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2019-2020学年高中数学 3.4.1 基本不等式的证明(1)学案苏教版必修5.doc

2019-2020 学年高中数学 3.4.1 基本不等式的证明(1)学案苏教版必修 5
【教学目标】理解算术平 均数与几何平均数的定义及它们的关系.探究并了解基本不等式的证明过程 . 【教学重点】基本不等式 成立的条件及等号成立的条件. 【教学难点】基本不等式证明方法;理解当且仅当 a ? b 时取“ ? ”号. 【教学过程】 一、引入: 某 金店有一不准确的天平(臂长不等),你要买一串金项链,店主分别把项链放于左右两盘各称一次, 分别得 a 和 b,那么项链的实际质量是多少呢?学生讨论(是否等于

a?b 呢?) 2

二、新授内容: 1.算术平均数和几何平均数: (1)定义:______________ ________叫做正数 a,b 的算术平均数; ______________________叫做正数 a,b 的几何平均数. (2)结论: 两个正数的几何平均数________________它们的算术平均数. 2.基本不等式: (1)形式:__________________; (2)成立的前提条件:_________________; (3)等号成立的条件;当且仅当___________时,取等号. 3.基本不等式的常用变式: (1) a ? b ? 2 ab

?a, b ? 0? ;

(2) a2 ? b2 ? 2 ab ? 2ab .

例 1.证明基本不等式: ab ? 证法 1:(比较法)

a?b , (a ? 0, b ? 0) . 2

证法 2:(分析法)

证法 3:(综合法)

思考:你能给出基本不等式的几何解释吗?

例 2.设 a, b 为正数,证明下列不等式: (1)

b a ? ? 2; a b

(2) a ?

1 ? 2. a

2 2 【变式拓展】若 a,b ? R,a ? b ,求证: a ? b ? 2a ? 2b ? 2 .

三、课 堂反馈: 1.证明:(1) a ? b ? 2ab ;
2 2

(2) x ? 1 ? 2 x ;
2

(3)

2ab a ? b ? ( a, b ? R ? ) . a?b 2

2.(1)设 x,y ? R ,求证: x 2 ? 4 y 2 ? 2 ? 2 x ? 4 y .

(2)求证: (

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? . 2 2

3.证明:(1) a ?

1 ? 3( a ? 1) ; a ?1

(2) x ?

1 ? ?2 ( x ? 0) . x

四、课后作业:

姓名:___________

成绩:___________

1 a?b 1.若 a ? b ? 1 , P ? lg a ? lg b , Q ? (lg a ? lg b) , R ? lg ,则( ) 2 2 A. R ? P ? Q ; B. P ? Q ? R ; C. Q ? P ? R ; D. P ? R ? Q . 2.若 b ? a ? 0 ,则下列不等式一定成立的是( ) a?b a?b ? ab ? b ; ? a; A. a ? B. b ? ab ? 2 2 a?b a?b ? ab ? a ; ? ab . C. b ? D. b ? a ? 2 2 1 2 3. P ? ( 4 ? a )( 4 ? 2 ),Q ? 24 ,则 P 与 Q 的大小关系为 . a 1 a ?1 4.已知 a ? 1 ,则 P ? log 2 a 与 Q ? log 2 的大小关系为 . 2 2
5.设 a>1, m ? log a (a 2 ? 1), n ? log a ( a ? 1), p ? log a (2a) ,则 m, n, p 大小关系为 6.已知函数 f ( x) ? ? .

? x ? 2, ?? x ? 2,

x?0 2 ,则不等式 f ( x) ? x 的解集是 x?0



2a ? 2b ?2 7.证明不等式: 2

a ?b 2



8.设 a , b ? (0, ???? ?) ,求证:

2ab ? ab . a?b

9.设 x,y ? R ,求证: x 2 ? y 2 ? 5 ? 2(2x ? y) .

10.已知 a ? 0,b ? 0 且 a ? b ,求证: a ? b ?

2(a 2 ? b 2 ) .



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