建立不等关系 问题 1 设点 A 与直线 l 的距离为 d , B 为直线 l 上任意一点,如图,你能得出 怎样的不等关系? A
d l

B

[学生活动]由学生讨论、发言,师生共同总结出 d ? AB 问题 2 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本.据市场调查,若 单价每提高 0.1 元, 销售量就可能相应减少 2000 本.若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表示销售的总收入不低于 20 万元呢? [师生活动]阅读题目,学生勾画出重要信息(注意单位的统一),按下 列要求独立思考. 提问:怎样用自己的语言描述出销售总收入?用数学式子又怎样表示呢 解:设杂志的定价为 x 元,则定价提高了( x ? 2.5 )元, x ? 2.5 即定价提高了( )个 0.1 0.1 x ? 2.5 ? 0.2 )万本. 销售量减少了( 0.1 x ? 2.5 ? 0.2 )万本. 此时销售量为( 8 ? 0.1 x ? 2.5 ? 0.2) ? x 万元. 那么总收入为 (8 ? 0.1 x ? 2.5 ? 0.2) ? x ? 20 。 故可以建立不等式 (8 ? 0.1 问题 3 某钢铁厂要把长度为 4000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种.按照生 产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍.如何用不等式组表 示上述所有不等关系? [学生活动]自己阅读题目,找出其中蕴涵的不等关系. 提示:若令截得 500 mm 的钢管 x 根,截得 600 mm 的钢管 y 根.根据题意, 应当有什么样的不等量关系呢? 由学生讨论,举手到黑板上进行板演,最后集体讲评. 解:令截得 500 mm 的钢管 x 根,截得 600 mm 的钢管 y 根.

?500 x ? 600 y ? 4000;?? ? 3x ? y;??????????????????????? ? 根据题意得: ? ? x ? 0;????????????????????????? ? ? y ? 0.?????????????????????????? 4. 类比实数的大小,比较代数式的大小 思考:两实数有怎样的大小关系? 事实上,对于两个实数 a、 b ,若 a ? b 是正数,那么 a ? b ;若 a ? b 等 于零,那么 a ? b ;若 a ? b ? 0 ,那么 a ? b .反过来也成立吗? 故有:
a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b

这是实数比较大小的依据与方法。 实数可以比较大小,那么,对于任意的两个代数式,又如何比较大小呢?

5.例题讲解 例 比较 x2-x 和 x-2 的大小 解(x2-x)-(x-2) = x2-2x+2 =(x-1)2+1 因为(x-1)2≥0,所以(x2-x)-(x-2)>0 所以 x2-x>x-2。 归纳作差比较法的步骤: 1.作差; 2.变形:配方、因式分解、通分(分母)分子有理化 3.定号. 练习:比较下列代数式的大小 (1) x 2 ? 3与3x ; (2) x6 ? 1与x 4 ? x 2 (其中 x ? ?1 ). 6.课堂小结 1.通过具体情景,建立不等式(组) 2.比较两个代数式的大小——作差法 7.课后作业

五、板书设计
实例? 如何用不等式或不等式组表示 实际问题中不等量关系? 3.1 不等关系与不等式 方法引导 实例剖析(知识方法应用) 示范解题 方法归纳 小结 布置作业



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