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湖北省襄阳市第五中学2016届高三数学5月模拟考试试题(三)理


湖北省襄阳市第五中学 2016 届高三数学 5 月模拟考试试题(三)理
本试题卷共 4 页,24 题(含选考题) 。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1、答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号 条形粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2、选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、 非选择题的作答: 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。 答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域 均无效。 5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1. 复数 z=(3-2i)i 的共轭复数 z 等于( ) A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 2. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方 法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则( ) A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3 2 2 3. 已知命题 p:若 x>y,则-x<-y,命题 q:若 x>y,则 x >y .在命题①p∧q;②p∨q;③p∧( ? q); ④( ? p)∨q 中,真命题是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 1 2 2 4. 直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的( ) 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 5. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? A. f ( x ? 1) 一定是偶函数 C. f ( x ? 1) 一定是偶函数

?
2

) 满足 f (?1) ? 0 ,则(

)

B. f ( x ? 1) 一定是奇函数 D. f ( x ? 1) 一定是奇函数

25 6. 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ (t 的单位:s,v 1+t 的单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ) 11 A.1+25ln 5 B.8+25ln C.4+25ln 5 D.4+50ln 2 3 7. 节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次 闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( ) 1 1 3 7 A. B. C. D. 4 2 4 8 8. 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( ) A.24π B.6π C.4π D.2π

1 6 ? ?( x ? ) , x ? 0, x 9.设函数 f ( x) ? ? 则当 x ? 0 时, f [ f ( x)] 表达式的展开式中常数项为( ?? x , x ? 0, ?

)

1

A.-20 B.20 C.-15 D.15 10. 阅读如图 1-2 所示的程序框图,如果输出 i=5,那么在空白矩形框中应填入的语句为(

)

A.S=2*i-2 A. a ? e

B.S=2*i-1 B. (a ? e) ? e

图 1-2 C.S=2*i

D.S=2*i+4 )

11. 已知非零向量 a ? e, | e |? 1, 且对任意的实数 t ? R, 都有 | a ? t e |?| a ? e | ,则有(

f ?b? ? f ? a? , b?a 则称函数 y ? f ? x ? 是 ? a, b? 上的“平均值函数”, x0 是它的一个均值点.例如 y ? x 是 ? ?2, 2? 上的“平
12.若函数 y ? f ? x? 在定义域内给定区间 ? a, b? 上存在 x0 ? a ? x0 ? b ? ,满足 f ? x0 ? ?

C. e ? (a ? e). D. (a ? e) ? (a ? e)

均值函数”,0 是它的均值点. 若 f ? x ? ? ln x 是区间 ? a, b? ?b ? a ? 1? 上的“平均值函数”, x0 是它的一 个均值点,则 ln x0与

1 的大小关系是( ) ab 1 1 A. ln x 0 ? B. ln x 0 ? ab ab

C. ln x 0 ?

1 ab

D. ln x 0 ?

1 ab

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13. 在?ABC 中, sinA ?

3 5 , cosB ? , 则cosC =________ 5 13 7 . 若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 18

14.将 5 名学生分配到 3 个不同的社区参加社会实践活动,每个社区至少分配一名学生的方案种数为 ________ 15. 在△ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ?

. 16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形 n(n+1) 1 2 1 数为 = n + n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的 2 2 2 表达式: 1 2 1 三角形数 N(n,3)= n + n, 2 2 2 正方形数 N(n,4)=n , 3 2 1 五边形数 N(n,5)= n - n, 2 2 2 六边形数 N(n,6)=2n -n, ?? 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=________. 三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn , a1 ? 2,2Sn ? (n ?1)an ? n2an?1 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1, bnbn?1 ? ? ? 2 n .
a

e?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正实数 ? ,使得 ?bn ? 为等比数列?并说明理由. 18.(本小题满分 12 分)如图(1) E , F 分别是 AC , AB 的中点, ?ACB ? 90 , ?CAB ? 30 ,沿着 EF
? ?

将 ?AEF 折起,记二面角 A ? EF ? C 的度数为 ? .
2

(Ⅰ)当 ? ? 90? 时,即得到图(2)求二面角 A ? BF ? C 的余弦值; (Ⅱ)如图(3)中,若 AB ? CF ,求 cos ? 的值.

19.(本小题满分 12 分) 从 2016 年 1 月 1 日起,湖北、广东等 18 个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围,其中最大的变 化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率,具体关系如下表: 1 上一年的 0 3 5 次以上(含 2 4 出险次数 5 次) 下一年保 100% 125% 150% 175% 200% 85% 费倍率 连续两年没有出险打 7 折,连续三年没有出险打 6 折 经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系,下面是随机采集的 8 组数据 ( x, y ) (其

(8, 2150) 、(11, 2400) 、(18,3140) 、(25,3750) 、 中 x(万元) 表示购车价格,y(元) 表示商业车险保费) :

(25, 4000) 、 (31, 4560) 、 (37,5500) 、 (45, 6500) , 设 由 这 8 组 数 据 得 到 的 回 归 直 线 方 程 为 : ? ? ?1055 . y ? bx
(Ⅰ)求 b ; (Ⅱ) 有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000 辆调查,得到一年中出险次数的频数分布如下 (并用相应频率估计车辆2016 年度出险次数的概率): 一年中出 险次数 频数 0 500 1 380 2 100 3 15 4 4 5次以上 (含5次) 1

湖北的李先生于2016 年1月购买了一辆价值20 万元的新车.根据以上信息,试估计该车辆在2017 年1 月续保时应缴交的保费(精确到元),并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担.(假设车辆下一年与上一 年都购买相同的商业车险产品进行续保).

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的四个顶点分别是 A1 , A2 , B1 , B2 , a2 b2 ?A2 B1 B2 是边长为 2 3 的正三角形,其内切圆为圆 G . (Ⅰ)求椭圆 C 及圆 G 的标准方程; (Ⅱ)若点 D 是椭圆 C 上第一象限内的动点,直线 B1 D 交线段 A2 B2 于点 E 。 DB1
20. (本小题满分 12 分) 如图, 已知椭圆 C : ①求 ② 设 F ?? 1,0? ,是否存在以椭圆 C 上的点 M 为圆心的圆 M ,使得过圆

EB1

的最大值;

M 上任意一点 N ,作圆 G 的切线(切点为 T )都满足
存在,请求出圆 M 的方程;若不存在,请说明理.

NF NT

? 2 ?若

x 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1 ( a 为常数),曲线 y ? f ( x) 在与 y 轴的交点 A 处

的切线斜率为 ? 1 . (Ⅰ)求 a 的值及函数 f ( x) 的单调区间;
3

x 2 (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, e ? x ? 1;

(Ⅲ)证明:当 n ? N 时, 1 ?
*

?n ? 1? . 1 1 1 ? ? ? ? ? ln 2 3 n ?3e?n
3

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲. 如图,在△ABC 中,∠BAC 的平分线交 BC 于 D, 交△ABC 的外接圆于 E,延长 AC 交△DCE 的外接圆于 F. (Ⅰ)求证:BD=DF; (Ⅱ)若 AD=3,AE=5,求 EF 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系中 x 轴的正半轴重合. 若曲线 C 的参数

? x ? 3 ? 2cos ? ? ,直线 l 的极坐标方程为 2 ? sin(? ? ) ? 1 . (? 为参数) 4 ? y ? 2sin ? (Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)由直线 l 上一点向曲线 C 引切线,求切线长的最小值.
方程为 ? 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知函数 f ( x ) ?| x ? 1 | , g( x ) ? 2 | x | ? a . (Ⅰ)当 a=-1 时,解不等式 f(x)≤g(x); (Ⅱ)若存在 x0∈R,使得 f(x0)≥
1 g(x0),求实数 a 的取值范围. 2

4

数学(理)参考答案 答案:C D C A B , C C BA C , C D 150,

16 , 65

3 , 8

1000

2 2 2 17. (Ⅰ) 由题设,2 S n ? (n ? 1) a n ? n a n ?1 ,2 S n ?1 ? (n ? 2) a n ?1 ? n ? 1

两式相减可得 ?n ? 1? ?a n ? 2 ? a n ? ? 2 n ? 1
2

以 ?an ? 的公差为 2,故 an ? 2n ????????.5 (Ⅱ)由题设, bn bn?1 ? ? ? 2 n , bn?1bn?2 ? ? ? 2
a an ?1

?

?a
2

?

?a
2

n ? 2 ????????..2

n ?1 ,由于

2S1 ? 4a1 ? a2 ? 2a1 ,可得 a2 ? 2a1 ? 4 ,所

,两式相除可得 bn?2 ? 4bn ,即 ?b2n ? 和?b2n?1 ?都是以
2

4 为公比的等比数列.因为 b1b 2 ? ? ? 2

a1

? 4?,b1 ? 1 ,所以 b2 ? 4? ,由 b3 ? 4b1 ? 4 及 b2 ? b1b3 ,可得

4?2 ? 1,又 ? ? 0 ,所以 ? ?
所以 b2n ? 2 ? 4 n?1 因此存在 ? ?

1 .????????..9 2 ? 22n?1 , b2n?1 ? 22n?2 ,即 bn ? 2 n?1 ,则 bn?1 ? 2bn ,

1 ,使得数列 ?bn ? 为等比数列. ????????..12 2 18.(Ⅰ)∵平面 AEF ? 平面 CEFB ,且 EF ? EC ,∴ AE ? 平面 CEFB 过点 E 向 BF 作垂线交 BF 延长线于 H ,连接 AH ,则 ?AHE 为二面角 A ? BF ? C 的平面角 3 设 BC ? 2a ? EF ? a, AB ? 4a, AC ? 2 3a , AE ? 3a , EH ? a 2 3 a EH 5 2 cos ?AHE ? ? ? 5分 AH 5 3 2 2 3a ? a 4 (Ⅱ)过点 A 向 CE 作垂线,垂足为 G ,如果 AB ? CF ,则根据三垂线定理有 2 3 3 GB ? CF ,因 ?BCF 为正三角形,故 CG ? BC tan 300 ? a ,则 GE ? a, 3 3 GE 1 而 AE ? 3a 故 cos ? ? 12 分 ? AE 3 1 200 ? 25 万元, 19.(1) x ? (8 ? 11 ? 18 ? 25 ? 25 ? 31 ? 37 ? 45) ? 8 8 1 3200 y ? (2150 ? 2400 ? 3140 ? 3750 ? 4000 ? 4560 ? 5500 ? 6500) ? ? 4000 8 8
元,??????..2

? ? 1055 经过样本中心 ( x, y ) ,即 (25, 4000) . 直线 ? y ? bx
∴b ?

y ? 1055 4000 ? ?1055 ? ? 117.8 .???????..5 25 x

(Ⅱ)设该车辆2017 年的保费倍率为X ,则X 为随机变量,X 的取值为0.85 ,1,1.25 ,1.5 ,1.75 , 2 . ??7 分 且 X 的分布列为

计算得下一年保费的期望倍率为 EX=0.85×0.5+1×0.38+ 1.25×0.1 +1.5×0.015 +1.75×0.004 + 2×0.001 = 0.9615 ? 10 分
5

该车辆估计2017年应缴保费为:(1 17.8× 20 +1055) × 0.9615 = 3279.677 ? 3280 元. ? 11 分 因 0.96 < 1 (或 3280 < 3411 ),基于以上数据可知,车险新政总体上减轻了车主负担.? 12 分 20. (Ⅰ)由题意知,

B2 0, 3 , A2 ?3,0?

?

?

x2 y2 ? ? 1, 9 3 2 又圆心 G?1,0?, OG ? 1 , 所以圆 G 的标准方程为 ?x ? 1? ? y 2 ? 1????????..4
所以, b ? 3, a ? 3 ,所以椭圆的标准方程为 (Ⅱ)①设直线 B1 D 的方程为 y ? kx ? 3 ? k ?

? ? ?

3? ? ,与直线 A2 B2 的方程 y ? ? 3 x ? 3 联立, 解得 3 ? 3 ?

x?

6 3 3k ? 3

,y ?

3 3k ? 3 3k ? 3

,即点 E ?

? 6 3 3 3k ? 3 ? ? ? 3k ? 3 , 3k ? 3 ? ? ?

? y ? kx ? 3 ? 6 3k 3 3k 2 ? 3 ? ? 2 2 ? 联立 ? x ,消去 y 并整理得, 解得点 D? 2 y ? 3k ? 1 , 3k 2 ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 3 ?9

所以

DB1 EB1

?

xD xE

?

6 3k 3k 2 ? 1 6 3 3k ? 3

?

3k 2 ? 3k 3k ? 1 ? 1? 2 ? 1? 3k ? 1 3k ? 1

1 3k ? 1 ? 2 3k ? 1 ?2

? 1?

1 2 2?2

?

DB1 6? 3 2 ?1 , 当 且 仅 当 k? 时 , 取 “=” , 所 以 的 最 大 值 为 3 2 EB1

2 ?1 ????????..9 2
②存在 设圆心 M ?m, n? ,点 N ?x, y ? 是圆 M : ?x ? m? ? ? y ? n? ? r 2 ?r ? 0? 上的任意一点,其中点 M ?m, n? 满
2 2



m2 n2 ? ? 1 ,则 x 2 ? y 2 ? 2mx ? 2ny ? m 2 ? n 2 ? r 2 ?*? , 9 3

又 NF ? 由

?x ? 1?2 ? y 2 , NT

?

?x ? 1?2 ? y 2 ? 12 ,

NF NT

? 2 得 x 2 ? y 2 ? 6x ? 1 ? 0 ,

2 2 2 代 入 ?*? 得 2?m ? 3?x ? 2ny ? m ? n ? 1 ? r ? 0 , , 对 圆 M 上 任 意 一 点 N ?x, y ? 恒 成 立 , 所 以

M : ?x ? 3? ? y 2 ? 10 满足题设条件。????????..12 x x 21. (Ⅰ)由 f ( x) ? e ? ax ? 1 得 f ?( x) ? e ? a . x x 又 f ?(0) ? 1 ? a ? ?1 ,所以 a ? 2 .所以 f ( x) ? e ? 2x ? 1 , f ?( x) ? e ? 2 . x 由 f ?( x) ? e ? 2 ? 0 得 x ? ln 2 . 所以函数 f ( x) 在区间 ?? ?, ln 2? 上单调递减,在区间 ?ln 2,??? 上单调递增. ????????..3 ln 2 (Ⅱ)由(1)知 f ( x) min ? f (ln 2) ? e ? 2 ln 2 ? 1 ? 1 ? ln 4. . x x 所以 f ( x) ? 1 ? ln 4 ,即 e ? 2 x ? 1 ? 1 ? ln 4, e ? 2x ? 2 ? ln 4 ? 0 .
2

? m?3? 0 ? n?0 ,解得 ? ?r 2 ? m 2 ? n 2 ? 1 ?

? m?3 ? ? n ? 0 , 经 检 验 m ? 3, n ? 0 满 足 ?r 2 ? 10 ?

m2 n2 ? ?1 , 所 以 存 在 圆 9 3

6

令 g ( x) ? e x ? x 2 ? 1 ,则 g ?( x) ? e x ? 2 x ? 0 .

所 以 g ( x) 在 ?0,??? 上 单 调 递 增 , 所 以 当 x ? 0 时 , g ( x) ? e x ? x 2 ? 1 ? g (0) ? 0 , 即

e x ? x 2 ? 1.????????..7
x (Ⅲ)首先证明:当 x ? 0 时,恒有 e ?

1 3 x . 3

1 3 x ,则 h?( x) ? e x ? x 2 . 3 x 2 由(2)知,当 x ? 0 时, e ? x ,所以 h?( x) ? 0 .所以 h( x) 在 ?0,??? 上单调递增. 1 3 ?1 3 ? x 所以 h( x) ? h(0) ? 1 ? 0 .所以 e ? x .所以 x ? ln? x ? ,即 x ? ln 3 ? 3 ln x . 3 ?3 ? 2 3 n ?1 依次取 x ? , , ? , ,代入上式,则 1 2 n 2 2 3 3 n ?1 n ?1 ? ln 3 ? 3 ln ; ? ln 3 ? 3 ln ; ???.. ? ln 3 ? 3 ln 1 1 2 2 n n 2 3 n ?1 n ? 1? ?2 3 以上各式相加,有 ? ? ? ? ? n ln 3 ? 3 ln? ? ? ?? ?. 1 2 n n ? ?1 2 n ? 1? ? 1 1 所以 n ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ln 3 ? 3 ln?n ? 1? n ? ? 2 3 1 1 n ?1 ?n ? 1?3 .???..12 1 1 n ?1 ? 3 ln?n ? 1? ? n ln 3 ? n ,即1 ? ? ? ? ? 所以 1 ? ? ? ? ? ? ln 2 3 n 2 3 n ?3e?n 22. (Ⅰ)在 ?ABC 的外接圆中, ?ABC ? ?AEC ,在 ?DEC 的外接圆中, ?DEC ? ?DFC ,因而 ?ABC ? ?DFC . 又 AD 是 ?BAC 的平分线,? ?BAD ? ?CAD ,又 AD ? AD ,? ?ADB ? ?ADF,? DB ? DF . ( Ⅱ ) 由 (1) , 同 理 得 ?B A? ? D B C , ?D E C ?? E D F , ?BE A? C D A , D AE EF 2 ? ? ?CAD ? ?DFE,? ?FDE ? ?AFE ,因而 ,即 EF ? AE ? DE ? 10 , EF DE 即 EF ? 10 .
证明如下:令 h( x ) ? e ?
x

23.(Ⅰ)圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 .∵ x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ∴圆 C 的极坐标方程为 ? ? 6? cos? ? 5 ? 0 .
2

(Ⅱ)∵直线 l 的极坐标方程为 2 ? sin(? ?

?
4

) ? 1,
则有 PA ? PC ? AC ? PC ? 4 ,
2 2 2 2

∴ ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ,∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 设直线 l 上点 P ,切点为 A ,圆心 C (3, 0) , 当 PC 最小时,有 PA 最小.∵ PC ? ∴ PA ?

3 ?1 2

?2 2,

PC 2 ? 4 ? 8 ? 4 ? 2 ,∴切线长的最小值为 2 .
x ? ?1 ? ,即 x ? ?1 , ?? x ? 1 ? ?2 x ? 1

24. (Ⅰ)当 a ? ?1 时,不等式 f ( x) ? g ( x) ,即 x ? 1 ? 2 x ? 1 ,从而 ? 或?

x?0 ? ?1 ? x ? 0 ? 2 ,即 ? 1 ? x ? ? ,或 ? ,即 x ? 2 3 ? x ? 1 ? ?2 x ? 1 ?x ? 1 ? 2x ? 1 ? ? 2 3 ? ?
7

从而不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集为 ? x x ? ? 或x ? 2?

(Ⅱ)存在 x0 ? R ,使得 f ? x 0 ? ? 即存在 x0 ? R ,使得

1 a g ? x 0 ? ,即存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 1 ? x0 ? , 2 2

a ? x0 ? 1 ? x0 2 ? ? 1, x ? ?1 a ? 设 h( x ) ? x ? 1 ? x ? ?2 x ? 1,?1 ? x ? 0 ,则 h( x) 的最大值为 1,因而 ? 1 ,即 a ? 2 . 2 ? 1, x ? 0 ?

8



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