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1.1.3集合间的基本运算(1)


1.1.3 集合的基本运算

1

复习引入
,有x ? B, 则 A ? B 1.子集: 任意x ? A
2.集合相等: 若A ? B, B ? A,则A ? B 3.真子集:若A ? B, 但存在x ? B, 且x ? A,则A ? ?B 4.空集: 不含任何元素的集合叫做空集,记为?.
2

类比引入

思考:
集合之间的基本关系是类比实数之间的关系 得到的,同样类比实数的运算,能否得到集合之 间的运算呢?

想一想

实数有加法运算,那么
集合是否也有“加法”呢?

3

情景引入
问题:我们班谁喜欢数学(记为集合A )? 我们班谁喜欢物理(记为集合B )? 问题2:记集合C为喜欢数学或喜欢物理的同学 ,则A,B,C的关系为? A+B=C

?

?

?

4

并集概念
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集(Union set). 记作:A∪B(读作:“A并B”)
符号表示:

A∪B ={x| x ∈ A ,或x ∈ B}

说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).

5

并集例题
例1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}, 求AUB. 解: A ? B ? {4,5,6,8} ? {3,5,7,8} ? {3,4,5,6,7,8}
重复元素只看成一个元素

6

并集概念
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集(Union set). 记作:A∪B(读作:“A并B”)
符号表示:

A∪B ={x| x ∈ A ,或x ∈ B}

说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素).
用Venn图表示: A
A∪B

B

A
A∪B

B

A
A∪B

B

7

并集的性质

注 意

(1) A ? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? B ? A (4) A ? A ? B, B ? A ? B (5) A ? B则A ? B ? B
8

并集例题
例1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}, 求AUB. 解: A ? B ? {4,5,6,8} ? {3,5,7,8} ? {3,4,5,6,7,8}

例2.设集合A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, 求AUB. 解:A ? B ? {x | ?1 ? x ? 2} ?{x | 1 ? x ? 3} ? ?x | ?1 ? x ? 3?
可以在数轴上表示例2中的并集,如下图:

9

类比引入

思考:
求集合的并集是集合间的一种运算,那么, 集合间还有其他运算吗?

10

类比引入

思考:

考察下面的问题,集合C与集合A、B之 间有什么关系吗?
B={3,5,8,12},

(1) A={2,4,6,8,10},

C={8}. (2)A={x|x是新华中学2004年9月在校的女同学},

B={x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级同学}, C={x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学}.

集合C是由既属于集合A且又属于集合B的 所有元素组成的.
11

交集概念
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组 成的集合,称为A与B的交集(intersection set). 记作:A∩B(读作:“A交B”) 符号表示: A ∩ B ={x| x ∈ A, 且x ∈ B}
说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的公共元素组成的集合.
Venn图表示: A
A∩B

B
A∩B

B

A
A∩B

B

12

交集例题
例3 新华中学开运动会,设
A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}, B={ x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},

求 A? B. 解:A ? B 就是新华中学高一年级中既参加百米 赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合.

A ? B ={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛 所以, 跑
又参加跳高比赛的同学}
13

交集例题
例4 设平面内直线 l1上点的集合为 L1 ,直线 l 2 上点的集合 l 2 的位置关系. 为 L2 ,试用集合的运算表示 l1、 解: 平面内直线 l1 、 l 2 可能有三种位置关系,即相交于 一点,平行或重合.

l 2 相交于一点P可表示为 (1)直线 l1 、
L1 ? L2 ={点P}

l 2平行可表示为 (2)直线 l1、
L1 ? L2 ?

l 2重合可表示为 (3)直线 l1 、
L1 ? L2 ? L1 ? L2
14

交集的性质

注 意

(1) A ? A ? A (2)A ? ? ? ? (3)A ? B ? B ? A (4)A ? B ? A, A ? B ? B (5)A ? B 则 A ? B ? A
15

本堂小结
1、并集和交集的概念及其表示
文字语言 由 集合A 集合B的所有元 素组成的集合叫做A与B的并集, 记作: , 读作: 。 符号语言 图形语言

?

并 集

AUB=

A
A∪B

B

交 集

由 集合A 集合B的所有元 素组成的集合叫做A与B的交集, 记作: , 读作: 。

A∩B=
A∩B

B

16

本堂小结
2、交集与并集的性质

(1) A ? A ? A? B ? (3) A ? A ?

, A ?? ? , A? B ? , A ?? ?

, A? B ? ? ,

(2) A ? B ? A ? ? . A ? B ? B ? ? . , A? B ? ? ,
17

A ? A ? B, B ? A ? B, A ? B ? A B

想一想
方程 (x -1)(x2 - 3) = 0 的解集,在有理数范围内有几 个解?分别是什么? 1个 ,{1} 在实数范围内有几个解?分别是什么?

3个解,解集是{1,3, - 3}
在不同的范围内研究问题,结果是不同的, 为此,需要确定研究对象的范围.
18

全集概念
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所

涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记
作U. 通常也把给定的集合作为全集. 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素 组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集

合A的补集. 记作: A
即: A={x| x ∈ U 且x ?A}
说明:补集的概念必须要有全集的限制.
Venn图表示:

U
A A
19

补集的性质

注 意
U A

(1) CU A ? A ? U (2) CU A ? A ? ?

A

(3)

CUU ? ? , CU ? ? U

(4) CU (CU A) ? A
20

补集例题
例5.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}, B={3,4,5,6},求 A, B.
解:根据题意可知:

U={1,2,3,4,5,6,7,8},
所以: A={4,5,6,7,8},

B={1,2,7,8}.
说明:可以结合Venn图来解决此问题.

21

补集例题
例6.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三 角形},B={x|x是钝角三角形}.
求A∩B, (A∪B) 解:根据三角形的分类可知: A∩B= ? A∪B= {x|x是锐角三角形或钝角三角形}, (A∪B)= {x|x是直角三角形}.

22

例 7. 设A={x|-3≤x≤3},B={x|-4≤x≤1}, C= ?x | 0 < x < 5? . 求(1)A∩B;(2) B∪C; (3)(A∪B)∩C;(4) (A∩C)∪B. 解:(1)A∩B= {x|-3≤x≤1} (2) B∪C=?x | -4 ? x < 5?

(3) (A∪B)∩C=?x | 0 < x ? 3?
(4) (A∩C)∪B= {x|-4≤x≤3}

注意:用数轴来处理比较简捷(数形结合思想)
23

课堂小结
并运算
集合运算 交运算
A∪B = ? x x ? A或 x ? B?

A∩B = ? x x ? A且x ? B?

补运算

? U A = ? x x ? U且x ? A? C

进行以不等式描述的集合间的并、交、补 运算时,一定要画数轴帮助分析.
24

高考链接
(2009 广东) 已知全集U=R ,则正确表示 2 集合M={-1,0,1}和N={x| x +x=0}关系 的韦恩(Venn)图是 ( B )

U N M
A U
M
N

U

N M

B U
M N

C

D
25

高考链接
例1 (2010陕西高考)集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? 1}, 则A ? (CR B) ?

{x | 1 ? x ? 2}

例2 (2009 广东高考)已知全集U=R,集合

M ? {x | ?2 ? x ? 1 ? 2}和 N ? {x | x ? 2k ? 1, k ? 1,2,...}
的关系的韦恩图如图所示,则阴影 部分所示的集合的元素共 2 个。

U

N

M

26

高考链接
例3 (2008 陕西高考)已知全集U={1,2,3,4,5}, 集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x ? 2a, a ? A} 则集合 CU ( A ? B) 中的元素有 2 个。 例4 (2008 山东高考)满足

M ? {a1, a2 , a3 , a4}, 且M ?{a1, a2 , a3} ? {a1 , a2}
的集合M有 2 个。

27

高考链接
例5(2009 江西高考) 已知全集U=A∪B中有m个元素, (CU A) ? (CU B) 中有n个元素,若A∩B非空,则A∩B的 元素有 m-n 个。

2 U ? { 0 , 1 , 2 , 3 }, A ? { x ? U | x ? mx ? 0} 例6 (2010 重庆高考)设

若CU A ? {1,2} ,则实数m= -3

28

类比引入
观察 考察下列各个集合,你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗?
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6},

C={1,2,3,4,5,6}. (2)A={x|x是有理数}, B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}.

集合C是由所有属于集合A或属于集合B的
元素组成的.
29



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